北师大版七年级下册数学第四章三角形-测试题带答案

北师大版七年级数学下册第四章三角形
评卷人得分
一、单选题
1．如图，画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）
A．B．
C．D．
2．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）
A．1个B．3个C．5个D．无数个
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
5．如图，AB=AD ，∠BAO=∠DAO ，由此可以得出的全等三角形是（）
A ．ABC ≌ADE
B ．ABO ≌ADO
C ．AEO ≌ACO
D ．ABC ≌ADO
6．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）
A ．∠AD
B ＝∠AD
C B ．∠B ＝∠C C ．AB ＝AC
D ．DB ＝DC 7．已知△ABC ≌△A´B´C´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A´C´等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8
8．如图，把一副三角尺叠放在一起，若AB ∥CD ，则∠1的度数是（）
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
9．
在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）
A．30°B．36°C．50°D．60°
评卷人得分
二、填空题
11．一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__．12．若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.
13．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是______．
14．要测量河两岸相对的两点A，B间的距离(AB垂直于河岸BF)，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再作出BF的垂线DE，且使A，C，E三点在同一条直线上，如图，可以得
△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC
的理由是____________．
15．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是.
16．如图，一种机械工件，经测量得∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°．那么不需工具测量，可知∠ABC=°.
17．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=________.
评卷人得分
三、解答题
18．已知△ABC的周长是24cm，三边a，b，c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a，b，c的长。

19．如图所示，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD 的周长为15cm，求AC的长．
20．如图,已知△ABC中,∠A=70°,∠ABC=48°,BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分线,BD与
CE交于点F,求∠CBD、∠EFD的度数．
21．如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
22．如图，E、A、C三点共线，AB∥CD，∠B=∠E，AC=CD.求证：BC=ED.
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)∠B=30°，∠C＝70°,求∠EAD的大小；
（2）若∠B＜∠C,求证：2∠EAD=∠C-∠B．
24．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高。

猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：过点C作AB边的垂线，正确的是C．
故选C．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
2．B
【解析】
四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B．
3．C
【解析】
根据三角形的三边关系可得5-3＜c＜5+3，即2＜c＜8，因c的值为奇数，所以c为3、5、7，即可得由a，b，c为边可组成三角形的个数为3个，故选B.
4．C
【解析】
∵AB=AD，CB=CD，AC公用，∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴BAO=DAO，BCO=DCO．
∴△BAO≌△DAO（SAS），△BCO≌△DCO（SAS）．
∴全等三角形共有3对．故选C．
5．B
【解析】
【分析】
观察图形，运用SAS可判定△ABO与△ADO全等．
【详解】
解：∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO是公共边，
∴△ABO≌△ADO（SAS）．
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，属基础题，比较简单．
6．D
【解析】
【分析】
由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出△ABD≌△ACD，得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出
△ABD≌△ACD，得出C正确．由全等三角形的判定方法得出D不正确；
【详解】
A正确；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B正确；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
C正确；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．C
【解析】
本题考查的是全等三角形的性质
根据全等三角形的对应边相等求解即可．
△
ABC≌△A′B′C′，且△ABC的周长为20，
∴，
故选C．
8．A
【解析】
试题分析：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．如图，设CD交AE于点O，∵AB∥CD，∴∠EOD=∠A=30°，又
∵∠1=∠EOD+∠FDC，∴∠1=30°+45°=75°，
考点：(1)、平行线的性质；(2)、三角形的外角性质
9．D
【解析】
本题考查的是图形的轴对称性．作关于AC垂直平分线的轴对称图形为一个，作三角形关于BC的轴对称图形然后作关于BC垂直平分线的轴对称图形又两个；又以AB为边还有一个所以共4个．
10．A
【解析】
试题分析：根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，
∴AM=MC=BM，
∴∠A=∠MCA，
∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，
∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，
∴∠ACM=∠MCD，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°．
故选A．
点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．10
【解析】
已知三角形的两边长是2和4，根据三角形的三边关系可得第三边大小要大于2小于6，又因为第三边长是偶数，所以第三边是4，即可得周长=2+4+4=10. 12．1710或11
【解析】
【分析】
因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】
解：若等腰三角形的两边长分别为3和7,分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，而3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的两边长分别为3和7其周长为17．
若等腰三角形的两边长分别为3和4,分两种情况：
当3为底时，其它两边都为4，而3、4、4可以构成三角形，周长为11；
当3为腰时，其它两边为3和4，而3、3、4可以构成三角形，周长为10；
所以等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为10，11.
故答案为17；10或11.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．∠C=∠D（或∠B=∠E或AB=AE）.
【解析】
【分析】
由已知∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件．
【详解】
解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
（1）添加∠C＝∠D．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD ＝∠2+∠BAD ，
∴∠CAB ＝∠DAE ，
在△ABC 与△AED 中，
C D
AC AD CAB DAE
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
∴△ABC ≌△AED （ASA ）；
（2）添加∠B ＝∠E ．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD ＝∠2+∠BAD ，
∴∠CAB ＝∠DAE ，
在△ABC 与△AED 中，
B E
CAB DAE AC AD
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ABC ≌△AED （AAS ）；
（3）添加AB ＝AE
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BAD ＝∠2+∠BAD
∴∠CAB ＝∠DAE
在△ABC 与△AED 中，
AC AD
CAB DAE AB AE
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ABC ≌△AED （SAS
）
故答案是：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
【点睛】
考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
14．ASA
【解析】
【分析】
由已知可以得到∠ABC=∠BDE=90°，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．
【详解】
∵BF⊥AB，DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA）
故答案为ASA
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找到隐含条件并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
15．75°
【解析】
【详解】
如图，∵∠1=60°，∠2=45°，∴∠α=180°-45°-60°=75°．
16．92
【解析】
试题分析：延长CB，交AD于点E．∵∠C=27°，∠D=45°，∴∠AEC=∠C+∠D=72°，∵∠A=20°，∴∠ABC=∠A+∠AEC=92°．故答案为92°．
考点：三角形的外角性质．
17．128°
【解析】
【分析】
先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
【详解】
解：
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，
∴∠EAC＋∠EBC＝38°，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，
∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，
故答案为：128°．
【点睛】
本题目主要考查全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解．18．a=6cm,b=8cm,c=l0cm
【解析】
试题分析：根据a+b+c=24，然后再联立两方程得出方程组，解出a、b、c即可．
试题解析：解：由题意得：
2
4
24
c a b
c a
a b c
+=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪++=
⎩
，解得：
6
8
10
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
．
答：a的长度为6cm，b的长度为8cm，c的长度为10cm．
19．7cm.
【解析】
试题分析：先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BC的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD=15-6-5=4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC=21-6-8=7cm．
故AC长为7cm．
考点：三角形的角平分线，中线，高
点评：考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．
20．∠CBD、∠EFD的度数分别为28°，121°．
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理得到∠ACB=180°-∠A-∠ABC=62°，利用角平分线的定义得到
∠ACE，再根据互余求出∠CBD=90°-∠ACB；根据三角形外角的性质得到
∠EFD=∠ACE+∠BDC．
【详解】
∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣70°﹣48°=62°．
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°．
∴∠CBD=90°﹣∠ACB=90°﹣62°=28°；
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=12∠ACB=12×62°=31°．
∴∠EFD=∠ACE+∠BDC=31°+90°=121°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质．灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
21．见解析．
【解析】
【分析】
由已知角相等，利用等式的性质结合图形得到∠DAB=∠EAC，利用SAS得到
△EAC≌△DAB，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
AE AD
EAC DAB AC AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=EC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解本题的关键．
22．详见解析.
【解析】
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再利用AAS定理证明△ACB≌△CED，然后再根据全等三角形对应边相等可得结论．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC和△CED中，
∴
BAC ECD B E
AC CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACB≌△CED（AAS），
∴BC=ED．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
23．（1）∠EAD=20°；（2）2∠EAD=∠C-∠B．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC=80°，在Rt△ADC中，可求得∠DAC＝20°，AE 是角平分线，有∠EAC=12∠BAC=40°，由∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到答案；
（2）由（1）知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知2∠EAD与∠C-∠B的关系．
【详解】
解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC=40°．
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=12∠BAC-（90°-∠C）①，
把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①，
整理得，∠EAD=12∠C-12∠B，
所以2∠EAD=∠C-∠B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，结合图形，灵活运
用角度的计算是本题的解题关键．
24．PE+PF=BH
【解析】
【分析】
=S△ABP+S△ACP=12
连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S
△ABC
×AC×（PE+PF），同时可表示出S△ABC=12AC×BH，从而可得到PE+PF=BH．
【详解】
解：PE+PF=BH．理由如下：
连接AP．
∵AB=AC，
=S△ABP+S△ACP=12AB×PE+12AC×PF=12AC×（PE+PF），
∴S
△ABC
=12AC×BH，
∵S
△ABC
∴PE+PF=BH．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．。