2019-2020学年人教A版数学必修第二册课时作业配套课件：第7章 复数 7.3 课时作业21

第二十四页，编辑于星期六：二十பைடு நூலகம்点 二十二 分。
7．将复数 1＋ 3i 所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 θ 角，所得向 量对应的复数是－2i，则 θ 角的最小正值是________．
答案
7π 6
答案
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
解析 ∵z＝1＋ 3i＝2cos3π＋isinπ3， ∴将复数 1＋ 3i 所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 θ 角，所得向量 对应的复数为 z1＝2cosπ3＋isinπ3(cosθ＋isinθ) ＝2cosθ＋π3＋isinθ＋π3＝－2i， ∴θ＋3π＝32π，∴θ＝76π.
3＋i.
答案
解析
第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
5．化简：cos2θ＋cisoisn52θθ－cisoisn35θθ＋isin3θ＝(
)
A．cos10θ＋isin10θ
B．sin10θ＋icos10θ
C．sin3θ＋icos3θ
D．cos3θ＋isin3θ
答案 A
答案
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B．－2 3i
C． 3－3i D．3＋ 3i
答案 B
答案
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
解析 ∵由题意知复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转 后的向量为(3－ 3i)cos－π3＋isin－π3＝(3－ 3i)12－ 23i＝－2 3i.故选 B．
第四页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
解析
cos2θ＋isin2θcos3θ＋isin3θ cos5θ－isin5θ
＝cos2θ＋ cos35θθ＋ －iissiinn52θθ＋3θ＝ccooss55θθ＋ －iissiinn55θθ
＝cos5θ－ciosisn55θθ＋icsoins55θθ＋2 isin5θ
＝cos25θ＋coi2ss2i5nθ25－θ＋i2s2inic25oθs5θsin5θ＝cos10θ＋isin10θ.
解 ∵z1＝cosθ＋isinθ， z2＝z1i＋1＝1－sinθ＋icosθ， ∴kOA＝csoinsθθ＝tanθ，kOB＝1－cossiθnθ， ∴tanα＝1k＋OBk－OBk·kOOAA＝11＋－co1ss－ciθnosθsiθ－nθt·atannθθ＝1－cossiθnθ
答案
第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
答案
第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
∴ω4＝－1. 从而zz2ωω3＝zz2ωω3·zzωω＝|zz|23·ω|ω4|2＝i. 故||OOQP||＝1，即|OP|＝|OQ|且O→P与O→Q的夹角为π2. ∴△OPQ 是等腰直角三角形．
答案
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7．设复数 z1＝cosθ＋isinθ0≤θ＜π，θ≠π2，z2＝z1i＋1，z1，z2 分别对应 复平面上的点 A，B，O 为坐标原点，∠AOB＝α(0≤α<π)．求角 α 的大小．
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
解 (1)z1·z2·z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°)＝ 10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos150°＋isin150°)＝－5 3＋5i.
(1＋i)cos－23π＋isin－23π＝(1＋i)·－12－
23i
＝
－1＋ 2
3＋－1－2
3i，故选
B．
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2．计算 3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝( )
A．3i
B．3i＋2
C．6i
D．6i＋3
答案 C
解析 3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.
(2)z31＝5
5(cos20°＋isin20°)3＝5
5(cos60°＋isin60°)＝5 2 5＋5
15 2 i.
(3)zz21＝
150ccooss2500°°＋＋iissiinn2500°°＝
2(cos30°＋isin30°)＝
6＋ 2
2i .
(4)zz1z23＝
10cos20°＋isin20°cos80°＋isin80° 10cos50°＋isin50°
一、选择题
1．把复数 1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转23π所得到的向量对应的复
数是( )
A．1－2
3＋1＋2
3 i
B．－1＋2
3＋－1－2
3 i
C．－1＋2
3＋1－2
3 i
D．1－2
3＋－1＋2
3 i
答案 B
答案
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解析 复数 1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转23π所得到的向量为
故复数 zω＋zω3 的模为 2，辐角主值为56π.
答案
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本课结束
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
4．计算 4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝( )
A． 3＋i B．－ 3＋i
C．2＋i
D．－2＋i
答案 B
解析 4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝
2(cos150°＋isin150°)＝2－
23＋12i＝－
课时作业21 复数乘、除运 算的三角表示及其几何意义
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知识对点练
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知识点一 复数三角形式乘法运算的三角表示及其几何意义
1．在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得
向量对应的复数是( )
A．2 3
＋isin71π2＋sin1132π＝ 2cos56π＋isin56π， 故复数 zω＋zω3 的模为 2，辐角主值为56π.
答案
第三十一页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
解法二：zω＋zω3＝zω(1＋ω2)
＝12＋ 23i 22＋ 22i(1＋i)
＝
2－
23＋12i＝
2cos56π＋isin56π，
2．已知 z1＝ 2cos1π2＋isin1π2，z2＝cos51π2＋isin152π，求 z1z2，请把结果化 为代数形式，并作出几何解释．
解 z1z2＝ 2cos1π2＋isin1π2cos152π＋isin51π2 ＝ 2cos1π2＋51π2＋ 2isin1π2＋152π
答案
第五页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
＝cos50°＋isin50°.
答案
第三十页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
10．已知复数 z＝12＋ 23i，ω＝ 22＋ 22i.求复数 zω＋zω3 的模及辐角主值． 解 解法一：将已知复数化为复数的三角形式为 z＝12＋ 23i＝cosπ3＋
isinπ3，ω＝ 22＋ 22i＝cosπ4＋isinπ4， 依题意有 zω＋zω3＝cos71π2＋isin71π2＋cos1132π＋isin1132π＝cos71π2＋cos1132π
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
8．观察下列各式：
①cos3π＋isinπ3＝12＋ 23i； ②cos3π＋isinπ32＝－12＋ 23i； ③cos3π＋isinπ33＝－1； ④cos3π＋isinπ34＝－12－ 23i； …
根据以上规律可得cos3π＋isinπ326＝________.
＝ 2cosπ2＋ 2isinπ2＝0＋ 2i×1＝ 2i. 首先作与 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时针 方向旋转51π2，再保持某长度不变，这样得到一个长度为 2，辐角为π2的向量O→Z， O→Z即为积 z1z2＝ 2i 所对应的向量．
答案
第六页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
答案
第十页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
知识点三 复数三角形式的综合应用 6.已知复数 z＝ 23－12i，ω＝ 22＋ 22i，复数 zω ，z2ω3 在复平面上所对应 的点分别为 P，Q，证明：△OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点)．
证明 ∵z＝ 23－12i＝cos－6π＋isin－6π ∴z3＝－i. 又 ω＝ 22＋ 22i＝cosπ4＋isinπ4，
答案
－12＋
3 2i
答案
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
解析 解法一：根据规律，可猜cos3π＋isinπ3n ＝cosn3π＋isinn3π，将 n＝26 代入，可得
cos3π＋isinπ326＝cos263π＋isin236π＝－12＋
3 2 i.
解法二：cos3π＋isinπ326＝cosπ3＋isin3π38·cosπ3＋isinπ32＝－12＋
3．把复数 z1 与 z2 所对应的向量O→A，O→B 分别按逆时针方向旋转π4和53π后，
重合于向量O→M，且模相等．已知 z2＝－1－ 3i，求复数 z1 的代数式和它的 辐角主值．
解 在复平面上 B(－1，－ 3)，向量O→B逆时针旋转53π得到向量O→M， |O→B|＝2＝|O→M|，依题意O→M顺时针旋转π4后模不变，得到向量O→A，则|O→A| ＝2.
答案
解析
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
3．设模为 2，辐角为π6的复数 z 是 z3＋a＝0 的根，那么 a 是(
)
A．2i
B．－2i
C．8i
D．－8i
答案 D
解析 由题意，得 z＝2cosπ6＋isinπ6， 则有 a＝－z3＝－23cosπ2＋isinπ2＝－8i.
答案
解析
第十九页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
答案
第七页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
若 z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则 a＝2cos34π＝－ 2，b＝2sin34π＝ 2， ∴z1＝－ 2＋ 2i. argz1＝34π.
答案
第八页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
知识点二 复数三角形式除法运算的三角表示及其几何意义 4．设 z＝r(cosθ＋isinθ)．求1z的三角表示． 解 因为1z＝|－zz|2，|z|＝r，－z ＝r(cosθ－isinθ)，故1z＝1r(cosθ－isinθ)＝1r [cos(－θ)＋isin(－θ)]．
3 2 i.
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
三、解答题 9．z1＝ 5(cos20°＋isin20°)，z2＝ 10(cos50°＋isin50°)， z3＝ 2(cos80°＋isin80°)，计算： (1)z1·z2·z3； (2)z31； (3)zz21； (4)zz1z23.
＝1－sincoπ2s－2π－θ θ＝tanπ4－2θ， ①当 0≤θ＜π2时，0<π4－θ2≤π4， ∴α＝π4－θ2. ②当π2<θ<π 时，－π4<4π－θ2<0，∵0≤α＜π， ∴α＝π4－θ2＋π＝54π－θ2.
答案
第十四页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
课时综合练
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
答案
第九页，编辑于星期六：二十三点 二十二分。
5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求zz12.
解 设 z1，z2 在复平面内分别对应点 A，B．
在△AOB 中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5， |AB|＝|z1－z2|＝7. ∴cos∠AOB＝|OA|2＋ 2|O|OAB||O|2－B| |AB|2＝－12， 即 argzz12＝23π或 argzz12＝43π，又zz12＝35， ∴zz12＝35cos23π＋isin23π＝－130＋3103i 或zz12＝35cos43π＋isin43π＝－130－3103i.
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
二、填空题 6．已知 z1＝12(1－ 3i)，z2＝sin3π－icos3π，则 z1z2＝________，zz12＝________. 答案 －i 23－12i
答案
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 二十二 分。
解析 因为 z1＝cos－π3＋isin－π3， z2＝cos－π6＋isin－π6， 所以 z1z2＝cos－3π－π6＋isin－π3－π6＝－i， zz12＝cos－π3＋6π＋isin－3π＋π6＝ 23－12i.