诱导公式与旋转-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)

导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
三、诱导公式
1、诱导公式：对于任意角，下列公式均成(其中 ∈ )：
通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式.
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三、诱导公式
2、诱导公式口诀：

诱导公式中的角都可看成 + , ∈ 的形式，





再用2 + , ( ∈ )将角化为 0, 2 内的

角，再用 ± , 2 + , 2 − 化为锐角的三


角函数，还可继续用 2 − 化为 0, 4 内的角
的三角函数.
2，解决给式求值问题的常见思路有：若条
件简单，结论复杂，可从化简结论入手，若
条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，
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思考探究：诱导公式的综合应用
解：f(α)＝

− −

− −− +

sin αcos α
1
＝
＝
，
－sin αsin（π＋α）cos α sin α
3
1
3
1
(1)∵cos − 2 ＝ ，∴cos − 2 + 2 ＝ ，

所以点的横坐标与点’的纵坐标 + 相等，
点的纵坐标与点’的横坐标 +
即对任意角，有①
②

+


+

= ；
= −.



的绝对值相等且符号相反，
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探究二
思考：

如图，角与角 − 的正弦函数、余弦函数有何关系？

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一、角与 + /的正弦函数、余弦函数关系

的正弦函数、余弦函数关系：

角与 +
如图，在平面直角坐标系中，

设任意角和 + 的终边与单位圆的交点分别为点和点’，



是由角逆时针旋转 得到的，


由于角 +
由平面几何知识可知，若为 , ，则’为 −, ，
3
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思考探究：证明三角恒等式

思考 1：求证：
证明：
左边＝
− ∙∙
−

−

−∙
∙



− − +






− − −



+

＝－cos α＝右边．

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二、角与 − /的正弦函数、余弦函数关系

的正弦函数、余弦函数关系：

角与 −
(课本P27例7)如图，在平面直角坐标系中，

设任意角和 − 的终边与单位圆的交点分别为点和点’，



是由角顺时针旋转 得到的，


由于角 −
由平面几何知识可知，若为 , ，则’为 , − ，
3
3
2 2
4
2π
4π
②当 n 为偶数时，原式＝－sin ·cos
3
3
＝－sin −

3
·cos +

3
π
π
3
＝sin ·cos ＝ .
3
3 4
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2

的正弦函数、余弦函数关系
2
一，角α与α + 的正弦函数、余弦函数关系
二，角α与α −
三，诱导公式
1，诱导公式的选择方法：先将 − 化为正角，

所以点的纵坐标与点’的横坐标 − 相等，
点的横坐标与点’的纵坐标 −
即对任意角，有①
②

−


−

= ；
= −.



的绝对值相等且符号相反，
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探究三
思考：
试着总结我们本节所学过的公式.
55
−
6
1
；
2
(3)原式=
=
=
3
4
+ 2 =
55
−��
6

−
6
+



6
4
1
2
+


4
3

4
=
= −

6

4
+

2
=


4

−
6
+ 9 = −

+ − +
6


−
−
6
4
2
2
=

4
+
2
；
2
=
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5
5

1
1
1
∴cos + ＝ ，∴sin α＝－ ，∴f(α)＝
＝－5；
2
5
5
sin α
1
1
1
(2)当＝－1 860°时，f()＝
＝
＝
sin α sin（－1 860°） －sin 1 860°
1
1
2 3
＝
＝
＝－
.
3
－sin（5×360°＋60°） －sin 60°
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思考探究：化简求值问题
思考 2：化简求值：
2π
2
4
π
3π
4π
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；(2) 2 − 3 · + 3 (n∈Z)．
5
5
5
5
2
4
解：(2)①当 n 为奇数时，原式＝sin − 3 ·− 3


π
π
3 1
3
＝sin − 3 ·cos + 3 ＝－sin ·cos ＝－ × ＝－ ；
教材P25练习
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教材P25练习
4
− ,
5
3
− ,
5
1， =
=

3

4

+ = = − ,
+ = − = ,
2
5
2
5

3

4

− = = − ,
− = = − .
2
5
2
转化出结论的形式，若条件和结论都比较复
杂，可同时化简它们，直到找出它们之间的
联系为止，无论使用哪种方法，都要时刻瞄
准目标，根据需要变形.
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课后作业
作业1：课本P27 A组T9
作业2：课本P27 B组T3
谢谢聆听！
于是，对于 +
和 +
，我们可以用如下口诀去化简：
“奇变偶不变，符号看象限”，
口诀中的“奇和偶”，指的是 的奇偶，“变和不变”指的是变不变三角函数名，

“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看 + 所在的象限.

(运用公式时，默认为锐角)

例如： + = ， + = −，
所以原等式成立．
=− .
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思考探究：诱导公式的综合应用
思考 2：已知α是第四象限角，且 ＝
(1)若 cos −


− −

− −− +

.
= ，求 f(α)的值；(2)若α =− 1860°，求 的值．
北师大版（2019）高中数学必修第二册
第一章 三角函数
第4节 正弦函数和余弦函数
的概念及其性质
4.4诱导公式与旋转
导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结
观察下面两幅图，你知道每幅图中，红色终边所表示角的三角函
数值有什么关系吗？
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探究一
思考：

如图，角与角 + 的正弦函数、余弦函数有何关系？
5
2，(1) = −0.3；(2) + = 0.3；(3) − = −0.3;

(4) 2 − = −0.3；(5)
+ = −0.3.
2
1
3， −3 + = .
4，
3
2
− =
5，原式=0.
3
1
3
− ,
3
2
+ =
1
− .
教材P25例题
例9 化简：
2− 3+
− 3− −−
解：
原式=
=
3
+
2

− + 2 −
− − +
− −
− −
= 1.
.
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2
��

+ = −， + = −.
2
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教材P24例题
例8 求下列函数值：
11
55
⑴sin
；
⑵ −
；
4
5
⑶
6
6

−
4
+
11
5

.
6
4
解：
11
(1)
4
(2)


6
=
=