高等代数矩阵习题

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性 1.证明A可逆的方法
（1）把已知矩阵等式写为AB=C的形式， │AB│=│A││B│=│C│≠0知│A│≠0，从而可逆；
（2）证明AX=0只有零解，则│A│≠0，从而可逆；
（3）证明的特征值全不为零即可。
2.证明A不可逆的方法
（1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾； （2）直接计算│A│=0； （3）证明A有零的特征值； （4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。
A11 A2 ( A4 A3 A11 A2 ) 1 ( A4 A3 A11 A2 ) 1
例2.设A，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。 解： （1） A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1） = B-1（A+B）A-1 （2）（ A-1+B-1）-1 = B（A+B）-1A
A1 X 1 A2 X 3 E m A X A X 0 3 1 4 3 A1 X 2 A2 X 4 0 A3 X 2 A4 X 4 E n
X 4 ( A4 A3 A11 A2 ) 1
即
( A1 A2 A4 1 A3 ) 1 A 1 A4 1 A3 ( A1 A2 A4 1 A3 ) 1
题型四 解矩阵方程 （1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问 题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因 为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先 化简，再计算。 （2）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C， 若A为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及 X=A-1CB-1（这里要求B可逆）。 （3）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。
例1
1 1 - 1 设矩阵A - 1 1 1 ，矩阵X满足A X A -1 2X， 1 -1 1 其中A 是A的伴随矩阵，求矩阵 。 X
解：（若先计算出方程中的
A 及A-1，然后再解方程求X，则
及A-1，可用公式
计算过程会十分复杂，为了避免求
A A AA A E,
1 -1 1 A E - 2A 2 1 1 - 1， - 1 1 1
1 -1 1 1 1 0 1 1 X 1 1 - 1 0 1 1. 2 4 - 1 1 1 1 0 1
1 0 0 例1 设矩阵A, B满足A BA 2BA - 8E，其中A 0 - 2 0， 0 0 1 E为单位矩阵， 为A的伴随矩阵，试求 。 A B
1 1 1 （2）当x 1时， 0，且A 1 1 1，显然秩（A） 1， A 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 1 ，这时有二阶子式 - 2 1 0， （3）当x 2时， 0，且A A 1 - 2 1 1 - 2 显然秩（A） 2
题型一 求数值型矩阵的逆矩阵 基本方法有：
1.定义法：设A的逆矩阵为X，由AX=E（或XA=E），求出X即可。 2.公式法： A 1 1 A A
( A E ) ( E A 1 ) 3.初等变换法：
4.分块求逆法：若A能分成以下类型之一时
A11 0 A11 A12 A11 0 0 A12 0 A , 0 A , A A , A 0 22 22 21 22 21
x 1 1 1 1 x 解(方法2）： A 1 x 1 1 x 1 1 1 x x 1 1 1 x 1 x 1 1 0 x 1 ( x 1) 0 x 1 ( x 1) , 0 ( x 1) 1 x 2 0 0 ( x 2)(x 1) 于是由初等变换不改变 矩阵的秩，知 （ ）当x 1且x 2时， 0，秩（A） 3， 1 A （2）当x 1时，秩（A） 1， （3）当x 2时，秩（A） 2
解： 用反证法
设E-AB不可逆，则存在X≠0，使（E-AB）X=0 即 X= BAX 于是 AX= ABAX ，令Y =AX，则Y≠0， 否则若 Y=0，则有 X=BAX=BY=0，
这与X≠0矛盾，从而有
Y=ABY,
即 （E-ABห้องสมุดไป่ตู้Y=0,
Y ≠0
Y ≠0
这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆
题型三 考查矩阵运算的特殊性
矩阵运算不满足交换律AB≠BA，涉 及到两个矩阵是否可交换，一般联想 到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结 合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结 合律往往可以简化计算。
例1.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则B-C为？ 解：由B=E+AB，C=A+CA，知 （E-A）B=E，C（E-A）=A， 可见，E-A与B互为逆矩阵，于是B（E-A）=E, 从而有 （B-C）（E-A）=E-A，
题型五 求矩阵的秩
例1
a1b1 a b 设A 2 1 a n b1
a1b2 a 2 b2 a n b2
a1bn a 2 bn , 其中a 0.b 0(i 1,2,, n), 求秩（A） . i i a n bn
解： 因为A的任一二阶子式
解：
1 1 1，则A P Q，QP 1 1 12 6 3 于是A 2 P Q P Q P（QP）Q 6P Q 6A A 4 A 2 A 2 6A 6A 36A2 6 2 A A 100 P Q P Q P Q P (QP )(QP (QP )Q (QP )99 P Q ) 1 1 1 6 99 A 6 99 2 2 2 3 3 3
在等式两边同时左乘矩阵A进行化简。）
-1 解： 两边同乘A，得AA X AA 2AX
利用公式AA A E，上式化为 即
A X E 2AX
-1 X A E - 2A） （
（ A E - 2A）X E，从而有
1 由于 1 故
1
-1 1 4，
-1
A -1 1
-1 1
而
E-A可逆，故B-C=E。
例2.
1 1 1 设A 2 2 2，求A 2，A 4，A 100 . 3 3 3
1 1 因为 A 2 2 3 3 1 令P 2，Q 1 3 1 1 2 21 1 1 3 3
例1.设n阶矩阵A满足关系式A3+A2-A-E=0，证明A可逆，并 求A-1。 解： 由A3+A2-A-E=0可得A（A2-A-E）=E 从而│ A（A2-A-E）│= │ （A2-A-E） │ │A│ =1 于是│A│≠0，故A可逆，且A-1= A2-A-E
例2.设A，B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA可逆。
ai bk a j bk
ai bl a j bl
0, 于是秩（A） 1
而A为非零矩阵，故秩（A）≥1，从而秩（A）=1
x 1 1 例2.设三阶矩阵A 1 x 1 , 试求矩阵A的秩。 1 1 x
x 1 1 1 x 1 ( x 2)(x 1) 2 , 故 解(方法1）： 1 1 x （ ）当x 1且x 2时， 0，秩（A） 3， 1 A
解：
利用公式AA A E，等式两边分别左乘 ，再分别右乘 -1， A A 得 AA BAA-1 2ABAA-1 - 8AA-1 A B 2AB - 8E
即
从而
4 0 0 2 0 0 -1 B （2A - A E） 80 - 2 0 0 - 4 0. 8 0 0 4 0 0 2
当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算
例1.设A1，A2分别为m,n阶矩阵，试求
的逆矩阵。
X1 令A 解： X 3
-1
A1 A A3
A2 A4
X2 X4
得
则
X 1 ( A1 A2 A4 1 A3 ) 1 X 2 A11 A2 ( A4 A3 A11 A2 ) 1 X 3 A4 1 A3 ( A1 A2 A4 1 A3 ) 1