2019-2020学年山东省青岛市市南区七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.如图图形中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是()
A. B.
C. D.
3.冠状病毒是一大类病毒的总称，在电子显微镜下可以观察到它们的表面有类似日冕
状突起，看起来像王冠一样，因此被命名为冠状病毒.冠状病毒最大直径约为
0.00000012米，是自然界广泛存在的一大类病毒.将0.00000012用科学记数法可表
示为()
A. 1.2×107
B. 1.2×10−7
C. 0.12×10−6
D. 1.2×10−6
4.如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC
上，且AD=AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平
行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为()
A. 40°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
5.如图，小猫在5×5的地板砖上行走，并随机停留在某一块方砖
上，则它停留在阴影方砖上的概率是()
A. 14
25
B. 12
25
C. 11
25
D. 9
25
6.如图，AC与BD相交于点O，∠DAB=∠CBA，添加下
列哪一个条件后，仍不能使△ADB和△BCA一定全等的
是()
A. AD=BC
B. ∠ABD=∠BAC
C. OA=OB
D. AC=BD
7.如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC
上一点，DP⊥OA于点P，DP=5，若点Q是射线
OB上一点，OQ=3，则△ODQ的面积是()
A. 6.5
B. 7.5
C. 8
D. 10
8.如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥
AE于E，交AC延长线于F，则下列结论：①AD=BF；
②∠BAE=∠FBC；③S△ADB=S△ADC；④AC+CD=
AB；⑤AD=2BE.其中正确的结论有()个．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是______ ．
10.已知圆柱的底面半径为3cm，在其中心位置挖去一个半径为1cm
的小圆柱，形成一个圆筒，则该圆筒的体积y(cm3)与圆筒的高
x(cm)的函数关系式为______．
11.如果一个自然数右边的数字比左边的数字大，那么我们把它叫做“上升数”(如34，
569，1269等都是上升数)，现在任取一个两位数，是“上升数”的概率是______ ．
12.已知a2−b2=3，则(a+b)2(a−b)2=______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，∠BAC=45°，
∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和
AB上的动点，则BE+EF的最小值是______．
14.如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A=63°，则∠D=______．
15.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的Aʹ处，若∠A=28°，∠BDAʹ=90°，
则∠AʹEC的大小为______．
16.如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，
设慢车行驶的时间为x(ℎ)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的关系，下列说法中正确的序号为______．
①甲乙两地相距200km；
②BC−CD段表示慢车先加速后减速最后到达甲地；
③快车的速度为60km/ℎ；
④慢车的速度为40km/ℎ；
⑤快车到达乙地100min后，慢车到达甲地．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠β和线段a，求作△ABC，使得∠A=∠β，∠B=
2∠β，边AB=a．
18.解答下列各题：
(1)(−1)2020−(3−π)0+(−1
)−2．
3
(2)(−ab2)3⋅(−9a3b)÷(−3a3b5).
(3)利用公式计算：101×99−972．
(4)先化简，再求值：[(2a+b)(2a−b)−3(2a−b)2+4b2]÷(4a)，其中a=2，
b=1．
19.如图是小芳设计可自由旋转的均匀转盘，将其等分为
10个扇形，每个扇形有1个有理数，想想看，转得下列
各数的概率是多少？
(1)转得非负数；
(2)转得整数；
(3)若小芳和小锐做游戏，转得正整数小芳获胜；若转
得的数绝对值大于等于6小锐获胜，这个游戏公平吗？
20.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，连接AD，点E是BC延长线上
一点，CF平分∠ACE，连接AF，且AF=AC.试说明：AF⊥AD．
解：∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC(______)，
∴∠ADC=90°．
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF(______).
∵AF=AC，
∴∠ACF=______(______)，
∴______=______，
∴AF//BE(______)，
∠ADC+∠DAF=______．
∵∠ADC=90°，
∴∠DAF=90°，
∴AF⊥AD．
21.某快递公司派甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5ℎ后乙开始出
发，结果比甲早1h到达B地，如图，线段OP，MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S(km)与时间t(ℎ)的关系，a表示A，B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：
(1)分别计算甲、乙两车的速度．
(2)求出a的值．
(3)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速
返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S(km)与时间t(ℎ)的图象．
22.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，
垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE=CD；
(2)若AC=12cm，求BD的长．
23.玩纸片拼图游戏时，我们发现利用图1①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形
来解释某些等式，比如图1②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)图1③可以解释为等式：______．
(2)要拼出一个长为a+b，宽为3a+b的长方形，需要如图2所示的______．
(3)如图1④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个小
长方形的两边长(x>y)，观察图案，以下关系式正确的是______(填序号)．
①xy=m2−n2
；
4
②x+y=m；
③x2−y2=m⋅n；
④x2+y2=m2+n2
．
2
24.阅读理解：
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合，∠BAC就被称为是△ABC的好角．
探究发现：
小丽和小亮展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．小丽展示的如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；小亮展示的如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
(1)问题解决：
图2中∠B与∠C的关系为______，图3中∠B与∠C的关系为______.请写出证明过程．
(2)小丽又经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设
∠B>∠C)之间的等量关系为______；根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是
△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为______．
(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．如果以60°为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以105°为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．
(4)应用提升：
如果一个三角形的最小角是4°，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？请以(x°,y°)的形式写出所有可能的结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使这些图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出结论．
【解答】
解：三角形某条边上的高线的作法为：过这条边所对的角的顶点作这条边的垂线段即可；B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，只有A选项符合，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：将0.00000012用科学记数法可表示为1.2×10−7．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：∵AC=CB，∠C=40°，
(180°−40°)=70°，
∴∠BAC=∠B=1
2
∵AD=AE，
(180°−70°)=55°，
∴∠ADE=∠AED=1
2
∵GH//DE，
∴∠GAD=∠ADE=55°，
故选：C．
根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵图中共有52个方格，其中阴影方格9个，
∴阴影方砖在整个方格中所占面积的比值=9
，
25
∴最终停在阴影方砖上的概率为9
．
25
故选：D．
先求出阴影方砖在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式，求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠DAB=∠CBA，AB=BA，
∴若添加AD=BC，则可以判定△ADB≌△CBA(SAS)，故A不符合题意；
若添加∠ABD=∠BAC，则可以判定△ADB≌△CBA(ASA)，故B不符合题意；
若添加OA=OB，则∠DBA=∠CAB，故可以判定△ADB≌△CBA(ASA)，故C不符合题
意；
若添加AC=BD，则无法判断△ADB≌△CBA，故D符合题意．
故选：D．
根据题目中的条件和全等三角形的判定方法可以判断哪个选项中的说法不能判定△ADB≌△CBA，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的明确题意，利用全等三角形的判定和数形结合的思想解答．
7.【答案】B
【解析】解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE=DP=5，
∵OQ=3，
×3×5=7.5，
∴S△ODQ=1
2
故选：B．
作DE⊥OB于E，由角平分线的性质可得DE的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查角平分线的性质，求解DE的长是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠BCF=∠ACD=∠BEA=∠AEF=90°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴180°−∠BDF−∠BED=180°−∠ADC−∠DCA，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
∴△ACD≌△BCF(ASA)，
∴AD=BF，
∴①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠CBF=∠FAE，
∴∠BAE=∠FBC，
∴②正确；
过D作DQ⊥AB于Q，
则BD>DQ，
∵AE平分∠BAC，BC⊥AC，DQ⊥AB，
∴DC=DQ，
∴BD>CD，
∵△BAD的边BD上的高和△CAD的边CD上的高相同，∴△ABD的面积大于△ACD的面积，
∴③错误；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠DBQ=45°，
∵DQ⊥AB，
∴∠DQB=∠AQD=∠ACD=90°，
∴∠BDQ=∠DBQ=45°，
∴BQ=DQ=CD，
在直角△ACD和直角△AQD中，AD=AD，CD=DQ，由勾股定理得：AC=AQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CD，
∴④正确；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△AEB和△AEF中，
∴△AEB≌△AEF(ASA)，
∴BE=EF，
∴BF=2BE，
∵AD=BF，
∴AD=2BE，
∴⑤正确．
故选：C．
根据ASA证△ACD≌△BCF得AD=BF，即①正确，根据AE平分∠BAC，∠CBF=∠FAE，可得②正确，根据△BAD的边BD上的高和△CAD的边CD上的高相同，BD>CD可得③错误，证在直角△ACD和直角△AQD中，AD=AD，CD=DQ，由勾股定理得：AC=AQ，即可得④正确，根据ASA证△AEB≌△AEF，推出AD=BF=2BE，即⑤正确，故得
答案．
本题主要考查等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质等知识是解题的关键．
9.【答案】±4
【解析】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m=±4，
故答案为：±4
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】y=8πx
【解析】解：由题意可知该圆筒的体积为：
y=32⋅π⋅x−12⋅π⋅x，
=9πx−πx
=8πx，
故答案为：y=8πx．
根据圆筒的体积=大圆柱的体积−小圆柱的体积即可得出答案．
本题考查了函数关系式，掌握圆柱的体积公式是解题的关键，V=πr2ℎ.
11.【答案】2
5
【解析】解：两位数共有90个．
10−19这10个数中，“上升数”有12，13，14，15，16，17，18，19一共8个；20−29这10个数中，“上升数”有23，24，25，26，27，28，29一共7个；
30−39这10个数中，“上升数”有34，35，36，37，38，39一共6个；
40−49这10个数中，“上升数”有45，46，47，48，49一共5个；
50−59这10个数中，“上升数”有56，57，58，59一共4个；
60−69这10个数中，“上升数”有67，68，69一共3个；
70−79这10个数中，“上升数”有78，79一共2个；
80−89这10个数中，“上升数”有89一共1个；
90−99这10个数中，“上升数”有0个；
∴在两位数中共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个，
∴任取一个两位数，是“上升数”的概率=36
90=2
5
．
故本题答案为：2
5
．
由题意知，两位数共有90个，找出所有的上升数，再由概率公式求出概率即可．
此题利用了穷举法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
.关键是找到所有的“上升数”．12.【答案】9
【解析】解：∵a2−b2=3，
∴(a+b)2(a−b)2
=(a2−b2)2
=32
=9．
故答案是：9．
根据平方差公式得到：(a+b)2(a−b)2=(a2−b2)2，整体代入求值．
本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
13.【答案】5
【解析】解：如图，在斜边AC上截取ABʹ=AB，连接BBʹ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BʹAM=∠BAM，
在△BʹAM和△BAM中，
{AB′=AB
∠B′AM=∠BAM AM=AM
，
∴△BʹAM≌△BAM(SAS)，
∴BM=BʹM，∠BMA=∠BʹMA=90°，
∴点B与点Bʹ关于直线AD对称．
过点Bʹ作BʹF⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，
则线段BʹF的长即为所求(点到直线的距离最短)，
在Rt△AFBʹ中，
∵∠BAC=45°，
ABʹ=AB=√2
2
AC=5√2，
∴BʹF=ABʹ⋅sin45°=AB⋅sin45°=5√2×√2
2
=5，
∴BE+EF的最小值为5．
首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．
本题考查全等三角形的性质与判定、轴对称的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】117°
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，分
别交于点E，点F，
则∠AED=∠AFD=90°，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=63°，
∴∠D=180°−63°=117°．
故答案是：117°．
过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，分别交于点E，点F，则由四边形内角和定理求得∠A+∠D=180°，易得答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和是360度，熟记性质并作辅助线构造出四边形是解题的关键．
15.【答案】34°
【解析】解：∵∠BDAʹ=90°，
∴∠ADAʹ=90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的Aʹ处，
∴∠ADE=∠AʹDE=45°，∠AED=∠AʹED，
∵∠CED=∠A+∠ADE=28°+45°=73°，
∴∠AED=107°，
∴∠AʹED=107°，
∴∠AʹEC=∠AʹED−∠CED=107°−73°=34°．
故答案为：34°．
利用折叠性质得∠ADE=∠A′DE=45°，∠AED=∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED=73°，利用三角形内角和得到∠AED=107°，则∠A′ED=107°，然后利用
∠A′EC=∠A′ED−∠CED进行计算即可．
本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质解答的关键是明确折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】①③④⑤
【解析】解：①由题当t=0时，y=200，所以甲乙两地相距200km，①正确；
②由图中可知：A点为两车还未出发，B点两车相遇，C点快车到达，D点慢车到达，所以②错误；
③由D点求慢车速度为V慢=200
5
=40km/ℎ，
由B点求快车速度
V 快=200
2
−V
慢
=100−40=60km/ℎ，所以③正确；
④慢车速度为40km/ℎ，所以④正确；
⑤由C点求快车到达时间，t=200
60=10
3
ℎ，
时间差为5−10
3=5
3
ℎ=100min.所以⑤正确，
综上①③④⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
根据图象上A、B、C、D的实际意义即可求出答案．
本题考查了利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
17.【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【解析】作射线AM，在射线AN上截取AB=a，在AB的上方分别作∠EAB=β，∠FBA= 2β，AE交BF于点C，△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
)−2
18.【答案】解：(1)(−1)2020−(3−π)0+(−1
3
=1−1+9
=9；
(2)(−ab2)3⋅(−9a3b)÷(−3a3b5)
=−a3b6⋅(−9a3b)÷(−3a3b5)
=9a6b7÷(−3a3b5)
=−3a3b2；
(3)101×99−972=(100+1)(100−1)−(100−3)2
=1002−1−(1002−600+9)
=1002−1−1002+600−9
=590；
(4)[(2a+b)(2a−b)−3(2a−b)2+4b2]÷(4a)
=[4a2−b2−3(4a2−4ab+b2)+4b2]÷(4a)
=(4a2−b2−12a2+12ab−3b2+4b2)÷(4a)
=(−8a2+12ab)÷(4a)
=−2a+3b，
当a=2，b=1时，
原式=−2×2+3×1
=−4+3
=−1．
【解析】(1)直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
(2)直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的乘除运算法则计算得出答案；
(3)直接利用乘法公式将原式变形，进而计算得出答案；
(4)直接利用乘法公式以及合并同类项、整式的混合运算法则分别化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了负指数幂运算、单项式除以单项式、完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式、零指数幂运算、单项式乘单项式等知识，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)由题意可知，转盘中有10个数，其中非负数为：0，1，1
3
，6，8，9这6个，
所以转得非负数的概率为6
10=3
5
．
(2)由题意可知，转盘中有10个数，其中整数为：0，1，−2，6，−10，8，9，−1这8个，
所以转得整数的概率为8
10=4
5
．
(3)由题意可知，转盘中有10个数，其中正整数为：1，6，8，9这4个，转得正整数的
概率为4
10=2
5
，故小芳获胜的概率为：2
5
；
这10个数中绝对值大于等于6的数为：6，−10，8，9这4个，转得绝对值大于等于6
的数的概率为4
10=2
5
，故小锐获胜的概率为：2
5
；
因为小芳和小锐获胜的概率相等，均为2
5
，
故这个游戏公平．
【解析】(1)由转盘中有10个数，其中非负数为：0，1，1
3
，6，8，9这6个，根据概率公式求解即可；
(2)由转盘中有10个数，其中整数为：0，1，−2，6，−10，8，9，−1这8个，根据概率公式求解即可；
(3)根据概率公式分别计算出小芳和小锐获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】等腰三角形三线合一角平分线定义∠ECF角平分线定
义∠AFC∠ECF内错角相等，两直线平行180°
【解析】解：∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)，
∴∠ADC=90°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF(角平分线定义)，
∵AF=AC，
∴∠ACF=∠AFC(等边对等角)，
∴∠AFC=∠ECF，
∴AF//BE(内错角相等，两直线平行)，
∴∠ADC+∠DAF=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAF=90°，
∴AF⊥AD．
故答案为：等腰三角形三线合一，角平分线定义，∠ECF，角平分线定义，∠AFC，∠ECF，内错角相等，两直线平行，180°．
根据角平分线的定义和等腰三角形的性质以及平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由图象得：甲的速度为：60÷1.5=40(km/ℎ)，
乙的速度为：60÷(1.5−0.5)=60(km/ℎ)，
∴甲的速度40km/ℎ，乙的速度为60km/ℎ；
(2)方法1：由题意得：a
60=a
40
−1−0.5，解得：a=180；
方法2：设甲到达B地的时间为t时，则乙所用的时间为(t−1−0.5)时，由题意得：40t=60(t−1−0.5)，
t=4.5，
∴a=40t=40×4.5=180，
∴a的值是180km；
(3)方法1：设甲返回时的速度为xkm/ℎ，
则180
60−1=180
x
，
解得：x=90，
经检验：x=90是原方程的解，用符合题意，
所以，甲返回时的速度为90km/ℎ；
方法2：甲、乙同时返回A地，则甲返回时所用的时间为：180
60
−1=2，
所以，甲返回时的速度为：180÷2=90(km/ℎ)．
根据甲去时的时间为4.5ℎ，可得一共所用的时间为：4.5+2=6.5ℎ，画图
【解析】(1)根据路程÷时间计算甲、乙两车的速度；介绍两种计算a的方法：
(2)方法1：根据乙的时间=甲的时间列方程可得a的值；
方法2：设甲到达B地的时间为t时，则乙所用的时间为(t−1−0.5)时，根据甲的路程=乙的路程列方程可得t的值，从而可以计算a的值(a=40t)；
(3)方法1：设甲返回时的速度为xkm/ℎ，根据时间相等列分式方程，注意要检验；
方法2：利用算术法列式计算：先根据乙的时间得甲返回时的时间比乙少用一个小时：180
60
−1；则甲的速度是：180÷2，可得结论，
根据甲去时的时间为4.5ℎ，可得一共所用的时间为：4.5+2=6.5ℎ，画图．
本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
22.【答案】(1)证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵{∠D=∠AEC
∠DBC=∠ECA=90°BC=AC
∴△DBC≌△ECA(AAS)．
∴AE=CD．
(2)解：∵△DBC≌△ECA，∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=1
2BC=1
2
AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
【解析】本题主要考查三角形全等的判定，等腰直角三角形，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
(1)证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB 中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角相等，即可利用角角边进行解答．
(2)由(1)得BD=EC=1
2BC=1
2
AC，且AC=12，即可求出BD的长．
23.【答案】(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2小正方形3块，小长方形4块，大正方形1块①②③④
【解析】解：(1)∵图③中大长方形长为：a+2b，宽为：2a+b，
∴长方形面积为：(a+2b)(2a+b)，
∵大长方形由2个小正方形，2个大正方形和5个小长方形构成，面积分别为2a2，2b2，5ab，
∴(a+2b)(2a+b)=2a2+2b2+5ab；
(2)∵(a+b)(3a+b)=3a2+ab+3ab+b2=3a2+4ab+b2，
∴要拼成一个长为a+b，宽为3a+b的长方形，需要小正方形3块，小长方形4块，大正方形1块，
故答案为：3，4，1；
(3)由图可知，
x+y=m，x−y=n，故②正确，
∴(x+y)(x−y)=x2−y2=mn，故③正确，
xy=1
4[(x+y)2−(x−y)2]=m2−n2
4
，故①正确，
x2+y2=(x+y)2−2xy=m2−2×m2−n2
4=m2+n2
2
，故④正确．
综上所述，①②③④正确，
故答案为：①②③④．
(1)根据图③的拼图过程可得长方形的长为a+2b，宽为2a+b，根据面积公式可得答案；
(2)计算(a+b)(3a+b)的结果，根据结果的各个项的系数得出答案；
(3)根据拼图过程和公式变形进行判断即可．
本题考查平方差公式，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
24.【答案】∠B=∠C∠B=2∠C∠B=3∠C∠B=n∠C7 7
【解析】解：(1)①∵折叠后，B，C重合，
∴∠B=∠C；
②∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理)，
∴∠B=2∠C．
故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
(2)在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1−∠A1B1C=∠BAC+2∠B−2C= 180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
(3)当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
故答案为：7，4．
(4)由(2)知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°(其中m，n都是正整数)．
由题意，得4m+4mn+4=180，
∴m(n+1)=44，
∵m，n都是正整数，
∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；
当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；
当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
(1)利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
(2)根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1−∠A1B1C=∠BAC+2∠B−2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可．
(3)以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
(4)根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°(其中m，n都是正整数).根据二元方程，求整数解即可．
本题属于三角形综合题，考查了翻折变换(折叠问题).解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．。