八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 第2课时 正方形的判定练习 华东师大

课时作业(三十八)
[19.3 第2课时正方形的判定]
一、选择题
1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是链接听课例1归纳总结( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
2．四边形的两条对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
图K－38－1
3．如图K－38－1，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是( )
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．∠ABC＝90° D．AO＝BO
4．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( )
链接听课例1归纳总结
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC＝BD
C．AO＝BO，∠A＝∠C
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
5．xx·舟山一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按图K－38－2中步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )
图K－38－2
A. 2 B．2 2 C．1 D．2
图K－38－3
6．如图K－38－3，正方形ABCD的边长为8，在各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34
C．36 D．40
二、填空题
图K－38－4
7．如图K－38－4所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是____________．
链接听课例1归纳总结
8．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：____________________，使其成为正方形．(只填其中一个即可)
9．如图K－38－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连结DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：
图K－38－5
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF可能为正方形；
③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．
其中正确的结论是________(填写序号)．
三、解答题
10．如图K－38－6，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形．
图K－38－6
11.如图K－38－7，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC＝CF＝EF，∠AEB＝15°.
(1)求∠ACF的度数；
(2)求证：矩形ABCD为正方形．
图K－38－7
12．如图K－38－8，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
图K－38－8
13．如图K－38－9，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，连结DO 并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．
图K－38－9
问题背景：
如图K－38－10①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究：
如图K－38－10②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果全等，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是不是正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系.链接听课例2归纳总结
图K－38－10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D由∠A＝∠B＝∠C＝90°知，四边形ABCD是矩形，只需要邻边相等就可以推出该四边形是正方形．
2．[答案] D
3．[解析] B A项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AC＝BD时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；B项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD 是菱形，当AB＝BC时，无法得出菱形ABCD是正方形，故此选项符合题意；C项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当∠ABC＝90°时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；D项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AO＝BO时，则AO＝BO＝CO＝DO，故菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意．故选B.
4．[解析] A A项，能，因为对角线相等且互相垂直平分；
B项，不能，只能判定为等腰梯形；
C项，不能，不能判定为特殊的四边形；
D项，不能，只能判定为菱形．故选A.
5．[答案] A
6．[解析] B∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG.
在△AEH，△BFE，△CGF和△DHG中，
∵AE＝BF＝CG＝DH，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝HG＝52＋32＝34，
∴四边形EFGH的面积是(34)2＝34.故选B.
7．[答案] 答案不唯一，如AC＝BD或∠ABC＝90°等
[解析] 由题意可得四边形ABCD是菱形，因此只需增加一个条件使菱形ABCD成为正方形即可，所以可使其对角线相等，即增加条件AC＝BD，或增加一个角为直角，即增加条件∠ABC＝90°等．[点评] 本题是一道条件开放题，在添加条件时，要结合图形挖掘隐含的条件．
8．[答案] 答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB
[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．所以可以添加的条件是AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB.
9．[答案] ①②③
[解析] 连结CD.因为D 是等腰直角三角形ABC 底边的中点，所以∠DCF ＝45°＝∠A ，CD ＝AD.又因为CF ＝AE ，所以△CDF ≌△ADE ，所以DF ＝DE ，∠CDF ＝∠ADE.因为∠ADE ＋∠CDE ＝90°，所以∠CDF ＋∠CDE ＝90°，即∠EDF ＝90°，①正确；当E ，F 分别为AC ，BC 的中点时，四边形CEDF 为正方形，②正确；因为△CDF ≌△ADE ，所以四边形CEDF 的面积等于△ACD 的面积＝△ABC 面积的一半，③正确．
10．证明：∵∠ACB ＝90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴四边形CFDE 是矩形．
又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.
∴四边形CFDE 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 11．解：(1)∵CF ＝EF ，∴∠FCE ＝∠AEB ＝15°， ∴∠AFC ＝∠FCE ＋∠AEB ＝30°. ∵AC ＝CF ，∴∠FAC ＝∠AFC ＝30°， ∴∠ACF ＝180°－∠FAC －∠AFC ＝120°. (2)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠D ＝90°， ∴∠DAG ＝∠AEB ＝15°. 由(1)知∠FAC ＝30°，
∴∠DAC ＝∠DAG ＋∠FAC ＝45°.
∵∠D ＝90°，∴∠ACD ＝∠DAC ＝45°， ∴AD ＝CD ，∴矩形ABCD 为正方形．
12．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO.
又∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ，
∴ 平行四边形ABCD 是菱形． (2)∵△ACE 是等边三角形， ∴∠AEC ＝60°. ∵EO ⊥AC ，
∴∠AEO ＝1
2
∠AEC ＝30°.
∵∠AED ＝2∠EAD ， ∴∠EAD ＝15°，
∴∠ADO ＝∠EAD ＋∠AED ＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90°， ∴ 四边形ABCD 是正方形．
13．解：(1)证明：由已知得OA ＝OB ，OE ＝OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．
∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝90°，
∴▱AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
[素养提升]
[解析] (1)已知有一组对应边相等，由旋转可得一组对应角相等，证明另一组对应角相等即可．
(2)由(1)中全等可得△DEF三个外角对应相等，从而可得三个内角对应相等．
(3)由(2)知∠ADB＝120°，根据特殊角构造直角三角形，作AG⊥BD，利用勾股定理即可求解．解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.
选择证明△ABD≌△BCE如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBE，∠BCE＝∠ACB－∠ACF，而∠CBE＝∠ACF，
∴∠ABD＝∠BCE.
又∵∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE.
(2)△DEF是正三角形．
理由：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，
∴△DEF是正三角形．
(3)过点A作AG⊥BD，交BD的延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°，
∴在Rt△ABG中，c2＝(a＋1
2
b)2＋(
3
2
b)2，
∴c2＝a2＋ab＋b2.
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