高三年级调研考试数学理

湖北省武汉市2007届高三年级调研考试
理科数学试题
本试卷150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共100分。

请把答案全部
写在答题卷上，答在试题卷上无效。

考试结束后，监考人员将答案卷收回。

2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指
定的位置。

3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

4．非选择题请用0.5毫米黑色签字笔答在答题卷上每题所对应的答题区域内，答在指定
区域外无效。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A · B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k n k
k n n P P C k P --=)1()(.
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 33
4R V π=球 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设集合φ≠≤=<≤-=N M a x x N x x M 若}.|{},21|{，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．]2,(-∞
B ．),1[∞-
C ．（－1，+∞）
D ．（－∞，－1）
2．若b a bi i
a
,,11其中-=+都是实数，i 是虚数单位，则bi a += （ ）
A ．1+2i
B ．1－2 i
C ．2+ i
D ．2－i
3．已知αββαtan ,4
1
tan ,31)tan(则==+的值应是 （ ）
A ．
12
1 B ．131 C ．13
7
D ．
13
12
4．若函数)(x f 的反函数为x x f
21
log )(=-，则满足)(x f >1的x 的集合是
（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（－1，1）
D ．（0，1）
5．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中的一组，已知该组上的直
方图的高为h ，则该组的频率为 （ ）
A ．
a
b h
- B ．)(b a h -
C ．
h
a
b - D ．)(a b h -
6．在等差数列}{n a 中，若12101512933
1
,120a a a a a a -=+++则的值为 （ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
7．已知椭圆
181422
2222=-=+m
y x n y x 与双曲线有相同的准线，则动点P （n ，m ）的轨迹为 （ ）
A ．椭圆的一部分
B ．双曲线的一部分
C ．抛物线的一部分
D ．直线的一部分
8．EF 是两条互相垂直的异面直线m 、n 的公垂线段，点P 是线段EF 上除E 、F 外一动点，
若点A 是m 上不同于垂足E 的点，点B 是n 上不同于垂足F 的点，则△ABP 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均有可能 9．如图，设P 为△ABC 内一点，且,5
1
52AC AB AP +=
则
=∆∆ABC
ABP
S S （ ） A ．
51 B ．
52
C ．4
1
D ．3
1
10．已知定义域为R 上的函数)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，
如果)()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值 （ ）
A ．可能为0
B ．恒大于0
C ．恒小于0
D ．可正可负
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．6人分乘两辆出租车，每车最多4人，则不同的乘车方法共有 种（填数字）. 12．在6
2
)21(x x -的展开式中，x 5的系数为
.
13．在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
2,,0,0x y t y x y x 下，当43≤≤t 时，目标函数y x z 23+=的最大的变化范围是
. 14．若函数x
f x f x x x f x ∆+-∆+
=→∆2)
1()1(lim ,1)(03
则= .
15．直线s s
y s x y x 其中与曲线(21
0222⎩⎨⎧=+==--为参数）交于A 、B 两点，点M 是线段
AB 的中点，则点M 到y 轴的距离是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知向量).32sin ,2(cos ),2sin ,12(cos ),sin ,(cos -=-=θθθθθθb 其中
Z k k ∈≠,πθ.
（1）求证：⊥；
（2）)(),,0(,)(θπθθf c a f 求且设∈⋅=的值域.
17．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =120 °，P A ⊥底面ABCD ，AB =1，
P A =6，E 为CP 的中点.
（1）求直线DE 与平面P AC 所成角； （2）求二面角E —AD —C 的大小；
（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立？
如果存在，求出MC 的长；如果不存在，请说明理由.
18．（本小题满分13分）
已知函数R a a x x x f ∈-=|,|)(2
.
（1）当0≤a 时，判断函数),()(+∞-∞在x f 上的单调性；
（2）当a =3时，求函数)1](,0[)(>b b x f 在区间
上的最大值.
19．（本小题满分10分） 在一个单位中普查某种疾病，600个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方
法进行： 方法一：每个人的血分别化验，这时需要化验600次；
方法二：把每个人的血样分成两份，取)2(≥k k 个人的血样各一份混在一起进行化验，如果结果是阴性的，那么对这k 个人只作一次检验就够了；如果结果阳性的，那么再对
这k 个人的另一份血样逐个化验，这时对这k 个人共需作k +1次化验.
假定对所有的人来说，化验结果是阳性的概率是0.1，而且这些人的反应是独立的.将每个人．．．
的血样所需的检验次数作为随机变量ξ. （1）写出方法二中随机变量ξ的分布列，并求数学期望E ξ（用k 表示）；
（2）现有方法一和方法二中k 分别取3、4、5共四种方案，请判断哪种方案最好，并说
明理由.（参考数据：取0.93=0.729，0.94=0.656，0.95=0.591）
20．（本小题满分14分）
已知双曲线12
2
=-x y ，过上焦点F 2的直线与下支交于A 、B 两点，且线段AF 2、
BF 2的长度分别为m 、n . （1）证明mn ≥1；
（2）若m >n ，当直线AB 的斜率]5
5
,31[∈k 时，求n m 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知定义在R 上的单调函数)(x f ，存在实数x 0，使得对于任意实数x 1、x 2，总有
)()()()(2102010x f x f x f x x x x f ++=+恒成立.
（1）求x 0的值；
（2）若,1)(0=x f 且对任意正整数n ，有21.1)2
1
(,)(1a a S f b n f a n n n n =+==
记 n n n n n n n T S b b b b b b T a a a a 与比较3
4
,,13221132+++++=+++ 的大小关系， 并给出证明.
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．C 9．A 10．C 二、填空题
11．50 12．－160 13．[7，8] 14．1 15．10 三、解答题
16．解：（1）0)cos sin 2,sin 2()sin ,(cos 2=-⋅=⋅θθθθθb a . …………4分
（2）θθθθθθsin 32sin sin 2cos cos )(-+=f )3
cos(2sin 3cos π
θθθ+
=-=.
…………8分
,3
43
3
),,0(ππ
θπ
πθ<
+
<∴
∈∴
).1,2[)(-∈∴θf
…………12分
17．解：（1）（1）如图，连结AC ，BD 交于点0， ∵PA ⊥底面ABCD ， ∴平面PAC ⊥平面ABCD. 又∵底面ABCD 是菱形 ∴BD ⊥AC ， ∴DO ⊥面PAC. 连结OE ，则∠DEO 为DE 与平面PAC 所成的角 …………2分
,66
tan ,2621,//=∠==
∴DEO PA OE PA OE
.6
6arctan
=∠∴DEO
…………4分
（2）过点0作OF ⊥AD 于F ，连结EF ，由三垂线定理得EF ⊥AD ， 则∠EFO 为二面角E —AD —C 的平面角. …………6分
22tan ,4
3
=∠∴=
EFO OF .
22arctan =∠∴EFO
…………8分
（3）过点O 作OM ⊥PC 于M ，由△COM~△CPA ，得 2
1=
CM . …………10分
∵PC 在底面ABCD 上的射影为AC ，且AC ⊥BD ， ∴PC ⊥BD. 又PC ⊥OM ， ∴PC ⊥面MBD. 所以，求M 存在，且使CM=
2
1. …………12分
方法二：向量法（参照给分）.
18．解：（1）.)()(,03
2
ax x a x x x f a -=-=∴≤ 成立对一切R x a x x f ∈≥-='∴03)(2.
),()(+∞-∞∴在函数x f 上是增函数.
…………4分
（2）.)
33(3)
33(3)(,333
⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-<<-+-==x x x x x x x x f a 或时当
…………6分
（i ）当.0)1)(1(333)(,3,32>+-=-='>-<x x x x f x x 时或 （ii ）当).1)(1(333)(,332+--=-='<<-x x x x f x 时 当.0)(,3113;0)(,11<'<<-<<->'<<-x f x x x f x 时或当时
所以，)(x f 的单调递增区间是);,3[],1,1[],3,(+∞---∞单调递减区间是
]3,1[],13[--.
…………8分
由上知，当x=1时，f （x ）取得极大值f （1）=2 又b >1，由2=b 3－3b ，解得b=2.
…………10分
所以，1)(,21=≤<x x f b 在时当时取得最大值f （1）=2. 当b x x f b =>在时)(,2时取得最大值b b b f 3)(3-=.
所以，函数],0[)(b x f y 在=上的最大值为
⎩⎨⎧>-≤<=).
2(3)
21(23
max b b b b y
…………13分
19．解：（1）对于方法二，k 个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9k ，呈阳性结果的
概率为1－0.9k .
当K 个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为k
1
次；当K 个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为k
1
+1次.
.9.01
1)9.01)(11(9.01k k k k
k k E -+=-++⨯=
∴ξ …………5分
（2）对方法一：11)1(===ξξE P .
…………6分
…………3分
当K =3时，604.09.031
13≈-+=ξE ； 当K =4时，597.09.04114
≈-+=ξE ；
当K =5时，609.09.05
115
≈-+=ξE .
…………9分
比较知K =4时的方案最好
…………10分
20．解：（1）易知双曲线上焦点为)2,0(. 设直线AB 的方程为).,(),,(,22211y x B y x A kx y += 当k=0时，A 、B 两点的横坐标分别为1和－1， 此时mn=1.
当2,0+=≠kx y k 将时代入双曲线方程，消去x 得
0222)1(222=++--k y y k .
…………2分
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
>-+=⋅<>-=+≠-012
.1,0122012
2212
2
212k k y y k k y y k 得由 …………4分
由双曲线的第二定义，知121y m +-=，
221y n +-=
…………8分
∴.1112
111)(22122
22121>-+=-+=
+-+=k
k k y y y y m n 综上，知mn ≥1.
…………10分
（2）设直线AB 的方程为2+=kx y ，代入双曲线方程，消去y 并整理得
.0122)1(22=++-kx x k
.1
1
,12222
1221--=⋅--
=+∴k x x k k x x …………8分
.,,1,211
2x x x x m n
n m λλλ-=-=∴>=即则令
,122)1(2
2k k
x -=
-∴λ ①
.1
1
22
2-=
-k x λ ②
由①②，消去,18)1(,2
22
2k k x -=-λ
λ得 即618
1
2--=
+
k λλ ③
…………12分
由,0],4,3[1],51,91[2
>∈+∈λλ
λ而得k
,32253,0
1401322
+≤≤+⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-∴λλλλλ解之得即为所求. …………14分
21．解：（1）令).0()(,0021f x f x x -===得 ).0()1(,0,121f f x x -===得令
…………2分
R x f 是又)( 上的单调函数，且),1()(0f x f =
.10=∴x
…………4分 （2）由（1）得1)()()(2121++=+x f x f x x f .
…………6分
.
122)1(1)(,2)()1(,
1)1()(,
1)1()()1(,1,021-=⨯-+==-+∴==++=+==n n n f n f n f f x f f n f n f x n x 而得令
从而.1
21
-=
n a n …………8分
.)21(11)2
1(
21-=+-=n n
n b …………10分
n
n n n T n n
n n n S )2
1()21()21()21()21()21(.1
2)1211(21)12)(12(153131112110⋅++⋅+⋅=+=+-=+-++⨯+⨯=
∴-
].)4
1(1[32)21()21()21()21(12531n n -=+=++=- …………12分
,0)1
2141(3234,
12131333)13(4110<+-=-∴+>+=+⋅≥+⋅++=+=--n T S n n C C C C n n n n n n n n n n n n n
.3
4
n n T S <∴
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