高考数学总复习核心突破第8章平面解析几何8.7圆锥曲线知识的综合应用课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
8.7 圆锥曲线的综合应用
【考纲要求】 能运用平面解析几何的知识解决有关问题. 【学习重点】 1.求圆锥曲线的方程;
2.解圆锥曲线的综合解答题.
一、自主学习 (一)知识归纳 1.常用待定系数法求曲线的方程,其解题步骤为: 第一步,根据已知条件确定曲线类型,并设曲线的方程; 第二步,根据条件列关于系数的方程或方程组; 第三步,解方程或方程组; 第四步,将方程或方程组的解代入所设方程,并进行检验.
������ − ������ > ������
②错误.∵当
������
������ − − ������
������ > ������ ≠ ������ −
,即 ������
1<t<4 且
t≠������时,方程表示椭圆;
������
③正确.∵当(4-t)(t-1)<0,即 t>4 或 t<1 时,方程表示双曲线;
③若 C 是双曲线,则 t<1 或 t>4;
④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<������.
������
其中正确的命题是
.
(3)①错误.∵当 4-t=t-1,即 t=������时,方程 ������������ +������������ =1 表示圆;
������
������−������ ������−������
【链接】 (1)圆锥曲线也叫二次曲线,圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例),抛 物线,双曲线;
(2)圆锥曲线的统一定义:到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离之比为 常数 e(离心率)的点的轨迹.
①当 e>1 时,圆锥曲线是双曲线的一支; ②当 e=1 时,圆锥曲线是抛物线; ③当 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆; ④当 e=0 时,椭圆退化为圆,此时定点为圆心,定直线为无穷远直线.
������−������ ������
A.6
B.3
C.-2
D.4
【答案】A 3.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点是椭圆 E:������������+������������=1 的焦点,求抛
������ ������
物线 C 的方程.
解:由题意可设所求抛物线方程为 x2=±2py(p>0), ∵椭圆������������+������������=1 的焦点坐标为(0,±1),
(3)当 k>25,k=9,k=25 时,所给方程无解或方程无意义,不表示任 何曲线.
(二)求圆锥曲线的标准方程 【例3】 椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长 的2倍,求椭圆的标准方程.
【解】 (1)当 A(2,0)为长轴端点时,椭圆焦点在 x 轴上,可设所求的 椭圆方程为������������+������������=1(a>b>0),则有 a=2,b=1,
此时,所求椭圆的标准方程为:������������+������������=1.
������ ������������
【例 4】 求经过点(-5,2),c= ������,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程.
【解】 ∵焦点在 x 轴上,c= ������, ∴可设所求双曲线方程为:������������- ������������ =1(其中 0<λ<6),
②直线 PF1与直线 PF2斜率的乘积等于-1;
③������→������������·������→������������=0;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即|O
P|=������|F
������
1F
2|.
【解】 方法 1:易知 F1(- ������������ − ������������,0)、F2( ������������ − ������������,0)且 PF1⊥PF2,
������ ������
∴抛物线的方程为 x2=±4y.
4.已知抛物线C1、椭圆C2和双曲线C3都经过点M(1,2), 且C2、C3在x轴上有共同的焦点,它们的对称轴都是坐标轴; 抛物线C1的顶点在原点,其焦点与椭圆C2的一个焦点重合. 求:
(1)抛物线C1的标准方程; (2)椭圆C2的标准方程; (3)双曲线C3的标准方程.
������ ������
∴可得������>2,解得 0<k<1.
������
(3)方程 ������������ +������������ =1 表示的曲线为 C,给出以下四个命题:
������−������ ������−������
①曲线 C 不可能是圆;
②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆;
∴������������+ ������������ =1,∴a2=45,∴此椭圆的方程为������������+������������=1.
������������ ������������−������������
������������ ������������
【小结】 用待定系数法求曲线的方程时,列方程或方程组通常可从
∴直线 PF1、PF2的斜率之积������������������������·������������������������=-1,
即 ������ · ������ =-1,∴a2-b2=25.
������+ ������������−������������ ������− ������������−������������
2.判断直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系有相交、相切、 相离三种情形.判断的方法是:将直线方程与圆锥曲线方程联 立起来,消去一个未知数y,得出关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),设Δ=b2-4ac,则有 当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交,有两个公共点; 当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切,有且只有一个公共点; 当Δ<0时,直线与圆锥曲线相离,没有公共点.
(二)基础训练
1.方程 ������������ + ������������ =1 表示双曲线,则 m 的取值范围是 -5<m<1 .
������−������ ������+������
2.若圆 x2+y2-2x-4=0 的圆心是椭圆 ������������ +������������=1 的一个焦点,则 k= ( )
【解】 分类讨论如下:
(1)当 k<9 时,25-k>0,9-k>0,所给方程表示椭圆,此时 a2=25-k, b2=9-k,c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0);
(2)当 9<k<25 时,25-k>0,9-k<0,所给方程表示双曲线,此时, a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0);
多个角度入手,解题时要学会一题多解,从中选用最简方法解题,优化思维.
(三)直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例 6】 已知椭圆������������+y2=1,求过点 P(������,������)且被点 P 平分的弦所在
【例 5】
已知点
P(3,4)是椭圆������������+������������=1(a>b>0)上一点,F
������������ ������������
1、F
2
是椭
圆的两个焦点,若 PF1⊥PF2,求此椭圆的方程.
分析:根据 PF1⊥PF2可联想到以下 4 个知识点:
①|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2;
(2(解)3∴设则∴抛)∴∴2设∴ ∴:椭椭有a物a(1=���双1双2抛=���圆圆)线���2设2|���曲|曲������=aM���物、���的=C=+2抛线线3F|1p2双线M焦-的,,1的物的b|∴2-F曲点C2标=|标标线1Mp1���a|线坐+���的准=2,准准F-|又的M2的标1方标2方|方���2|F标=���焦=为���程准���22程2程���|���准点=+(=为1方为22为���1,坐���方0,������-���������程)������������������������2,������标−������������+程������+������������������������为������-2���������为������为������������=���������y-���1���F2���y������−(������=2a���1���������(=4������>���1������������−���x2���b,���0=���.p>���=)1x0、1()(c,pF1>2a(0-1)>10,0),)则有 ∴椭圆的标准方程为 ������������ + ������������ =1.
������ ������−������
∵双曲线经过点(-5,2),∴������������- ������ =1,
������ ������−������
∴λ=5 或 λ=30(舍去), ∴所求双曲线方程是������������-y2=1.
������
【小结】 巧设方程,可以给我们解题带来明快、简捷的感觉.
④正确.∵当 4-t>t-1>0,即 1<t<������时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆.
������
∴正确的命题是③④.
【例 2】 讨论 ������������ +������������ =1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.
������������−������ ������−������
3.直线被圆锥曲线所截的弦长计算公式 当直线与圆锥曲线相交时,设两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),有 x1+x2=-������������,x1x2=������������.则 直线 y=kx+b 被二次曲线所截得的弦长为
|AB|= (������ + ������������)× (������������ + ������������)������ − ������������������������������或 (������ + ������������������)× (������������ + ������������)������ − ������������������������������.
【解】 (1)方程 ������������ - ������������ =1 表示双曲线的条件是(k-3)(k+3)>0,
������−������ ������+������
解得 k<-3 或 k>3.
(2)如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值
范围是
.
(2)方程 x2+ky2=2 可化为标准结构������������+������������������ =1;又∵焦点在 y 轴上,
方法 2:设椭圆方程为������������+ ������������ =1(a>b>0)
������������ ������������−������������
∵PF1⊥PF2,∴在
Rt△F1PF2
中,c=������|F
������
1F
2|=|OP|=
������������ + ������������=5.
������������ ������������
此时,所求椭圆的标准方程为:������������+y2=1;
������
(2)当 A(2,0)为短轴端点时,椭圆焦点在 y 轴上,可设所求的椭圆方程 为������������+������������=1(a>b>0),则有 b=2,a=4,
������������ ������������
由
������������ − ������������
������ ������������
+
������������ ������������
= =
������������ ������ ,得
a2=45,b2=20,∴此椭圆的方程为������������+������������=1.
������������ ������������
� ������+������ ������
二、探究提高 (一)根据方程的特点判断圆锥曲线的类型
【例 1】 (1)方程 ������������ - ������������ =1 表示双曲线,则 k 的范围是
.
������−������ ������+������
【考纲要求】 能运用平面解析几何的知识解决有关问题. 【学习重点】 1.求圆锥曲线的方程;
2.解圆锥曲线的综合解答题.
一、自主学习 (一)知识归纳 1.常用待定系数法求曲线的方程,其解题步骤为: 第一步,根据已知条件确定曲线类型,并设曲线的方程; 第二步,根据条件列关于系数的方程或方程组; 第三步,解方程或方程组; 第四步,将方程或方程组的解代入所设方程,并进行检验.
������ − ������ > ������
②错误.∵当
������
������ − − ������
������ > ������ ≠ ������ −
,即 ������
1<t<4 且
t≠������时,方程表示椭圆;
������
③正确.∵当(4-t)(t-1)<0,即 t>4 或 t<1 时,方程表示双曲线;
③若 C 是双曲线,则 t<1 或 t>4;
④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<������.
������
其中正确的命题是
.
(3)①错误.∵当 4-t=t-1,即 t=������时,方程 ������������ +������������ =1 表示圆;
������
������−������ ������−������
【链接】 (1)圆锥曲线也叫二次曲线,圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例),抛 物线,双曲线;
(2)圆锥曲线的统一定义:到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离之比为 常数 e(离心率)的点的轨迹.
①当 e>1 时,圆锥曲线是双曲线的一支; ②当 e=1 时,圆锥曲线是抛物线; ③当 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆; ④当 e=0 时,椭圆退化为圆,此时定点为圆心,定直线为无穷远直线.
������−������ ������
A.6
B.3
C.-2
D.4
【答案】A 3.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点是椭圆 E:������������+������������=1 的焦点,求抛
������ ������
物线 C 的方程.
解:由题意可设所求抛物线方程为 x2=±2py(p>0), ∵椭圆������������+������������=1 的焦点坐标为(0,±1),
(3)当 k>25,k=9,k=25 时,所给方程无解或方程无意义,不表示任 何曲线.
(二)求圆锥曲线的标准方程 【例3】 椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长 的2倍,求椭圆的标准方程.
【解】 (1)当 A(2,0)为长轴端点时,椭圆焦点在 x 轴上,可设所求的 椭圆方程为������������+������������=1(a>b>0),则有 a=2,b=1,
此时,所求椭圆的标准方程为:������������+������������=1.
������ ������������
【例 4】 求经过点(-5,2),c= ������,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程.
【解】 ∵焦点在 x 轴上,c= ������, ∴可设所求双曲线方程为:������������- ������������ =1(其中 0<λ<6),
②直线 PF1与直线 PF2斜率的乘积等于-1;
③������→������������·������→������������=0;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即|O
P|=������|F
������
1F
2|.
【解】 方法 1:易知 F1(- ������������ − ������������,0)、F2( ������������ − ������������,0)且 PF1⊥PF2,
������ ������
∴抛物线的方程为 x2=±4y.
4.已知抛物线C1、椭圆C2和双曲线C3都经过点M(1,2), 且C2、C3在x轴上有共同的焦点,它们的对称轴都是坐标轴; 抛物线C1的顶点在原点,其焦点与椭圆C2的一个焦点重合. 求:
(1)抛物线C1的标准方程; (2)椭圆C2的标准方程; (3)双曲线C3的标准方程.
������ ������
∴可得������>2,解得 0<k<1.
������
(3)方程 ������������ +������������ =1 表示的曲线为 C,给出以下四个命题:
������−������ ������−������
①曲线 C 不可能是圆;
②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆;
∴������������+ ������������ =1,∴a2=45,∴此椭圆的方程为������������+������������=1.
������������ ������������−������������
������������ ������������
【小结】 用待定系数法求曲线的方程时,列方程或方程组通常可从
∴直线 PF1、PF2的斜率之积������������������������·������������������������=-1,
即 ������ · ������ =-1,∴a2-b2=25.
������+ ������������−������������ ������− ������������−������������
2.判断直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系有相交、相切、 相离三种情形.判断的方法是:将直线方程与圆锥曲线方程联 立起来,消去一个未知数y,得出关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),设Δ=b2-4ac,则有 当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交,有两个公共点; 当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切,有且只有一个公共点; 当Δ<0时,直线与圆锥曲线相离,没有公共点.
(二)基础训练
1.方程 ������������ + ������������ =1 表示双曲线,则 m 的取值范围是 -5<m<1 .
������−������ ������+������
2.若圆 x2+y2-2x-4=0 的圆心是椭圆 ������������ +������������=1 的一个焦点,则 k= ( )
【解】 分类讨论如下:
(1)当 k<9 时,25-k>0,9-k>0,所给方程表示椭圆,此时 a2=25-k, b2=9-k,c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0);
(2)当 9<k<25 时,25-k>0,9-k<0,所给方程表示双曲线,此时, a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0);
多个角度入手,解题时要学会一题多解,从中选用最简方法解题,优化思维.
(三)直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例 6】 已知椭圆������������+y2=1,求过点 P(������,������)且被点 P 平分的弦所在
【例 5】
已知点
P(3,4)是椭圆������������+������������=1(a>b>0)上一点,F
������������ ������������
1、F
2
是椭
圆的两个焦点,若 PF1⊥PF2,求此椭圆的方程.
分析:根据 PF1⊥PF2可联想到以下 4 个知识点:
①|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2;
(2(解)3∴设则∴抛)∴∴2设∴ ∴:椭椭有a物a(1=���双1双2抛=���圆圆)线���2设2|���曲|曲������=aM���物、���的=C=+2抛线线3F|1p2双线M焦-的,,1的物的b|∴2-F曲点C2标=|标标线1Mp1���a|线坐+���的准=2,准准F-|又的M2的标1方标2方|方���2|F标=���焦=为���程准���22程2程���|���准点=+(=为1方为22为���1,坐���方0,������-���������程)������������������������2,������标−������������+程������+������������������������为������-2���������为������为������������=���������y-���1���F2���y������−(������=2a���1���������(=4������>���1������������−���x2���b,���0=���.p>���=)1x0、1()(c,pF1>2a(0-1)>10,0),)则有 ∴椭圆的标准方程为 ������������ + ������������ =1.
������ ������−������
∵双曲线经过点(-5,2),∴������������- ������ =1,
������ ������−������
∴λ=5 或 λ=30(舍去), ∴所求双曲线方程是������������-y2=1.
������
【小结】 巧设方程,可以给我们解题带来明快、简捷的感觉.
④正确.∵当 4-t>t-1>0,即 1<t<������时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆.
������
∴正确的命题是③④.
【例 2】 讨论 ������������ +������������ =1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.
������������−������ ������−������
3.直线被圆锥曲线所截的弦长计算公式 当直线与圆锥曲线相交时,设两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),有 x1+x2=-������������,x1x2=������������.则 直线 y=kx+b 被二次曲线所截得的弦长为
|AB|= (������ + ������������)× (������������ + ������������)������ − ������������������������������或 (������ + ������������������)× (������������ + ������������)������ − ������������������������������.
【解】 (1)方程 ������������ - ������������ =1 表示双曲线的条件是(k-3)(k+3)>0,
������−������ ������+������
解得 k<-3 或 k>3.
(2)如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值
范围是
.
(2)方程 x2+ky2=2 可化为标准结构������������+������������������ =1;又∵焦点在 y 轴上,
方法 2:设椭圆方程为������������+ ������������ =1(a>b>0)
������������ ������������−������������
∵PF1⊥PF2,∴在
Rt△F1PF2
中,c=������|F
������
1F
2|=|OP|=
������������ + ������������=5.
������������ ������������
此时,所求椭圆的标准方程为:������������+y2=1;
������
(2)当 A(2,0)为短轴端点时,椭圆焦点在 y 轴上,可设所求的椭圆方程 为������������+������������=1(a>b>0),则有 b=2,a=4,
������������ ������������
由
������������ − ������������
������ ������������
+
������������ ������������
= =
������������ ������ ,得
a2=45,b2=20,∴此椭圆的方程为������������+������������=1.
������������ ������������
� ������+������ ������
二、探究提高 (一)根据方程的特点判断圆锥曲线的类型
【例 1】 (1)方程 ������������ - ������������ =1 表示双曲线,则 k 的范围是
.
������−������ ������+������