2016-2017洛阳高三一练高三理科数学答案
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洛阳市 ２ — —２ ０ １ ６— ０ １ ７ 学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷参考答案（ 理）
一、 选择题 １－５ Ｂ ＡＡ Ｄ Ｂ ６－１ ０ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ １ １－１ ２ Ｃ Ａ 二、 填空题 ３ ９ １ ３． １ ４． １ ８ ０ １ ５． １ ６．［ ０， ＋ ∞） ５ ４ 三、 解答题 解： （ ） ， １ ７． １ 犆 犅 ＝４ ５ ° ∠犃 １ ０ 犆 犅 在 △犃 犅 犆 中， 犅 ＝ ５槡 ６． 犆 ＝ ｓ ｉ ｎ ４ ５ ° ｓ ｉ ｎ ６ ０ ° 在 △犃 所以 犇 犅 犇 中， 犇 犅 ＝３ ０ °＝ ∠犅 犃犇 ， 犅 ＝犃 犅 ＝１ ０． ∠犃 ……２ 分 ……４ 分
在 △犅 ……６ 分 犆 犇 中， 犆 犇＝ 槡 犆 犅２ ＋ 犇 犅２ －２ 犆 犅 ·犇 犅 ｃ ｏ ｓ ４ ５ ° ＝５ １ ０－４槡 ３． 槡 （ ） ， …… ２犃 犆 ＋犃 犅 ＞犅 犆 ＝１ ０ ８分
犃 犅２ ＋犃 犆２ －１ ０ ０ （ ２ 犅 ＋犃 犆） ０ ０＝３ 犃 犅 ·犃 犆， 犃 －１ ２ 犃 犅 ·犃 犆 犃 犅 犃 犆） ２ 而犃 ， 犅 ·犃 犆≤（ ＋ ２ ２ （ 犃 犅 ＋犃 犆） ０ ０ （ 犃 犅 ＋犃 犆） －１ ２ ， ≤ ３ ２ ……１ 犃 犅 ＋犃 犆 ≤２ ０， １分 故犃 ］ ……１ 犅 ＋犃 犆 的取值范围为 （ １ ０， ２ ０ ． ２分 解： （ ）证明 ： 由已知得 ， １ ８． １ 犅 犈 ∥犃 犉， 犃 犉 平面 犃 犉 犇， 犅 犈 平面 犃 犉 犇， ∴ 犅 犈 ∥ 平面 犃 犉 犇． 同理可得 ∴ 犅 ……２ 分 犆 ∥ 平面 犃 犉 犇． 平面 平面 ……３ 分 犅 犈 ∩犅 犆 ＝ 犅， ∴ 犅 犆 犈 犃 犇 犉 ． ∥ 设平面 犇 ， 则犾 过点犆． 犉 犆 ∩ 平面 犅 犆 犈 ＝犾 平面 平面 ， 平面 ， 平面 犇 ∵ 犅 犆 犈∥ 犃 犇 犉 犇 犉 犆 ∩ 平面 犅 犆 犈 ＝犾 犉 犆 ∩ 平面 犃 犇 犉
犿· 狀 １ ６， 槡 ＝ ＝ 狀狘 槡 ６ 狘犿狘 狘 ６ 由于二面角 犉 －犆 犇 －犃 为锐角 ，
〈 ∴ ｃ ｏ ｓ 犿， 狀〉＝ ６ ……１ ∴ 二面角 犉 －犆 犇 －犃 的余弦值为槡 ． ２分 ６ ４ 解： （ ）随机选取 ， 共有 ３ ……２ 分 １ ９． １ １ 种不同方法 ， ＝８ １ １ ２ ２ 恰有一个城市没有专家组选取的有 犆 犆 犃２ ＋犆 ２ 种不同方法 ， ……４ 分 ＝４ ３（ ４ ４） ４ ２ １ ４ 故恰有一个城市没有专家组选取的概率为 ： ……５ 分 ． ＝ ８ １ ２ ７ １ ４ １ ５， （ ）设事件 犃： “ 一个城市需复检 ” ， 则 犘（ ……６ 分 ２ 犃）＝ １－ （ ） ＝ １ ６ ２ 犡 所有可能取值为 ０， １， ２， ３， １ ３ １ ，（ １ ２ １ ５ ４ ５， ０ １ ）＝ 犆 ）＝ 犆 犘（ 犡 ＝０ 犘 犡 ＝１ ＝ ３ ·（ ） ＝ ３ ·（ ）· １ ６ ４ ０ ９ ６ １ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ １ １ ５ ６ ７ ５ １ ５ ３ ３ ７ ５ ２ ２ ３ ３ ）＝ 犆 ， ）＝ 犆 ·（ ） ＝ 犘（ 犡 ＝２ 犘（ 犡 ＝３ ３· ３ ·（ ） ＝ １ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ 所以 犡 的分布列为
犡 犘
０ １ ４ ０ ９ ６
１ ４ ５ ４ ０ ９ ６
２ ６ ７ ５ ４ ０ ９ ６
３ ３ ３ ７ ５ ４ ０ ９ ６
……１ ０分 １ ５ １ ５ ４ ５ ， ……１ 犡 ～ 犅（ ３， ） 犈（ 犡）＝ ３× ． ２分 ＝ １ ６ １ ６ １ ６ 解： （ ）解法一 ： 由已知 犃（ ） ， ） ， 设 犅（ ， ， ２ ０． １ 犪， ０ 犉（ 犮， ０ 狓 犆（ －狓 －狔 狔 ０， ０） ０， ０） 犪－狓 狔 ０ ０ 则 犇（ ， ， － ） ２ ２ 犪－３ 狓 ３ 狔 ０ ０ 犉 犇 → → 由于 犅、 ， ， ）……２ 分 犉、 犇 三点共线 ， 犅 犮－狓 犅 ＝（ －狔 ＝（ － ０， ０） ２ ２ 犪－３ 狓 ３ （ ０ 犉 → 犅 ∴ 犅 ＝－狔 ０ 犮－狓 ０） ０· ∥ 犇 即 － 狔 ２ ２ 从而犲 ＝ １ ． ……４ 分 ∴ 犪 ＝３ 犮， ３ 解法二 ： 设直线 犅 连犗 由题意得 犉 交犃 犆 于犇， 犇， １ → 犗 犅 → ……２ 分 犗 犇 是 △犆 犃 犅 的中位线 ． 犇瓛 犃 犅． ∴ 犗 ∴ 犃 ∥ 犇 ２ ∴ △犗 犉 犇 ∽ △犃 犉 犅． 犮 １， 从而犲 ＝ １ ． ……４ 分 ∴ ＝ 犪 －犮 ２ ３ 高三数学答案 （ 理） 共 ４ 页） ） ２ ０ １ ７． １ 第２ 页 （ （
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则
狀·犇 犉 ＝ ０， 狓 ＝ ２ 狕， ｛ ｛ → 狓 ＝－２ 狀·犇 犆 ＝０ 狔，
→
不妨设狕 ＝ １． ｀ 则狀 ＝ （ ） ， 不妨设平面 犃 ２， １ 犆 犇 的一个法向量为 －１， ） ……１ 犿＝（ ０， ０， １ ． ０分
ｃ ｏ ｓ ６得 犇 ……６ 分 ∴ 犇 犉 ∥犾 犆 犈 上一定存在过点犆 的直线犾， 犉 ∥犾 ． （ ） 面犃 ２ ∵ 面 犃 犅 犈 犉 ⊥ 面犃 犅 犆 犇， 犉 犃 面犃 犅 犈 犉， 犅 犆 犇 ∩ 面犃 犅 犈 犉 ＝犃 犅， ， 面 ， ∵ 犃 犉 ⊥犃 犅 ∴ 犃 犉⊥ 犃 犅 犆 犇 ……７ 分 ∵ 犃 犇 面犃 犅 犆 犇， 犉 ⊥犃 犇． ∴ 犃 以 犃 为原点 ， ， ， 分别为 轴 ， 轴 ， 轴建立空间直角坐标系 ， 如图 由已 犃 犇 犃 犅 犃 犉 狓 狔 狕 ． ） ， ） ， ） ， 知得 ， 犇（ １， ０， ０ 犆（ ２， ２， ０ 犉（ ０， ０， ２ → → （ ， ， ） ， （ ， ， ） ……８ 分 ∴ 犇 犉 ＝ －１ ０ ２ 犇 犆 ＝ １２０ ． ， 设平面 犇 犉 犆 的一个法向量为狀 ＝ （ 狓， 狕） 狔，
数学试卷参考答案（ 理）
一、 选择题 １－５ Ｂ ＡＡ Ｄ Ｂ ６－１ ０ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ １ １－１ ２ Ｃ Ａ 二、 填空题 ３ ９ １ ３． １ ４． １ ８ ０ １ ５． １ ６．［ ０， ＋ ∞） ５ ４ 三、 解答题 解： （ ） ， １ ７． １ 犆 犅 ＝４ ５ ° ∠犃 １ ０ 犆 犅 在 △犃 犅 犆 中， 犅 ＝ ５槡 ６． 犆 ＝ ｓ ｉ ｎ ４ ５ ° ｓ ｉ ｎ ６ ０ ° 在 △犃 所以 犇 犅 犇 中， 犇 犅 ＝３ ０ °＝ ∠犅 犃犇 ， 犅 ＝犃 犅 ＝１ ０． ∠犃 ……２ 分 ……４ 分
在 △犅 ……６ 分 犆 犇 中， 犆 犇＝ 槡 犆 犅２ ＋ 犇 犅２ －２ 犆 犅 ·犇 犅 ｃ ｏ ｓ ４ ５ ° ＝５ １ ０－４槡 ３． 槡 （ ） ， …… ２犃 犆 ＋犃 犅 ＞犅 犆 ＝１ ０ ８分
犃 犅２ ＋犃 犆２ －１ ０ ０ （ ２ 犅 ＋犃 犆） ０ ０＝３ 犃 犅 ·犃 犆， 犃 －１ ２ 犃 犅 ·犃 犆 犃 犅 犃 犆） ２ 而犃 ， 犅 ·犃 犆≤（ ＋ ２ ２ （ 犃 犅 ＋犃 犆） ０ ０ （ 犃 犅 ＋犃 犆） －１ ２ ， ≤ ３ ２ ……１ 犃 犅 ＋犃 犆 ≤２ ０， １分 故犃 ］ ……１ 犅 ＋犃 犆 的取值范围为 （ １ ０， ２ ０ ． ２分 解： （ ）证明 ： 由已知得 ， １ ８． １ 犅 犈 ∥犃 犉， 犃 犉 平面 犃 犉 犇， 犅 犈 平面 犃 犉 犇， ∴ 犅 犈 ∥ 平面 犃 犉 犇． 同理可得 ∴ 犅 ……２ 分 犆 ∥ 平面 犃 犉 犇． 平面 平面 ……３ 分 犅 犈 ∩犅 犆 ＝ 犅， ∴ 犅 犆 犈 犃 犇 犉 ． ∥ 设平面 犇 ， 则犾 过点犆． 犉 犆 ∩ 平面 犅 犆 犈 ＝犾 平面 平面 ， 平面 ， 平面 犇 ∵ 犅 犆 犈∥ 犃 犇 犉 犇 犉 犆 ∩ 平面 犅 犆 犈 ＝犾 犉 犆 ∩ 平面 犃 犇 犉
犿· 狀 １ ６， 槡 ＝ ＝ 狀狘 槡 ６ 狘犿狘 狘 ６ 由于二面角 犉 －犆 犇 －犃 为锐角 ，
〈 ∴ ｃ ｏ ｓ 犿， 狀〉＝ ６ ……１ ∴ 二面角 犉 －犆 犇 －犃 的余弦值为槡 ． ２分 ６ ４ 解： （ ）随机选取 ， 共有 ３ ……２ 分 １ ９． １ １ 种不同方法 ， ＝８ １ １ ２ ２ 恰有一个城市没有专家组选取的有 犆 犆 犃２ ＋犆 ２ 种不同方法 ， ……４ 分 ＝４ ３（ ４ ４） ４ ２ １ ４ 故恰有一个城市没有专家组选取的概率为 ： ……５ 分 ． ＝ ８ １ ２ ７ １ ４ １ ５， （ ）设事件 犃： “ 一个城市需复检 ” ， 则 犘（ ……６ 分 ２ 犃）＝ １－ （ ） ＝ １ ６ ２ 犡 所有可能取值为 ０， １， ２， ３， １ ３ １ ，（ １ ２ １ ５ ４ ５， ０ １ ）＝ 犆 ）＝ 犆 犘（ 犡 ＝０ 犘 犡 ＝１ ＝ ３ ·（ ） ＝ ３ ·（ ）· １ ６ ４ ０ ９ ６ １ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ １ １ ５ ６ ７ ５ １ ５ ３ ３ ７ ５ ２ ２ ３ ３ ）＝ 犆 ， ）＝ 犆 ·（ ） ＝ 犘（ 犡 ＝２ 犘（ 犡 ＝３ ３· ３ ·（ ） ＝ １ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ １ ６ ４ ０ ９ ６ 所以 犡 的分布列为
犡 犘
０ １ ４ ０ ９ ６
１ ４ ５ ４ ０ ９ ６
２ ６ ７ ５ ４ ０ ９ ６
３ ３ ３ ７ ５ ４ ０ ９ ６
……１ ０分 １ ５ １ ５ ４ ５ ， ……１ 犡 ～ 犅（ ３， ） 犈（ 犡）＝ ３× ． ２分 ＝ １ ６ １ ６ １ ６ 解： （ ）解法一 ： 由已知 犃（ ） ， ） ， 设 犅（ ， ， ２ ０． １ 犪， ０ 犉（ 犮， ０ 狓 犆（ －狓 －狔 狔 ０， ０） ０， ０） 犪－狓 狔 ０ ０ 则 犇（ ， ， － ） ２ ２ 犪－３ 狓 ３ 狔 ０ ０ 犉 犇 → → 由于 犅、 ， ， ）……２ 分 犉、 犇 三点共线 ， 犅 犮－狓 犅 ＝（ －狔 ＝（ － ０， ０） ２ ２ 犪－３ 狓 ３ （ ０ 犉 → 犅 ∴ 犅 ＝－狔 ０ 犮－狓 ０） ０· ∥ 犇 即 － 狔 ２ ２ 从而犲 ＝ １ ． ……４ 分 ∴ 犪 ＝３ 犮， ３ 解法二 ： 设直线 犅 连犗 由题意得 犉 交犃 犆 于犇， 犇， １ → 犗 犅 → ……２ 分 犗 犇 是 △犆 犃 犅 的中位线 ． 犇瓛 犃 犅． ∴ 犗 ∴ 犃 ∥ 犇 ２ ∴ △犗 犉 犇 ∽ △犃 犉 犅． 犮 １， 从而犲 ＝ １ ． ……４ 分 ∴ ＝ 犪 －犮 ２ ３ 高三数学答案 （ 理） 共 ４ 页） ） ２ ０ １ ７． １ 第２ 页 （ （
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则
狀·犇 犉 ＝ ０， 狓 ＝ ２ 狕， ｛ ｛ → 狓 ＝－２ 狀·犇 犆 ＝０ 狔，
→
不妨设狕 ＝ １． ｀ 则狀 ＝ （ ） ， 不妨设平面 犃 ２， １ 犆 犇 的一个法向量为 －１， ） ……１ 犿＝（ ０， ０， １ ． ０分
ｃ ｏ ｓ ６得 犇 ……６ 分 ∴ 犇 犉 ∥犾 犆 犈 上一定存在过点犆 的直线犾， 犉 ∥犾 ． （ ） 面犃 ２ ∵ 面 犃 犅 犈 犉 ⊥ 面犃 犅 犆 犇， 犉 犃 面犃 犅 犈 犉， 犅 犆 犇 ∩ 面犃 犅 犈 犉 ＝犃 犅， ， 面 ， ∵ 犃 犉 ⊥犃 犅 ∴ 犃 犉⊥ 犃 犅 犆 犇 ……７ 分 ∵ 犃 犇 面犃 犅 犆 犇， 犉 ⊥犃 犇． ∴ 犃 以 犃 为原点 ， ， ， 分别为 轴 ， 轴 ， 轴建立空间直角坐标系 ， 如图 由已 犃 犇 犃 犅 犃 犉 狓 狔 狕 ． ） ， ） ， ） ， 知得 ， 犇（ １， ０， ０ 犆（ ２， ２， ０ 犉（ ０， ０， ２ → → （ ， ， ） ， （ ， ， ） ……８ 分 ∴ 犇 犉 ＝ －１ ０ ２ 犇 犆 ＝ １２０ ． ， 设平面 犇 犉 犆 的一个法向量为狀 ＝ （ 狓， 狕） 狔，