高考专题二中-16下学期第五次模拟考试.docx

二中2015-2016学年度下学期第五次模拟考试
高三（16届）数学理科试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}1,1M =-，{}
2|6N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ） A. N M ⊆ B. N M =∅I C.M N ⊆ D. M N R =U 2.若纯虚数z 满足(1)1i z ai -=+,则实数a =（ ）
A ．0
B ．-1或1
C ．-1
D ．1 3．函数y =sin x sin(
)2
x π
+的最小正周期是 ( )
A ．p
2
B ．2p
C ．p
D ．4p
4.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．
21 B.158 C.3116 D.29
16
5.不等式组250
3020
x y x y x y +-⎧⎪
-⎨⎪-⎩
≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：
p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <
其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4
D ．p 2，p 3 6.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )
A ．0.6
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.66
7.若函数()(1)(01)，
且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )
D. 51
9. 二项式（x ﹣1）n 的奇数项二项式系数和64，若（x ﹣1）n =a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+…+a n （x+1）n ，则a 1等于（ ）
A ．﹣14
B ．448
C ．﹣1024
D ．﹣16
10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ） A ．5 B ．4 C ． 2 D ． 1
正视图俯视图
侧视图
2
11
2
1
11
11.过抛物线2
y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则
AOB ∆的面积为（ ）
A.2
B.2
C.
3
2
2
D.22
12.设函数()
f x满足()()
22
x
e
x f x xf x
x
'+=，()2
2
8
e
f=，则0
x>时()
f x（）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13.已知向量c
b
a
c
b
k
a⊥
-
=
=
=)
3
2
,)1,2(
,)4,1(
,)3,
(且（，则实数k= ______.
14. 设圆O：x2+y2=1，直线l：x+2y-4=0，点A∈l，若圆O上存在点B，且∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围是 ______．
15过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为︒
60，若球半径为R，求弦AB的长度____________.
16.在△ABC中，,,
a b c分别为内角,,
A B C的对边，4
a c
+=，()
2cos tan sin
2
B
A A
-=，则△ABC的面积的最大值为 .
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）已知数列{}n a满足123
23(*)
n
a a a na n n N
+++⋅⋅⋅+=∈。

（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式n a；
（Ⅱ）令
1
12
21
1
2(*),
n
a
n n n
n
b n N T b b b
a
-
=∈=+++
g g g g，写出
n
T关于n的表达式，并求满足
n
T＞
5
2
时n的
取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD I平面ABPE=AB，且2,1
AB BP AD AE
====，,
AE AB
⊥且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于
2
5
？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分12分)
某校高二年级开设,,,,a b c d e 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a 课程，不选b 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程． (I)求甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率；
(II)用X 表示甲、乙、丙选中c 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 20.（本小题满分12分）
椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且与椭圆
12
2
2
=+y x 有相同离心率．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足OQ OB OA λ=+，（O 为坐标原点），求实数λ取值范围． 21 （本小题满分12分）已知函数x
a x x f )
ln()(-=
. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；
(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求
a 的值；
(Ⅲ) 若0x >，证明:()ln 1e 1
x x x
x +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).
请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；
（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ,求四边形PBFA 的外接圆的半径. 23. （本小题满分10分）选修4-4： 坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()0,1-P ，其倾斜角为α，以原点o 为极点，以x 轴非负半轴为极
轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线c 的极坐标方程为01cos 62=+-θρρ．
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，若直线l 与曲线c 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设()y x M ,为曲线c 上任意一点，求y x +的取值范围． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|3|)(-=x x f .(1)求不等式的解集；|1|2)(++<x x f
(2)已知6)()(,21
1,≥-+=+∈+
m nf n mf mn n
m R n m 求证且
. 沈阳二中2015-2016学年度下学期第五次模拟考试
高三（16届）数学理科试题参考答案
（1）～（5）CDCDD (6)～（10）AADBA (11)～（12）CD
（13）3 （14） 6,25
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（15
）R a 3
6
2= (16）3 5.【解析】可行域如图所示， A(1，3),B(2，1)，所以所以
，故p 2，p 3 正确，故答案
为D.
7.【试题解析】D 经计算得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 10.
11【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，
∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1
cos 3θ=，则22sin 3
θ=． ∵2cos()m m πθ=+-，∴23
.
1cos 2m θ=
=+
∴AOB ∆的面积为 113232sin 1(3)22232
S OF AB θ=
⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=12.【解析】由题意得：()()
232x e x f x f x x -'=，令()()22x h x e x f x =-，则
()()()2
2(2)
2[2]x x x
x
e e x h x e x
f x xf x e x x -''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)
x ∈+∞
时，
()0
h x '>；即
()()2
2
2
2
min
(2)2222408e h x h e f e ==-⨯=-⨯⨯=，因此0x >时()0f x '≥，故
选D.
15.由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=
36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 3
3
=，所以222)36()33(
R a R a --=得R a 3
6
2=． 16.
17.
18.（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所
以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u v u u u u v
分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系．
则1
(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2
EM -u u u u v ．
易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =v
，
因为1
=(1,0,)(0,1,0)02
EM n ⋅-⋅=u u u u v v ，所以EM n ⊥u u u u v v ，
又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．……………………………6分
（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，
所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，
所以OM ∥PB ，且1
2OM PB =．
又因为AE ∥PB ，且1
2
AE PB =
， 所以AE ∥OM ，且AE =OM ．
所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .
因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．……………6分 （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为
25
． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=u u u v u u u v ，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u v
，由
1
10,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u
v 得1111
220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =u v
．……………………………8分
假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于
25
． 设(01)PN PD λλ=≤≤u u u v u u u v ，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-u u u v ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-u u u v u u u v u u u v
．所以
111||
sin |cos ,|||||
BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅u u u v u v
u u u v u v u u u
v u v 222
22
5
5(2)(22)()5984
λλλλλ=
=
=
⋅+-+⋅-+．…………………..10分 所以29810λλ--=，解得1λ=或1
9
λ=-
（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2
5
．………………………………………………………………………………12分
19
20.解：（I ）由已知可22,2.2c c a
=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得
2,
11,a b c ⎧=⎪∴=⎨=⎪⎩
． ………………………3分
所求椭圆C 的方程
12
22
=+y x ． …………………………4分 （II ）建立方程组 22
,
22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩
消去y ，整理得
2
24)21(222-+++m kmx x k ． )(
21(416Δ222k m k +-=∴．
由于直线直线l 与椭圆C 交于不同的B A ,两点，
0∴∆>，有2212k m +>．①
………………………………6分 设
1122(,),(,),(,)Q Q A x y x y Q x y ,于是122
412km
x x k +=-
+，
2
21212122)(k
m
m x x k y y +=
++=+． ………………………8分 当0=m 时，易知点B A ,关于原点对称，则0=λ； 当0≠m 时，易知点B A ,不关于原点对称，则0≠λ． 此时，
由OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r ，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即22
4,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
Q Θ点在椭圆上，∴2])
21(2[2])21(4[
22
22=+++-k m
k km λλ． 化简得2
22
2
2
)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212
2
2
2
k m k +=∴≠+λΘ．② 由①②两式可得022,42
≠<<-∴<λλλ且．
综上可得实数λ的取值范围是22<<-λ． ………………………12分 21.解：(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞U ，…………………1分
()()2
ln 11x
x x f x x -++'=
, ………………………2分 令()()ln 11x g x x x =
-++，()()()
22
11111x g x x x x '=-=-+++．
当0x >时，()0g x '<．
故()g x 是()0,+∞上的减函数，所以()()0ln10g x g <=-=．
所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数． ……………………………4分 (Ⅱ)由题意知，()1
1x f x ='=，
即
()1ln 111a a --=-，()ln 101a a a --=-． …………………………… 6分
令()()ln 1,11a
t a a a a
=
--<-， 则()()
2
1
1
011t a a a '=
+
>--．
故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =，因此0是()t a 的唯一零点，
即方程
()ln 101a
a a --=-有唯一实根0，所以0a =．…………………………8分
(Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1
x x x x x x -+==---， 故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1
x
x
x x -++>-． ………………………10分 由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()
ln 1x f x x
+=
是()0,+∞上的减函数， 故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1x x <- ．
令()e 1x
h x x =--，则()e 10x
h x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h x h >=，即
e 1x x <-，故()()1e x
f x f >-． 即()()ln e 11ln 1e 1e 1
x x x x x x -++>=--． ………………………12分 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（I ）连接AB,
Q P 、B 、F 、A 四点共圆， PAB PFB ∴∠=∠．
又Q PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,PFB AEB ∴∠=∠
//AE CD ∴.．
．．．．．．．．．．．．5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，
由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，
四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，
∴OP 是该外接圆的直径.
由切割线定理可得2
3927PA PC PD =⋅=⨯= 222725213OP PA OA ∴=+=+=.
∴四边形PBFA 的外接圆的半径为13. ．．．．．．．．．．．．10分
23.解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcos θ+1=0，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x+1=0，
∵直线l 经过点P （﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为
，（t 为参数）， 将，代入x 2﹣y 2﹣6x ﹣1=0，整理，得t 2﹣8tcos α+8=0，
∵直线l 与曲线C 有公共点，∴△=64cos 2α﹣32≥0，即cos α≥
，或cos α≤﹣， ∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）． ………5分
（2）曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2﹣6x+1=0可化为（x ﹣3）2+y 2=8，其参数方程为
，（θ为参数），
∵M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，∴x+y=3+2
cos θ+2=3+4sin （）， ∴x+y 的取值范围是[﹣1，7]．………10分
24.解：依题意得213<+--x x ，
当3>x 时，2)1(3<+--x x ，∴24<-，满足题意，
当31≤≤-x 时，2)1(3<+--x x ，即0>x ∴30≤<x ，
当1-<x 时，2)1(3<++-x x ，∴24<，无解， 综上所述，不等式的解集为{}0x x >. ··················· 5分
（Ⅱ）因为(),0,m n ∈+∞，所以
11
m n +≥=， 则2mn
≥1mn ≥， 所以()()3333mf n nf m m n n m mn n mn m +-=-+--=-++(3)(3)mn n mn m ≥--+
（1）36m n ≥+≥≥.
····················· 10分。