考研数学三(概率统计)模拟试卷31(题后含答案及解析)

考研数学三（概率统计）模拟试卷31(题后含答案及解析)
题型有：1.jpg />，则D(X)=________．
正确答案：
解析：E(x)=∫一∞+∞xf(x)dx=∫一10x(1+x)dx+∫01x(1一x)dx=0，E(X2)=∫一11x2(1一|x|)dx=2∫01x2(1一x)dx=，则D(X)=E(X2)一[E(X)]2=．知识模块：概率统计
2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为，设x表示途中遇到红灯的次数，则E(X)=________．
正确答案：
解析：显然X～B(3，)，则E(x)=3×知识模块：概率统计
3．设随机变量x～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，则n=________，p=________．
正确答案：15；
解析：因为E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1一p)+n2p2，所以np=5，np(1一p)+n2p2=，解得n=15，p= 知识模块：概率统计
4．随机变量X的密度函数为f(x)=ke一|x|(一∞＜x＜+∞)，则E(X2)________．
正确答案：2
解析：因为∫一∞+∞f(x)dx=1，所以∫一∞+∞ke一|x|dx一2k∫0+∞e一xdx=2k=1，解得k=，于是E(X2)=∫一∞+∞x2f(x)dx=×2∫0+∞x2e一xdx=Г(3)=2!=2．知识模块：概率统计
5．设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=________．
正确答案：39.
解析：X～B(12，0.5)，E(X)=6,D(X)=3,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．知识模块：概率统计
6．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{x＞)________．
正确答案：e一1．
解析：因为X～E(λ)，所以FX(x)=则=e一1．知识模块：概率统计
7．设随机变量X在[一1，2]上服从均匀分布，随机变量Y=则
D(Y)=________．
正确答案：
解析：随机变量X的密度函数为随机变量Y的可能取值为一1，0，1，P(Y=一1)=P(X＜0)=∫一10，P(Y=0)=P(X=0)=0，P(Y=1)=P(X＞0)=Y的分布律为则D(y)=E(P)一[E(Y)]2=．知识模块：概率统计
8．设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1一2X2+3X3，则D(y)=________．
正确答案：46
解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1一2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．知识模块：概率统计
9．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X一3，则E(Y)=________，D(Y)=________．
正确答案：32
解析：因为X～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)一3=5，D(Y)=16D(X)=32．知识模块：概率统计
10．若随机变量X～N(2，σ2，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X＜0)=________．
正确答案：0．2．
解析：由P(2＜X＜4)=0．3得=0．8．则P(X＜0)==0．2．知识模块：概率统计
11．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且随机变量U=X+2Y一3Z+2，则D(U)=________．
正确答案：
解析：由X～U[一1，3]，Y～，ZNN(1，32)得于是D(U)=D(X)+4D(y)+9D(Z)= 知识模块：概率统计
12．设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=|X一a|，则E(XY)=________．
正确答案：
解析：E(XY)=E[X|X一a)]=∫01x|x一a|f(x)dx=∫01x|x一a|dx= 知识模块：概率统计
13．设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=________．
正确答案：
解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)一9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以知识模块：概率统计
14．设X，Y为两个随机变量，且D(X)=9，Y=2X+3，则X，Y的相关系数为________．
正确答案：1
解析：D(Y)=4D(X)=36，Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3)因为Cov(X，3)=E(3X)一E(3)E(X)=3E(X)一3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是=1．知识模块：概率统计
15．设X，Y为两个随机变量，D(X)一49D(Y)=9，相关系数为，则D(3X 一2Y)=________．
正确答案：36
解析：Cov(X，Y)=PXY×D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)一12Cov(X，Y)=36．知识模块：概率统计
16．设X，Y为两个随机变量，E(x)=E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且ρXY=，则E(X一2Y+3)2=________．
正确答案：25
解析：E(X一2Y+3)=E(X)一2E(Y)+3=2，D(X一2Y+3)=D(X一2Y)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)，由Cov(X，Y)=ρXY××3×1=一2，得D(X 一2Y+3)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是E(X一2Y+3)2=D(X一2Y+3)+[E(X一2Y+3)]2=21+4=25．知识模块：概率统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=
17．求a；
正确答案：由∫一∞+∞dx∫一∞+∞f(x，y)dy=a∫0+∞xdx∫0+∞e一ydy=a ∫一∞+∞xe一xdx=1，得a=1．涉及知识点：概率统计
18．求X，Y的边缘密度，并判断其独立性；
正确答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫一∞+∞f(x，y)dy=∫x+∞xe一ydy=xe一x．于是fX(x)=当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫一∞+∞f(x，y)dx=∫0yxe一ydx=y2e一y．于是fY(y)=因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．涉及知识点：概率统计
19．求fX|Y(X|Y)．
正确答案：fX|Y(x|y)= 涉及知识点：概率统计
20．设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．
正确答案：因为X～E(λ)，所以E(X)==5，从而λ=，根据题意有Y=min(X，2)．当y＜0时，F(y)=0；当y≥2时，F(y)=1；当0≤y＜2时，F(y)=P(Y≤y)=P{min(X，2)≤y}=P(X≤y)=1一，故y服从的分布为F(y)= 涉及知识点：概率统计
设(X，Y)～F(x，y)=
21．判断X，Y是否独立，说明理由；
正确答案：0＜x＜1时，fX(x)=∫一∞+∞f(x，y)dy=∫0x12y2dy=4x3，则fX(x)=因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．涉及知识点：概率统计
22．判断X，Y是否不相关，说明理由；
正确答案：E(x)=∫一∞+∞xfX(x)dx=∫014x4dx=，E(Y)=∫一∞+∞yfY(y)dy=∫0112y3(1一y)dy=E(XY)=∫一∞+∞dx∫一∞+∞xf(x，y)dy=∫01dx ∫0112xy3dy=，因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=，所以X，Y相关．涉及知识点：概率统计
23．求Z=X+Y的密度．
正确答案：fZ(z)=∫一∞+∞f(x，z一x)dx，当z＜0或z≥2时，fZ(z)=0；当0≤z＜1时，fZ(z)=当1≤z＜2时，fZ(z)=一4(z一1)3．所以有f1(z)= 涉及知识点：概率统计
设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：
24．fU(u)；
正确答案：因为X，Y相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=(一∞＜x，y＜+∞)FU(u)=P(U≤u)．当u＜0时，FU(u)=0；当u≥0时，FU(u)=P(U≤u)=P(X2+Y2≤u)=所以fU(u)=，即U服从参数λ=的指数分布．涉及知识点：概率统计
25．P{U＞D(U)|U＞E(U))．
正确答案：E(U)=2，D(U)=4，P{U＞D(U)|U＞E(U)}=P(U＞4|U＞2)=因为P(U＞4)=1一P(U≤4)=1一(1一e一2)=e一2，P(U＞2)=1一(1一e一1)=e一1，所以P{U＞D(U)|U＞E(U))=e一1．涉及知识点：概率统计
26．设X，Y相互独立，且X～B(3，)，Y～N(0，1)，令U=max(X，Y)，求P{1＜U≤1．96)(其中Ф(1)=0．841，Ф(1．96)=0．975)．
正确答案：P(U≤u)=P{max(X，Y)≤u}=P{X≤u，Y≤u}=P(X≤u)P(Y≤u)，P(U≤1.96)=P(X≤1.96)P(y≤1.96)=[P(X=0)+P(X=1)]P(Y≤1.96)P(U≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=×Ф(1)=0．4205，则P(1＜U≤1．96)=P(U≤1．96)一P(U≤1)=0．067．涉及知识点：概率统计
27．设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度．
正确答案：X～U(0，1)，Y～NE(1)fX(x)=因为X，Y相互独立，所以f(x，y)=fX(x)fY(y)=于是FZ(z)=P{Z≤z)=P{X+Y≤z}=当z≤0时，FZ(z)=0；当0＜z ＜1时．FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫0zdx∫0z一xe一ydy=z+e一z一1；当z≥1时，FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫01dx∫0z一xe一ydy=e一z一e1一z+1．所以FZ(z)= 涉及知识点：概率统计
28．设总体X，Y相互独立且都服从N(μ，σ2)分布，(X1，X2，…，Xm)与(Y1，Y2，…，Yn)分别为来自总体X，Y的简单随机样本．证明：S2=为参数σ2的无偏估计量．
正确答案：涉及知识点：概率统计。