贵州省遵义市2021届新高考数学仿真第二次备考试题含解析

贵州省遵义市2021届新高考数学仿真第二次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[
)4+∞，
B ．[]
06，
C ．[]04，
D ．[)6+∞，
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】
实数,x y 满足的约束条件0
3020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，
则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 2．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 【答案】C
【解析】
试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系
3．已知函数()3
2,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，则
=3f f ⎛
⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A
．
2
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭
的值，再求得
3f f ⎛
⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值. 【详解】
依题意1
2
331log log 3332f -⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
，1
212322f f f -⎛
⎫⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
4．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得
()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．16,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．74
1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．7
4160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢
⎥⎝⎦⎣⎭ D ．74
6,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】
因为()g x ax lnx =-，故()1
ax g x x
=
'-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1
a e
≥
时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增；
当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a
=
， 故()g x 在区间10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫
=+=-
⎪⎝⎭
，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111
,54
g g e a ⎛⎫<≥
⎪⎝⎭， 即可得111,154a
lna e
+<
-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
5．双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率是3，则双曲线C 的
焦距为（ ）
A ．3
B ．
C ．6
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据2
2
2
,c
b c a e a
=-=，可得结果. 【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±= 取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=
则点F 到l =222b a c +=
所以2b =
，则222c a -=
又222
2399
c c c a a a =⇒=⇒=
所以22
3292
c c c -=⇒=
所以焦距为：23c = 故选：A 【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题.
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A 323
6π+ B ．836π
C 323163
π
D ．16833
π
+
【答案】B 【解析】 【分析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：22111
23622V r h πππ=
=⨯⨯= 四棱锥体积为：211
43238333
V Sh ==⨯⨯⨯=
原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
7．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，
2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．62
D ．122
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得
c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =
+=，
四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==
则112212122111
422
A B A B S A A B B A B OC =
⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即11
2243222
a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅
故由基本不等式可得22
2a b c +=≤=
，即c ≥， 当且仅当a b =时等号成立.
故焦距的最小值为故选：D 【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
8．已知函数()()2
22ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有
()()
1212
8f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()3,1--
B ．()2,1--
C ．(],3-∞-
D ．(],2-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x
+++'=+=
， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()
1212
8f x f x x x -≥-，
即
()()12128f x f x x x -≥-，
()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，
令()()8g x f x x =+，则()22
48a g x ax x
+'=
++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1
240a ax x
+++≤，
从而()222214122121
x x a x x ---≤=
-++，因为()2
2212221x x --≥-+，
所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
9．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==
3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A ．83π
B ．163π
C ．(833)π+
D ．(16312)π+
【答案】B 【解析】 【分析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】
根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，
ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=. 故选:B
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆2
2
650x y y +-+=所得弦长为（ ） A
B ．2
C ．4
D
．【答案】C 【解析】 【分析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐
标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x
k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
11
11:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中
档题.
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．
112
V B ．18
V
C ．16V
D ．19
V
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当
11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327
V a =，进一步求
出四面体1AMND 的体积即可． 【详解】 解：如图，
∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，
∴11111
,33
BM BB C C N C =
= 设正方体1AC 的棱长为3a ，则327a V =，
∴3
27V a =
． 取1
3
BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，
在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，
12212212222211111112
(3)(3)32,(3)10,(32)(2)22,
cos ,
21022255319
sin ,
255
11sin =22=3192192
D NA AD a a a D N a a a AN a a a D NA a a D NA S D N AN D NA AD a
a h h ∆=+==+==+=∴∠==⋅⋅∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，
设M 到平面1AGND 的距离为2h ，
22111111[(2)322]
3231922219
222
M AGN A MGN
a a V V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=
⋅⋅= 1
23131933919
AMND a V V a ∴=⨯⨯==. 故选D ． 【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 12．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位 【答案】D 【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将
的图象向右平移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数2(1i
z i i
=+为虚数单位）的虚部为__________． 【答案】1 【解析】 试题分析：
，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
14．已知()6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，则()6
ax b +展开式所有项系数之和为______. 【答案】64 【解析】 【分析】
由题意先求得,a b 的值，再令1x =求出展开式中所有项的系数和. 【详解】
()
6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，
4
426135C a b ∴⋅⋅=，556
18C a b ⋅⋅=-， 由两式可组成方程组42515135
618
a b a b ⎧=⎨=-⎩，
解得1,3a b ==-或1,3a b =-=，
∴令1x =，求得()6
ax b +展开式中所有的系数之和为6264=.
故答案为：64 【点睛】
本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.
15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．
【答案】12 【解析】 【分析】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a ，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为
h ，
则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==， 又由三棱锥1A AEF -的体积为11111111
23326
A AEF F AA E V V S h ah b abh --===⨯⨯==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。

【点睛】
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

16．已知平面向量(),2a m =，()1,3b =，且()
b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为________． 【答案】4
π
【解析】 【分析】
由()
b a b ⊥-，解得4m =，进而求出2
cos ,a b =，即可得出结果. 【详解】
解：因为()b a b ⊥-，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以
4,21,3cos ,2
a b ⋅=
=
，所以向量a 与b 的夹角的大小为4π．
都答案为：4
π
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）1
2
（2）选择方案二更为划算 【解析】 【分析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率11
8
P =
，获得8折优惠的概率238P =，相加得到答案.
（2）选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案. 【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率3
12148P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
该顾客获得8折优惠的概率2
223
223448
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率12131
882
P P P =+=
+=. （2）若选择方案一，则付款金额为18020160-=.
若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.
3
23113(126),(144)828
P X P X C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，
33
103
31311(162),(180)2828
P X C P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 则1331
1261441621801538888
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 因为160153>，所以选择方案二更为划算. 【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18．已知x ，y ，z 均为正数．
（1）若xy ＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz ； （2）若
xyz x y z ++＝1
3
，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为1 【解析】 【分析】
（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.
（2）由xyz x y z ++＝1
3
, 得
1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值. 【详解】
（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z ）（y+z ）≥4 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．
又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >， ∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz ；
（2）∵xyz x y z ++＝1
3
，即
1113yz xz xy ++=． ∵11
22yz yz yz yz
+
⋅=， 11
22xz xz xz xz
+
⋅=， 11
22xy xy xy xy
+
⋅=， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，
∴1116xy yz xz xy yz xz
+++
++， ∴xy+yz+xz≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy+yz+xz ≥1， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为1． 【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
19．已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++-+=()
*
n ∈N .
（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）证明见解析；31
2
n n a -=（2）1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-
【解析】 【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到()2113n n n n a a a a +++-=-，由此证得数列{}1n n a a +-为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S 【详解】
（1）已知21430n n n a a a ++-+=， 则()2113n n n n a a a a +++-=-，
且213a a -=，则{}1n n a a +-为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以13n
n n a a +-=，()()()11221131
2
n n n n n n a a a a a a a a ----=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+=. （2）由（1）得：3n
n b n n =⋅-，
1213233n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯，①
23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②
①－②可得11
2
1
13323333
32
n n
n n n T n n ++---=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯=-⨯，
则111333(21)33
424
n n n n n n T +++-⨯-⨯+=-+=
即1(21)33(1)
42
n n n n n S +-⨯++=-
. 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3
B =． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求cos(2)6B π
-的值． 【答案】
（Ⅰ）b =
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，
所以根据余弦定理得，2
29136
b +-=，
解得，b =
（Ⅱ）因为2cos 3B =
，所以sin B = 21cos22cos 19B B =-=-
，sin 22sin cos B B B =
则111cos(2)sin 2()6292B B B π-=+-+=
． 【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题. 21．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥. （1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；
（2）求数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析（2）112
231
n n S +=
-+
【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到
11
3n n
n n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S . 【详解】
（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-
11
*,2,
3n n
n n a b n N n a b ---∈≥=-
所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，()()1111113,22n
n n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+
∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，
∴()()1
113431
1231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
∴111111
1241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-
+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11
1
1122431231
n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.
22．若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2
42n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；
（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有22
11n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通
项公式．
【答案】（1）不是，见解析（2）0d ≥（3）1
2
n n a += 【解析】
（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证1n =时，12n n n a a a +++-是否为数列{}n a 中的项，即可得答案；
（2）由题意得121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+，再对公差进行分类讨论，即可得答案；
（3）由题意得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为(0)t t >，再根据不等式22
11n n n n a a a a ++<-<得
到公差的值，即可得答案； 【详解】
（1）当2n ≥时，22
1424(1)2(1)46n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-+
又112412a S ===⨯-，所以46n a n =-+． 所以12464104n n n a a a n n +++-=-++=- 当1n =时，126n n n a a a +++-=，而2n a ≤，
所以1n =时，12n n n a a a +++-不是数列{}n a 中的项，故数列{}n a 不是为“T 数列” （2）因为数列T 是公差为d 的等差数列， 所以121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+． 因为数列{}n a 为“T 数列”
所以任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得1(1)||m a n d d a +-+=，即有()||m n d d -=．
①若0d ≥，则只需*1m n =+∈N ，使得()||m n d d -=，从而得12n n n a a a +++-是数列{}n a 中的项． ②若0d <，则1m n =-．此时，当1n =时，0m =不为正整数，所以0d <不符合题意．综上，0d ≥． （3）由题意1n n a a +<，所以1221n n n n n n a a a a a a +++++-=+-，
又因为()21212n n n n n n n n a a a a a a a a +++++<+-=--<，且数列{}n a 为“T 数列”， 所以211n n n n a a a a ++++-=，即212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列． 设数列{}n a 的公差为(0)t t >，则有1(1)n a n t =+-，
由22
11n n n n a a a a ++<-<，得1(1)[2(21)]1n t t n t nt +-<+-<+，
整理得(
)
2
2
231n t t t t ->-+，①
()22221n t t t t ->--．②
若2
20t t -<，取正整数202
31
2t t N t t
-+>-，
则当0n N >时，()()
222
02231n t t t t N t t -<-<-+，
与①式对应任意*n ∈N 恒成立相矛盾，因此220t t -≥． 同样根据②式可得220t t -≥， 所以220t t -=．又0t >，所以12
t =
． 经检验当1
2
t =
时，①②两式对应任意*n ∈N 恒成立， 所以数列{}n a 的通项公式为111(1)22
n n a n +=+-=． 【点睛】
本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
23．已知函数2()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈.
（1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>. 【答案】（1）1
2
；（2）①01a <<；②详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1
(1)12
f '⋅=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，
解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数(
)
3
,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立. 【详解】
解：（1）依题意，2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1
(44)12a -⋅=-，解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2
22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和
()1,x +∞上单调递增；若1
2x
x x <<，222(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调
递减，故函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <. 所以，实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，
所以1212
3,,x x a x x a +=-⎧⎨=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，
令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2
()20h a a
'=->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3
3
20h e
e
--=-<，(1)40h =>，
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，
所以当01a <<时，222()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--，
又()
3,1t e -∈，2229(1)1010t t t --=-->-， 所以()10g a >-，即()100g a +>，
故()()12100f x f x ++>得证.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.。