高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.5 向量的应用

学业分层测评(二十三) 向量的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，则共点力对物体所做的功为________．
【解析】 对于合力F ＝(5,3)，
其所做的功为W ＝F·s ＝52＋92＝7.
【答案】 7
2．若A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状为________．
【解析】 AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝0，
即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．
【答案】 直角三角形
3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为________(速度单位：m/s ，长度单位：m)．
【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 (10，－5)
4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2-5-5，已知物体重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．
图2-5-5
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
【答案】 10 N
5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，
则点O 是△ABC 的________．
【解析】 由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－
OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．
【答案】 垂心
6．等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且A (－1,2)，C (1,1)，则B 的坐标为________．
【解析】 设B 的坐标为(x ，y )，
则CB →＝(x －1，y －1)，又AC →＝(2，－1)．
由题意知：|CB →|＝|AC →|，且CB →·AC →＝0，
∴⎩
⎨⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝5，2(x －1)－(y －1)＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝3. 【答案】 (0，－1)或(2,3)
7．如图2-5-6，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，则对角线AC 的长为________．
【导学号：06460068】
图2-5-6
【解析】 ∵AC →＝AB →＋AD →，
∴AC →2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，①
又BD →＝AD →－AB →，
∴BD →2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，②
∴①＋②得
AC →2＋BD →2＝2(AB →2＋AD →2)．
又AD ＝1，AB ＝2，BD ＝2，
∴AC ＝ 6.
【答案】 6
8．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为________．
【解析】 如图，|F 1|＝|F 2|＝|G |
2cos θ2.
∵|F 1|＝|F 2|＝|G |，∴2cos θ2＝1，∴θ＝120°.
【答案】 120°
二、解答题
9．如图2-5-7所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD .
图2-5-7
【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，
∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)
＝|AD →|2－|AB →|2＝0.
∴AC →⊥BD →.
∴AC ⊥BD .
10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点
N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．
【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．
因为MA →＝2AN →，所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，
所以⎩⎨⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎨⎧
x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，
又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上，
所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，
所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1，
所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.
[能力提升]
1．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD
的形状是________．
【解析】 AB →＝DC →，∴AB →∥DC →，
且|AB →|＝|DC →|，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
|AB →＋AD →|＝|AC →|，|AB →－AD →|＝|DB →|，
∴|AC →|＝|DB →|，
∴平行四边形是矩形．
【答案】 矩形
2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.
【解析】 如图，在△AOB 中，
|AB |＝3，|OA |＝|OB |＝1，
∴∠AOB ＝120°，
∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 120°＝－12.
【答案】 －12
3．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边
形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【解析】 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，
所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，
即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，56π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，56π 4．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程．
【解】 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为：AB →|AB →|
＋AC →|AC →|
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. 设∠A 的角平分线上任一点N (x ，y )，则AN →＝(x －4，y －1)，则AN →与所求方
向向量平行，
∴所求直线方程为：75(x －4)＋15(y －1)＝0，整理得7x ＋y －29＝0.。