广东省茂名市2022届高三五大联盟学校9月份联考试卷(文数) Word版含答案

茂名市五大联盟学校9月份联考 数学试卷(文科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,31M
x y
y
x ，,5N
x y y
x ，则M
N 中的元素的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2.已知,a b R ，i 为虚数单位，2137a i
i
bi ，则a b ( )
A ．8
B ．0
C ．7
D ．1 3.已知幂函数a f x
x 的图象过点1
3,
3，则函数21g x x f x 在区间
1
,22
上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．32
4.已知0.3
4
a ，1
38b
，log0.3c
，这三个数的大小关系为( )
A ．b a c
B ．a b c C.c a b D ．c b a 5.AB
C △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知7b ，4c ，3
cos 4
B
，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C.4 D ．5 6.设,x y 满足约束条件0
1030
y x y x y ，则3z
x y 的最大值为( )
A ．3
B ．5 C.1 D ．1 7.已知函数cos
10,
0,0
f x
A x
A 的最大值为3，y f x 的图象的相邻两条对称轴
间的距离为2，与y 轴的交点的纵坐标为1，则1
3
f ( )
A ．1
B ．1 C.
3
2
D ．0 8.执行如图所示的程序框图，若输入32n ，则输出的结果为( )
A ．80
B ．84 C.88 D ．92
9.在正三棱锥S ABC 中，27SA ，6AB ，则该三棱锥外接球的直径为( )
A ．7
B ．8 C.9 D ．10
10.函数2ln x
f x
x
的图象大致是( ) A ．
B ． C. D ．
11.已知双曲线2
22
2
10,0x y a b a
b 的虚轴上、下端点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，若AF BC ，
则该双曲线的离心率为( )
A 213151 D 52
2
12.已知函数1
ln sin 2f x
x x a x 在区间,3
上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1
4,
2
B ．3
4,
2
C.1
3,
2
D ．33,
2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数32
log ,04,0
a x x f x
x x x
，若12f f ，则a ．
14.已知集合U R ，集合5,2A ，1,4B ，则下图中阴影部分所表示的集合为 ．
15.若函数x f x x m e m
R 的图象在点1,1
f 处的切线斜率为2e ，则函数f x 的微小值
是 ．
16.设f x 是定义在R 上的函数，它的图象关于点1,0对称，当1x 时，2x
f x xe (e 为自然对数的底
数)，则23ln 2f 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合2331A x a x a ，集合54B
x x .
(1)若A
B ，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使得A B ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 18.已知函数cos 4
f x ax x
b 的图象在点
,2
2
f
处的切线方程为32
4
y
x .
(1)求,a b 的值； (2)求函数f x 在
,22
上的值域. 19.如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ADFE 是正方形，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，1AB CD AD ，
2BC ，G 为BC 中点，平面ADFE 平面ADCB .
(1)证明：AC
BE ；
(2)求三棱锥A GFC 的体积. 20.已知函数3
2
264
a a f x
x x ax 的图象过点104,3A . (1)求函数f x 的单调区间； (2)若函数23g x f x
m 有3个零点，求m 的取值范围.
21.已知函数21x f x
x ax a e .
(1)当1a 时，求曲线y
f x 在点1,1f 处的切线方程；
(2)争辩函数f x 的单调性；
(3)若函数f x 在2x 处取得微小值，设此时函数f x 的极大值为g a ，证明：2eg a
.
22.已知直线l 的参数方程为
333x t y
t
(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系
中，曲线C 的极坐标方程为2
23cos 2sin 50.
(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程(化为标准方程)； (2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB .
23.已知函数111
f x
x a x
a a .
(1)证明：1f x
；
(2)若1
2f ，求a 的取值范围.
茂名市五大联盟学校9月份联考 数学试卷(理科)参考答案
一、选择题
1-5:BABCB 6-10:ADAAD 11、12：CC
二、填空题
13.2 14.
5,1 15.
1
e
16.48ln 2 三、解答题
17.解：(1)由于A B ，所以集合A 可以分为A 或A 两种状况来争辩：
当A
时，23314a a a .
当A
时，得235
314
112331
a a a a a .
综上，,4
1,1a
.
(2)若存在实数a ，使A B ，则必有2351
3141
a a a a ，无解. 故不存在实数a ，使得A B . 18.解：(1)由于cos 4
f x ax x
b ，所以'sin 2f x a x .
又3'1
2
2f a ，3
2
242
24
f a
b
.
解得1
,32
a
b . (2)由(1)知13
cos 24
f x x x
. 由于1
'sin 2
f x x ，由1
'sin 02f x x ，得62
x
，
由1
'sin 02f x
x 得，2
6x
，
所以函数f x 在,26
上递减，在
,62
上递增.
由于22
f
，2
f
，min
433
66
f x
f
. 所以函数f x 在
,22
上的值域为
4
33
,6
.
19.(1)证明：连接DG ，由于AD GC ，AD GC ∥，
所以四边形ADCG 为平行四边形，
又AD CD ，所以四边形ADCG 为菱形，从而AC DG ，
同理可证AB DG ∥，因此AC
AB ，
由于四边形ADFE 为正方形，所以EA AD ，又平面ADFE
平面ABCD ，
平面ADFE
平面ABCD AD ，
故EA 平面ABCD ，从而EA AC ，
又EA
AB A ，故AC
平面ABE ，所以AC
BE ..
(2)由于12
A GFC
F
AGC
E
AGC
E ABC V V V V ，
113
113
32
6
E
ABC
V . 所以，三棱锥A GFC 3. 20.解：(1)由于函数32
264
a a f x x x ax 的图象过点104,3A . 所以
3210
442
33
a a a ，解得2a ， 即3
2
112232
f x
x x x ，所以2
'2f x
x x .
由2
'20f x x x ，解得12x ；
由'0f x
，得1x 或2x .
所以函数f x 的递减区间是1,2，递增区间是
,1，2,
.
(2)由(1)知max
11
51
2232
6
f x f ， 同理，min
8
162
2423
3
f x
f ， 由数形结合思想，要使函数23
g x f x
m 有三个零点，
则
16523
3
6m ，解得713612
m . 所以m 的取值范围为713
,
612
. 21.解：(1)当1a 时，2
2
11
1x
x e x x f x x
x e
e ，故11
f .
又21'32x f x
x x e ，则'1
0f .
故所求切线方程为1y . (2)∵2
'x
e x
ax a f x
e
211222x
x x a x a e x x a e ，
∴当2a 时，'0f x ，故f x 在R 上递减.
当2a 时，,2
,x a ，'0f x ；2,x
a ，'0f x
，
故f x 的减区间为,2，,a ，增区间为2,a ， 当2a 时，,2,x a ，'0f x
；,2x
a ，'0f x
，
故f x 的减区间为
,a ，2,
，增区间为,2a .
综上所述，当2a 时，f x 在R 上递减；
当2a 时，f x 的减区间为,2，,a ，增区间为2,a ； 当2a 时，f x 的减区间为
,a ，2,
，增区间为,2a .
(3)依据(2)可知函数f x 在2x 处取得微小值时，2a ， 故函数f x 在x a 处取得极大值，即1a g a f a
ae ，
故当2a 时，1'0a
e a g a
e
，即g a 在2,上递减，
所以2
2
g a g e
，即2eg a .
22.解：(1)直线l 的一般方程为333x y 即3
3
y
x ， 曲线C 的直角坐标方程是22
23250x y x y ，
即2
2
3
1
9x
y .
(2)直线l 的极坐标方程是
6
R ，代入曲线C 的极坐标方程得：
2
250，所以
2A B
，
5A
B
.
不妨设0A
，则0B
，
所以2A
B
A
B
OA
OB
.
23.(1)证明：由于1111
11
1
1
f x
x a x
a x x
a a a a ，
又1a
，所以11
12111
a a ，
所以1f x
.
(2)解：1
2f 可化为111
21
a a ，
由于10a ，所以11
a a
a (*)，
①当10a 时，不等式(*)无解， ②当0a 时，不等式(*)可化为
1
1
1
a a a a a ，
即
2
210
10
a a a a 51
51
22
a ， 51
51
2
2
a .。