辽宁省丹东市中考数学模拟试卷（四）含答案解析

辽宁省丹东市中考数学模拟试卷（四）（解析版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2是2的（）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（）
A．0.3×106B．3×105C．3×106D．30×104
3．如图是几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
4．函数y=自变量x的取值范围是（）
A．x＜1B．x＞﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
5．下列事件为必然事件的是（）
A．任意买一张电影票，座位号大于5
B．打开电视机，正在播放天气预报
C．菱形的对角线的长大于边长
D．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
6．已知，在▱ABCD中，BC﹣AB=2cm，BC=4cm，则▱ABCD的周长是（）
A．6cmB．12cmC．8cmD．10cm
7．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积是4，则k的值是（）
A．﹣2B．±4C．2D．±2
8．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）
A．一定相似B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似D．无法判断
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=55°，则∠2=．
10．分解因式：ba3﹣ab3=．
11．一组数据﹣1、x、3、1、﹣3的平均数为0，则这组数据的标准差为．12．如图，在⊙O中，弦AB=4cm，点O到AB的距离OC的长是2cm，则⊙O的半径是．
13．某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BC﹣AD=4，则梯形的腰
AB=．
15．观察下面两组数据：
第一组：2，4，8，16…
第二组：5，7，11，19…
根据你发现的规律，两组数据的第8个数据的和是．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（5，2），（﹣1，2），点E（3，0）在x轴上，点P在CD边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的P点有个．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=﹣5．
18．已知：如图所示，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形ABCD的各顶点均在格点上．
（1）将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得四边形A1B1C1D1；
（2）将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若D2（2，3），画出平移后的图形．
19．我市为了解中学生的视力情况，对某校三个年级的学生视力进行了抽样调查，得到不完整的统计表与扇形统计图如下，其中扇形统计图的圆心角α为36°，x表示视力情况，根据上面提供的信息，回答下列问题：
分组视力情况频数频率
A 4.0≤x＜4.3 20
B 4.3≤x＜4.6 0.35
C 4.6≤x＜4.9 50
D x≥4.9
（1）此次共调查了人；
（2）请将表格补充完整；
（3）这组数据的中位数落在组内；
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是．
20．数学兴趣小组探究概率实验，桌子上放有质地均匀，反面相同的4张卡片，正面标有1、2、3、4，将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出1张卡片，用卡片上所标有的数字作为十位上的数字，将这张卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽出一张卡片，用卡片上所标有的数字作为个位上的数字，试用列表法或画树状图的方法分析下列问题：（1）组成的两位数有多少种可能？
（2）组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？
21．如图，AB是⊙O的直径，OD∥BC，∠A=30°，CD=2．
求：（1）弦BC的长；
（2）图中阴影部分的面积．
22．甲、乙两市之间有两条铁路线，普通快车线长600千米；高速铁路线长450千米．已知高速列车的速度是普通快车速度的3倍，普通快车先出发3小时，而比高速列车晚到2小时，求普通快车与高速列车的速度分别是多少？
23．如图，AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，从A点测得D点的仰角为30°，从B 点测得D点的仰角为60°，已知两楼之间的距离为27米．求甲、乙两建筑物的高AB、CD．（结果精确到个位）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
24．某房地产开发公司计划建甲、乙两种户型的住房共80套，该公司所用建房资金不少于2850万元，甲种户型每套成本和售价分别为45万元和51万元，乙种户型每套成本和售价分别为30万元和35万元．设计划建甲种户型x套．
（1）该公司最少建甲种户型多少套？
（2）若甲种户型不超过32套，选择哪种建房方案，该公司获利最大？最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，根据国家房地产政策，公司计划每套甲种户型住房的售价降低a
万元（0＜a≤1.5），乙种户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房能全部售出，直接写出该公司获得最大利润的方案．
25．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角形的顶点P 放在斜边AC上．
（1）设三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N．
①当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，得到图1，写出图中的一对全等三角形；
②在①的条件下，写出与△PEM相似的三角形，并直接写出PN与PM的数量关系．（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB，BC的延长线于点M，N．
①请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；
②在①的条件下，当△PCN是等腰三角形时，若BC=3cm，则线段BN的长是．
26．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A 落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
辽宁省丹东市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2是2的（）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣2是2的相反数，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（）
A．0.3×106B．3×105C．3×106D．30×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：300 000=3×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图是几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
4．函数y=自变量x的取值范围是（）
A．x＜1B．x＞﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：1﹣x＞0，可求自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：1﹣x＞0，
解得x＜1．
故选A．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5．下列事件为必然事件的是（）
A．任意买一张电影票，座位号大于5
B．打开电视机，正在播放天气预报
C．菱形的对角线的长大于边长
D．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A，B，C选项，是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
是必然事件的是：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，符合题意．故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．已知，在▱ABCD中，BC﹣AB=2cm，BC=4cm，则▱ABCD的周长是（）
A．6cmB．12cmC．8cmD．10cm
【分析】由于平行四边形的对边相等，再根据已知即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，
∵BC﹣AB=2cm，BC=4cm，
∴AB=DC=2cm，
∴▱ABCD的周长是=2+2+4+4=12cm．
故选B．
【点评】此题主要考查平行四边形的对边相等的性质，题型简单．
7．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积是4，则k的值是（）
A．﹣2B．±4C．2D．±2
【分析】先根据反比例函数的图象在一、三象限判断出k的符号，由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD=S△BOE=k，根据反比例函数及正比例函数的特点得出A、B两点关于
=2△AOD=k，再由△ABC的面积是4即可得出k的值．
原点对称，故可得出S
矩形OECD
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AOD=S△BOE=k，
∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴S
=2△AOD=k，
矩形OECD
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S
=2k=4，解得k=2．
矩形OECD
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
8．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）
A．一定相似B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似D．无法判断
【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF 是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．
【解答】解：连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=55°，则∠2=125°．
【分析】先根据补角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1=55°，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣55°=125°．
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
10．分解因式：ba3﹣ab3=ab（a﹣b）（a+b）．
【分析】首先提取公因式ab，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=ab（a2﹣b2），
=ab（a﹣b）（a+b）．
故答案为：ab（a﹣b）（a+b）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．一组数据﹣1、x、3、1、﹣3的平均数为0，则这组数据的标准差为2．
【分析】先根据平均数是3，求出x的值，再求出这组数据的方差，然后求出方差的算术平方根即可．
【解答】解：∵数据﹣1、x、3、1、﹣3的平均数是10，
∴（﹣1+x+3+1﹣3）÷5=0，
解得：x=0，
∴这组数据的方差是：S2=[（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（3﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣3﹣0）2]=4，∴这组数据的标准差等于2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了标准差，用到的知识点是方差、标准差、平均数，关键是根据平均数求出x的值．
12．如图，在⊙O中，弦AB=4cm，点O到AB的距离OC的长是2cm，则⊙O的半径是4cm．
【分析】由于点O到AB的距离OC的长是2cm，即OC⊥AB，根据垂径定理得AC=2cm，然后根据勾股定理可计算出OA．
【解答】解：连结OA，如图，
∵点O到AB的距离OC的长是2cm，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×4cm=2cm，
在Rt△OCA中，OC=2，AC=2cm，
∴OA==4（cm）．
故答案为4cm．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
13．某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是16（1﹣x）2=14．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是16×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为16（1﹣x）（1﹣x）=14，解方程即可．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，整理得：16（1﹣x）2=14．
故答案为：16（1﹣x）2=14．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BC﹣AD=4，则梯形的腰AB= 4．
【分析】首先过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABED是平行四边形，又由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BC﹣AD=4，易得△DEC是等边三角形，EC=4，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，BE=AD，
∵AB=DC，BC﹣AD=4，
∴DE=DC，CE=BC﹣BE=BC﹣AD=4，
∵∠C=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴AB=CE=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．观察下面两组数据：
第一组：2，4，8，16…
第二组：5，7，11，19…
根据你发现的规律，两组数据的第8个数据的和是515．
【分析】观察不难发现，第一组数是2的指数次幂，第二组比第一组相应的数大3，然后写出第8个数相加即可解得．
【解答】解：第一组：2=21，4=22，8=23，16=24，…
第二组：5=21+3，7=22+3，11=23+3，19=24+3，…
所以，两组的第8个数据的和是：28+（28+3）=256+（256+3）=515．
故答案为：515．
【点评】本题对数字变化规律的考查，熟练掌握2的指数次幂是解题的关键，观察出第二组比第一组相应的数大3也很关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（5，2），（﹣1，2），点E（3，0）在x轴上，点P在CD边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的P点有3个．
【分析】分别以O、E为圆心，以OE的长为半径作圆与CD相交，再作OE的垂直平分线与CD相交，交点即为所求的点P．
【解答】解：如图，满足条件的P点有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=﹣5．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷==，当a=﹣5时，原式==﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
18．已知：如图所示，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形ABCD的各顶点均在格点上．
（1）将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得四边形A1B1C1D1；
（2）将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若D2（2，3），画出平移后的图形．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C、D绕点O顺时针旋转180°后的对应点A1、B1、C1、D1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1、D1平移后A2、B2、C2、D2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）四边形A1B1C1D1如图所示；
（2）四边形A2B2C2D2如图所示．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．我市为了解中学生的视力情况，对某校三个年级的学生视力进行了抽样调查，得到不完整的统计表与扇形统计图如下，其中扇形统计图的圆心角α为36°，x表示视力情况，根据上面提供的信息，回答下列问题：
分组视力情况频数频率
A 4.0≤x＜4.3 20
B 4.3≤x＜4.6 0.35
C 4.6≤x＜4.9 50
D x≥4.9
（1）此次共调查了200人；
（2）请将表格补充完整；
（3）这组数据的中位数落在C组内；
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是108°．
【分析】（1）根据圆心角α为36°，求出A组所占的百分比，的出频率，再根据频数是20，即可得出总人数；
（2）根据频数、频率之间的关系，分别求出B组的频数、C组的频率、D组的频数以及频率，填表即可；
（3）根据中位数的定义即可得出这组数据的中位数落在C组内；
（4）用360°乘以D组的频率即可得出答案．
【解答】解：（1）∵圆心角α为36°，
∴A组的频率是：=0.1，
∴总人数是20÷0.1=200（人），
故答案为：200；
（2）B组的频数是200×0.35=70；
C组的频率是50÷200=0.25；
D组的频数是：200﹣20﹣70﹣50=60，
频率是60÷200=0.3；
填表如下：
分组视力情况频数频率
A 4.0≤x＜4.3 20 0.1
B 4.3≤x＜4.6 70 0.35
C 4.6≤x＜4.9 50 0.25
D x≥4.9 60 0.30
（3）∵这组数据共有200个数，
∴中位数是第100，101个数的平均数，
∴这组数据的中位数落在C组内；
故答案为：C．
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是360°×0.30=108°；
故答案为：108°．
【点评】本题考查了扇形统计图和统计表，用到的知识点是中位数的求法以及扇形统计图，给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n
为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
20．数学兴趣小组探究概率实验，桌子上放有质地均匀，反面相同的4张卡片，正面标有1、2、3、4，将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出1张卡片，用卡片上所标有的数字作为十位上的数字，将这张卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽出一张卡片，用卡片上所标有的数字作为个位上的数字，试用列表法或画树状图的方法分析下列问题：（1）组成的两位数有多少种可能？
（2）组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图可得组成的两位数恰好能被3整除的有5种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果．
（2）∵组成的两位数恰好能被3整除的有5种情况，
∴组成的两位数恰好能被3整除的概率是：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，AB是⊙O的直径，OD∥BC，∠A=30°，CD=2．
求：（1）弦BC的长；
（2）图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由OD∥BC得∠ADO=90°，则根据垂径定理得到AD=DC=2，即AC=4，然后根据含30°的直角三角形三边的关系可计算出BC；（2）先得到OD=BC=，再计算出半径，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S
﹣S△OAC进行计算即可．
扇形OAC
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=DC=2，
∴AC=4，
∵∠A=30°，
∴BC=AC=；
（2）连结OC，如图，
∵OD为△ACB的中位线，
∴OD=BC=，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴OC=BC=，∠AOC=2∠B=120°，
∴阴影部分的面积=S
﹣S△OAC
扇形OAC
=﹣×4×
=﹣．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形三边的关系．
22．甲、乙两市之间有两条铁路线，普通快车线长600千米；高速铁路线长450千米．已知高速列车的速度是普通快车速度的3倍，普通快车先出发3小时，而比高速列车晚到2小时，求普通快车与高速列车的速度分别是多少？
【分析】设普通快车的速度为x，则高速列车的速度为3x，根据高速列车比普通快车少用5小时，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设普通快车的速度为x，则高速列车的速度为3x，
由题意得：﹣=3+2，
解得：x=90．
经检验：x=90是原方程的根．
3x=270（千米/时）．
答：普通快车的速度为90千米/小时，高速列车的速度为270千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确的表示出普快及高速列车所用的时间．
23．如图，AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，从A点测得D点的仰角为30°，从B 点测得D点的仰角为60°，已知两楼之间的距离为27米．求甲、乙两建筑物的高AB、CD．（结果精确到个位）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】先作AE⊥CD于点E，得出AE=BC﹣27，AB=CE，根据tan∠DBC=，求出CD 的长，再根据tan∠DAE=，求出DE的长，最后根据CE=CD﹣DE，即可得出答案．【解答】解：作AE⊥CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
则AE=BC﹣27，AB=CE，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC=，
∴CD=×27=27≈46（米），
在Rt△AED中，
∵tan∠DAE=，
∴DE=×27=9，
∴CE=CD﹣DE=27﹣9=18，
∴AB=CE=1831（米）；
答：甲、乙两建筑物的高AB、CD分别为31米和46米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24．某房地产开发公司计划建甲、乙两种户型的住房共80套，该公司所用建房资金不少于2850万元，甲种户型每套成本和售价分别为45万元和51万元，乙种户型每套成本和售价分别为30万元和35万元．设计划建甲种户型x套．
（1）该公司最少建甲种户型多少套？
（2）若甲种户型不超过32套，选择哪种建房方案，该公司获利最大？最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，根据国家房地产政策，公司计划每套甲种户型住房的售价降低a
万元（0＜a≤1.5），乙种户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房能全部售出，直接写出该公司获得最大利润的方案．
【分析】（1）设公司建甲种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据该公司所用建房资金不少于2850万元，列出不等式，进行求解即可；
（2）设所获得利润为W万元，根据一套的利润×总的套数=总利润，列出一次函数，再根据函数的增减性即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：当0＜a＜1和1＜a＜1.5时，分别得出甲住房和乙住房各多少套时，该公司才能获得最大利润．
【解答】解：（1）设公司建甲种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，
45x+30（80﹣x）≥2850
解得：x≥30，
答：公司最少建甲种户型30套；
（2）设所获得利润为W万元，根据题意得：
W=（51﹣45）x+（35﹣30）（80﹣x）
=x+400，
∵k=1＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x取最大值32时，W有最大值432万元；
（3）当0＜a＜1时，甲住房有32套，乙住房有48套，该公司才能获得最大利润；
当1＜a＜1.5时，甲住房有30套，乙住房有50套，该公司才能获得最大利润；
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键．
25．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角形的顶点P 放在斜边AC上．
（1）设三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N．
①当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，得到图1，写出图中的一对全等三角形；
②在①的条件下，写出与△PEM相似的三角形，并直接写出PN与PM的数量关系．（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB，BC的延长线于点M，N．
①请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；
②在①的条件下，当△PCN是等腰三角形时，若BC=3cm，则线段BN的长是1cm或5cm．
【分析】（1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根据AAS推出两三角形全等即可；②根据已知条件得到AB=BC，求出PE=BC，PF=AB，根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，根据相似三角形的性质得到==，即可得出答案．（2）①根据相似三角形的性质得到=2，设CF=x，则PE=2x，求出PF=x，根据相似三角形的性质即可得到结论；②求出CP=2cm，分为两种情况：第一种情况：当N在
线段BC上时，得出△PCN是等边三角形，求出CN=CP=2cm，即可得到结论；第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，求出CN=PC=2cm，即可得到结论．
【解答】（1）解：①△AEP≌△PFC，
理由是：∵P为AC中点，
∴AP=PC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，
∴PF∥AB，PE∥BC，
∴∠APE=∠C=60°，
在△AEP和△PFC中
∴△AEP≌△PFC（AAS）；
②△PFN∽△PEM，PN=PM，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P为AC中点，
∴E为AB中点，F为BC中点，
∴PE=BC，PF=AB，
∴=，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴==，
∴PN=PM．。