牛顿迭代的艾特金加速

牛顿迭代的埃特金加
摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的一种有效的方法，在通常情况下至少有平方收敛。

运用牛顿迭代法不仅关心它的收敛与否，同时还要关心它的收敛速度。

现存的关于牛顿迭代加速收敛的文献有很多。

参阅本文试图通过用埃特金算法，来加速牛顿迭代的收敛速度。

关键词：牛顿迭代、加速收敛 、特金加速
相关知识
1. 埃特金算法
对于一般的方程()0f x =,将它改写成：
()x x ϕ=
的形式，式中()x ϕ称为迭代函数。

由此得到的迭代公式：1
()k k x x ϕ+=
埃特金算法是将迭代1()k x x ϕ+=值再一次进行迭代，即 11
()k k x x ϕ++=。

最后
得到的公式：
2
111
111()2k k k k k k k
x x x x x x x ++++++-=--+。

2. 牛顿迭代法
对于一般的方程f(x)=0,在近似根k x 附近用一阶泰勒多项式
'()()()()k k k p x f x f x x x =+-
来近似代替()f x ;取()0p x =的根作为()0f x =的新的近似根，记着1k x +；可以得到：1'()
()
k k k k f x x x f x +=-；这就是牛顿迭代公式。

牛顿迭代的埃特金加速 在这里用'
()
()()
k k k f x x x f x ϕ=-
来代替埃特金算法中的()x ϕ，即可得到 1
'
()
()
k k k k f x x x f x +=- （1）
'1
''
'()
()
()()
()()()
()
k k k k k k k k k k f x f x f x f x x x f x f x f x f x +-
=--
- （2）
2111
111()2k k k k k k k
x x x x x x x ++++++-=--+（3）
分别把（1）、（2）式代入（3）式中，这样就得到了牛顿迭代的埃特金加速格式：
'1
''
'()
()
()()
()()()
()
k k k k k k k k k k f x f x f x f x x x f x f x f x f x +-=---
-2
''''''''''()()()()()()()()()()()()()()()2()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k k f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x f x f x ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫- ⎪⎛⎫
⎪----+ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝
⎭ 数值验证
求方程
3270x -=
我们知道此方程的精确解为3。

分别用经典牛顿迭代和你顿埃特金加速格式计算结果
如下表1。

参考文献：
（1）王能超数值分析简明教程(第二版)：高等教育出版社2003.08
（2）吕勇刘兴国。

牛顿迭代法加速收敛的一种修正武汉科技学院学报2006.02 第19卷第二期
（3）方超昆c++程序设计教程：北京邮电大学出版社2009.01
附件：程序代码附件2程序框图。