山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
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3
（3）当 a 0时，求 f (a)、f (a 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a时，对应 的函数值用符号 表f (示a)。
打开课本第65页看例题2与你的解答对比
练习：P67练习1
讲 课 人 ： 邢 启 强
R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
R
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是
实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
(A) y
0
x
(B) y
讲 课 人 ： 邢 启 强
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0
x
(C)
0
x
(D)
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学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
请阅读课本P64关于区间的内容
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
22
典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
【例1】已知函数 f ( x)
x3 1 x2
（2）求 f (3)、f (2) 的值
.. .。 。.
。
.
。
.
数轴上所有的点 19
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
注意：①区间是一种表示连续性的数集 ②定义域、值域经常用区间表示用 ③数轴上实心点表示包括在区间内的端点，用 空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
讲
课
人
：
邢
启 强
18
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
集合表示 区间表示 {x a＜x＜b} (a , b)
数轴表示
。。
{x a≤x≤b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b} {x x＜a}
{x x≤a} {x x＞b}
{x x≥b}
讲
{x x∈R} 课
人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
[a , b] [a , b)
(a , b] (－∞, a) (－∞, a] (b , +∞) [b , +∞) (－∞,+∞)
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典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
【例1】已知函数 f ( x) （1）求函数的定义域
x3 1 x2
解：要使函数有意义，
只要
x x
3 2
0 0
x x
3 2
x
3且x
2
所以f ( x)的定义域为{x | x 3，且x 2}
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求
讲
课
人
：
邢
启 强
7
学习新知 问题：四个实例有什么共同点和不同点？
不同点 实例（1）（2）是用解析式刻画变量之间的对应 关系，但有不同的取值范围 实例（3）是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例（4）是用表格刻画变量之间的对应关系；
共同点
（1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示：
（2）都有一个对应关系：
3.1.1 函数的概念
复习旧知
1、初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与 y，如果对于x的每一个值，y都有唯 一的值与它对应，则称x是自变量， y是x的函数；其中自变量x的取值的 集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y的值叫做函数的值域。
讲
课
人
：
邢
启 强
2
新课引入
2、请同学们考虑以下两个问题：
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
讲 课 人
显然值域是集合B的子集
：
邢
启 强
10
思考 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
初中各类函数的对应法则、 定义域、值域分别是什么？
讲 课 人 ： 邢 启 强
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山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
函数
对应法则
定义 域
值域
正比例 函数
反比例 函数
y kx(k 0) R
k
y
(k x
0) {x | x 0}
判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与
之对应
×
2、函数的定义域和值域一定是无限集合 ×
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
间 t(单位：h）的关系可以表示为 S=350t.
这里，t 和 S 是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一
确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数。
思考:有人说：“根据对应关系 S＝350t，这趟列车加速到 350 km/t 后，
运行 1h 就前进了 350km.”你认为这个说法正确吗?
根据问题的条件，我们不能判断列车以 350 km/h
运行半小时后的情况，所以上述说法不正确、显
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。
下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应
关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关
系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是
S=350t. ①,
w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？ 显然，工资 w 是一周工作天数 d 的函数，其对应关系是 w=350d. ② 其中,d 的变化范围是数集 A2＝{1,2,3,4,5,6},w 的变化范围是数集 B2 ＝{350,700,1050,1400,1750,2100}.对于数集 A2 中的任一个工作天数 d，按照对应关系②，在数集 B2 中都有唯一确定的工资 w 与它对应
讲 课 人 ： 邢 启 强
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学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作
“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合
[5,6)
（2） {x|x ≥9}
[9,)
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
(,1] [5,2)
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
(,9) (9,20)
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
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巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域
常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定
义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
讲
课
人
：邢Leabharlann 启 强21山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
讲 课 人 ： 邢 启 强
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巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y
0
x
12
深化知识 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
（1）试说明函数定义中有几个要素？
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素， 是一个整体；
②值域由定义域、对应法则惟一确定；
③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示 “y等于f与x的乘积。
(1) y 1是函数吗？
（2）y x与y x 2 是同一个函数吗？ x
显然，仅用初中函数的概念很难回答 这些问题。因此，需要从新的高度认 识函数。
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知 问题 1 某“复兴号”高速列车加速到 350km/h 后保持匀速
运行半小时，这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时
思考：问题1和问题2中的函数有相同的对应 关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?
问题1和问题2中的函数不是同一个函数，因为问题1
讲 课 人
中t的取值集合与问题2中d的取值集合不同.
：
邢
启 强
5
讲
课
人
：
邢
启 强
6
问题4 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出， 该省城镇居民的生活质量越来越高.
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关 系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应， 记作 f: A→B.
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
（2）如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一
讲 个值，是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应。
课
人
：
邢
启 强
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巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
其讲 中 课
t
的变化范围是数集
A1={t|0≤t≤0.5}，S
的变化范围是数集
B1={S|0≤S≤175}对于数集
人
A： 邢1
中的任一时刻
t，按照对应关系①，在数集
B1
中都有唯一确定的路程
S
和它对应
启 强
4
学习新知
问题 2 某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6 天如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工 资。那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特
性：对于数集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数
讲 课 人
集
B
中部有唯一确定的数
y
和它对应
：
邢
启 强
8
学习新知
事实上，除解析式、图象、表格外、还有其他表示对应 关系的方法为了表示方便，我们引进符号f统一表示对 应关系。
归纳以上四个实例，我们看到，三个实例中变 量之间的关系可以描述为：
（3）当 a 0时，求 f (a)、f (a 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a时，对应 的函数值用符号 表f (示a)。
打开课本第65页看例题2与你的解答对比
练习：P67练习1
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R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
R
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是
实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
(A) y
0
x
(B) y
讲 课 人 ： 邢 启 强
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0
x
(C)
0
x
(D)
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学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
请阅读课本P64关于区间的内容
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
讲 课 人 ： 邢 启 强
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22
典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
【例1】已知函数 f ( x)
x3 1 x2
（2）求 f (3)、f (2) 的值
.. .。 。.
。
.
。
.
数轴上所有的点 19
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
注意：①区间是一种表示连续性的数集 ②定义域、值域经常用区间表示用 ③数轴上实心点表示包括在区间内的端点，用 空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
讲
课
人
：
邢
启 强
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山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
集合表示 区间表示 {x a＜x＜b} (a , b)
数轴表示
。。
{x a≤x≤b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b} {x x＜a}
{x x≤a} {x x＞b}
{x x≥b}
讲
{x x∈R} 课
人 ： 邢 启 强
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[a , b] [a , b)
(a , b] (－∞, a) (－∞, a] (b , +∞) [b , +∞) (－∞,+∞)
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典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
【例1】已知函数 f ( x) （1）求函数的定义域
x3 1 x2
解：要使函数有意义，
只要
x x
3 2
0 0
x x
3 2
x
3且x
2
所以f ( x)的定义域为{x | x 3，且x 2}
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求
讲
课
人
：
邢
启 强
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学习新知 问题：四个实例有什么共同点和不同点？
不同点 实例（1）（2）是用解析式刻画变量之间的对应 关系，但有不同的取值范围 实例（3）是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例（4）是用表格刻画变量之间的对应关系；
共同点
（1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示：
（2）都有一个对应关系：
3.1.1 函数的概念
复习旧知
1、初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与 y，如果对于x的每一个值，y都有唯 一的值与它对应，则称x是自变量， y是x的函数；其中自变量x的取值的 集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y的值叫做函数的值域。
讲
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：
邢
启 强
2
新课引入
2、请同学们考虑以下两个问题：
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
讲 课 人
显然值域是集合B的子集
：
邢
启 强
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思考 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
初中各类函数的对应法则、 定义域、值域分别是什么？
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山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
函数
对应法则
定义 域
值域
正比例 函数
反比例 函数
y kx(k 0) R
k
y
(k x
0) {x | x 0}
判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与
之对应
×
2、函数的定义域和值域一定是无限集合 ×
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
间 t(单位：h）的关系可以表示为 S=350t.
这里，t 和 S 是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一
确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数。
思考:有人说：“根据对应关系 S＝350t，这趟列车加速到 350 km/t 后，
运行 1h 就前进了 350km.”你认为这个说法正确吗?
根据问题的条件，我们不能判断列车以 350 km/h
运行半小时后的情况，所以上述说法不正确、显
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。
下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应
关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关
系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是
S=350t. ①,
w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？ 显然，工资 w 是一周工作天数 d 的函数，其对应关系是 w=350d. ② 其中,d 的变化范围是数集 A2＝{1,2,3,4,5,6},w 的变化范围是数集 B2 ＝{350,700,1050,1400,1750,2100}.对于数集 A2 中的任一个工作天数 d，按照对应关系②，在数集 B2 中都有唯一确定的工资 w 与它对应
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学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作
“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合
[5,6)
（2） {x|x ≥9}
[9,)
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
(,1] [5,2)
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
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(,9) (9,20)
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巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域
常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定
义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
讲
课
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：邢Leabharlann 启 强21山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
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巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y
0
x
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深化知识 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
（1）试说明函数定义中有几个要素？
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素， 是一个整体；
②值域由定义域、对应法则惟一确定；
③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示 “y等于f与x的乘积。
(1) y 1是函数吗？
（2）y x与y x 2 是同一个函数吗？ x
显然，仅用初中函数的概念很难回答 这些问题。因此，需要从新的高度认 识函数。
讲
课
人
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邢
启 强
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学习新知 问题 1 某“复兴号”高速列车加速到 350km/h 后保持匀速
运行半小时，这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时
思考：问题1和问题2中的函数有相同的对应 关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?
问题1和问题2中的函数不是同一个函数，因为问题1
讲 课 人
中t的取值集合与问题2中d的取值集合不同.
：
邢
启 强
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讲
课
人
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邢
启 强
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问题4 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出， 该省城镇居民的生活质量越来越高.
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关 系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应， 记作 f: A→B.
讲
课
人
：
邢
启 强
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学习新知
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
（2）如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一
讲 个值，是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应。
课
人
：
邢
启 强
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山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 函数的 概念
巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：函数的概念
其讲 中 课
t
的变化范围是数集
A1={t|0≤t≤0.5}，S
的变化范围是数集
B1={S|0≤S≤175}对于数集
人
A： 邢1
中的任一时刻
t，按照对应关系①，在数集
B1
中都有唯一确定的路程
S
和它对应
启 强
4
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问题 2 某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6 天如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工 资。那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特
性：对于数集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数
讲 课 人
集
B
中部有唯一确定的数
y
和它对应
：
邢
启 强
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事实上，除解析式、图象、表格外、还有其他表示对应 关系的方法为了表示方便，我们引进符号f统一表示对 应关系。
归纳以上四个实例，我们看到，三个实例中变 量之间的关系可以描述为：