江西省井冈山中学高一数学《25从力做功到向量的数量积》课件
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4. a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量. 1. ea = ae =|a|cos;
2. ab ab = 0 内积为零是判定两向量垂直的条件
3. aa = |a|2或 | a | a a 用于计算向量的模
ab 4. cos = | a || b |
解：4cos600=2
四.向量的数量积（内积）
定义： a b cos a,b 叫做向量a和b的数量
积（或内积） 记作：a·b .
即 a·b = a b cos a,b
几点说明
1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正
射影的数量|b|cos的乘积.
B
b
a b a b cos
O | b | cos
a
A
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由
cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是
一个向量。
B
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
B
b
B1 O
aA
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
B b
O(B1 ) a
A
θ为直角时， | b | cosθ=0
3.规定零向量与任意向量的数量积为0 0 a 0
（2）AB与BC的夹角。 C
通过平移
120 60
变成共起点！
A
B
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 OA =a，过点O，A
分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则
向量 O1A
叫做向量a在轴l上的正射影.
1
A
a
O
x
A1 al O1
l
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在 轴l上的数量或在轴l方向上的数量. 记作： al 向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ， 则有
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
O b Ba
A
O
a
A
〈a ，b〉=π时，a、b反向；
B
B b Oa A 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
b
a
O
A
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
练习1
如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
al a cos
几点说明
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数
量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
3. 当为钝角时，数量为负值；
4. 当为直角时，数量为0； 5. 当 = 0时，数量为 |a|；
aa
6. 当 = 180时，数量为 |a|.
O
x
A2 a l O 1 a l A1
（2）在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是 D
A 锐角三角形 C 钝角三角形
B 直角三角形 D 不能确定
（3）在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是 C
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
练习4
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
3、向量a、b（b≠0）共线的充要
条件是什么？ a =λb
若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的 充要条件是什么？x1 y2 - x2 y1=0
一.力做功的计算
F θ
O
位移S
F
θ S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
正射影的数量 al a cos
3.向量的数量积（内积）a·b= a b cos a,b
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或| a | a a
ab
(3). cos =| a || b |
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量a、b， OA =a，OB = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,
记作<a ，b>.
并规定0≤ <a ，b> ≤π
B
b
a
O
A
几点说明
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，B 若没有，
须平移使它们有公共起点； （2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
b
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
；
用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状
5.|ab| ≤ |a|.|b| .
例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b. 解： ab =|a|·|b|cos<a,b>
=5×4×cos120° = －10.
练习2
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b， ③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
l
例1.已知轴l
（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°,
求OA在l上的正射影的数量OA1 解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1
-5/2
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上 的正射影的数量
2.5从力做功到向量的数量积
复习回顾
1、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量a+b=（x1 + x2 ，y1 + y2 ） 向量a-b=（x1 - x2 ，y1 - y2 ） 向量λa=（λ x1 ，λ y1）
2、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2)
则向量AB=（x2 – x1，y2- y1 ）
练习3
(1)已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向
上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的
数量。 解：因为 cos a b 4
|a||b| 5
所以a在b方向上的正射影的数量是
| a | cos a b 12 |b| 5
b在a方向上的正射影的数量是
| b | cos a b 4
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
60
∵ 2 AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
A120
B
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
∵ 3. AB与AD的夹角是60 °, AB与DA的夹角是120 AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
①a∥b时， a·b =±18； ②a⊥b时，a·b=0； ③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
例3、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
D
C
AD与BC的夹角为0.
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量. 1. ea = ae =|a|cos;
2. ab ab = 0 内积为零是判定两向量垂直的条件
3. aa = |a|2或 | a | a a 用于计算向量的模
ab 4. cos = | a || b |
解：4cos600=2
四.向量的数量积（内积）
定义： a b cos a,b 叫做向量a和b的数量
积（或内积） 记作：a·b .
即 a·b = a b cos a,b
几点说明
1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正
射影的数量|b|cos的乘积.
B
b
a b a b cos
O | b | cos
a
A
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由
cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是
一个向量。
B
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
B
b
B1 O
aA
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
B b
O(B1 ) a
A
θ为直角时， | b | cosθ=0
3.规定零向量与任意向量的数量积为0 0 a 0
（2）AB与BC的夹角。 C
通过平移
120 60
变成共起点！
A
B
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 OA =a，过点O，A
分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则
向量 O1A
叫做向量a在轴l上的正射影.
1
A
a
O
x
A1 al O1
l
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在 轴l上的数量或在轴l方向上的数量. 记作： al 向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ， 则有
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
O b Ba
A
O
a
A
〈a ，b〉=π时，a、b反向；
B
B b Oa A 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
b
a
O
A
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
练习1
如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
al a cos
几点说明
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数
量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
3. 当为钝角时，数量为负值；
4. 当为直角时，数量为0； 5. 当 = 0时，数量为 |a|；
aa
6. 当 = 180时，数量为 |a|.
O
x
A2 a l O 1 a l A1
（2）在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是 D
A 锐角三角形 C 钝角三角形
B 直角三角形 D 不能确定
（3）在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是 C
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
练习4
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
3、向量a、b（b≠0）共线的充要
条件是什么？ a =λb
若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的 充要条件是什么？x1 y2 - x2 y1=0
一.力做功的计算
F θ
O
位移S
F
θ S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
正射影的数量 al a cos
3.向量的数量积（内积）a·b= a b cos a,b
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或| a | a a
ab
(3). cos =| a || b |
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量a、b， OA =a，OB = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,
记作<a ，b>.
并规定0≤ <a ，b> ≤π
B
b
a
O
A
几点说明
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，B 若没有，
须平移使它们有公共起点； （2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
b
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
；
用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状
5.|ab| ≤ |a|.|b| .
例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b. 解： ab =|a|·|b|cos<a,b>
=5×4×cos120° = －10.
练习2
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b， ③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
l
例1.已知轴l
（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°,
求OA在l上的正射影的数量OA1 解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1
-5/2
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上 的正射影的数量
2.5从力做功到向量的数量积
复习回顾
1、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量a+b=（x1 + x2 ，y1 + y2 ） 向量a-b=（x1 - x2 ，y1 - y2 ） 向量λa=（λ x1 ，λ y1）
2、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2)
则向量AB=（x2 – x1，y2- y1 ）
练习3
(1)已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向
上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的
数量。 解：因为 cos a b 4
|a||b| 5
所以a在b方向上的正射影的数量是
| a | cos a b 12 |b| 5
b在a方向上的正射影的数量是
| b | cos a b 4
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
60
∵ 2 AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
A120
B
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
∵ 3. AB与AD的夹角是60 °, AB与DA的夹角是120 AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
①a∥b时， a·b =±18； ②a⊥b时，a·b=0； ③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
例3、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
D
C
AD与BC的夹角为0.