《推荐》热点10等差数列与等比数列-2017年高考数学二轮核心考点总动员Word版含解析

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇
热点10 等差数列与等比数列
【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题、或解答题，主要考查等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n 项和公式，考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，考查运算求解能力、函数与方程思想，难度为基础题或中等难度，分值为5至12分. 【热点考向】
考向一 等差数列与等比数列的基本量的求解
【解决法宝】等差（比）数列的通项公式、前n 项和公式中一共包含1,a d （或q ）,,n n a 与
n S 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中1a 和d （或q ）是两个基本
量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．注意方程思想的应用．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和0n a =的情形．等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论．
例1．【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），7】公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,,
k k k a a a 构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则4k 为（ ）
A ．20
B ．22
C ．24
D ．28
【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解 4k .
考向二 判断和证明等差数列、等比数列 【解决法宝】1.等差数列的判定：
①定义法：1n n a a d --=（d 为常数）(n ∈N*)⇔{n a }是等差数列；
②等差中项法：112n n n a a a +-=+⇔{n a }是等差数列；
③通项公式法：n a pn q =+（,p q 为常数）⇔{n a }是等差数列；
④前n 项和公式法：2
n S an bn =+（,a b 为常数）⇔{n a }是等差数列．其中用来证明方法
的有①②． 2.等比数列的判定： ①定义法：
1
n
n a q a -=（0,0n a q ≠≠）⇔{n a }是等比数列； ②等比中项法：2
11n n n a a a +-=（0n a ≠）⇔{n a }是等比数列； ③通项公式法：(a 0,b 0)n
n a ab =≠≠⇔{n a }是等比数列；
④前n 项和公式法：,(a 0,b 0,b 1),
na,(a 0)
n n a b a S ⎧⋅-≠≠≠=⎨≠⎩⇔{n a }是等比数列，其中用来证明
方法的有①②．
例2．【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，18】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*2n n S a n n N =+∈. （1）求证数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()2log 1,n n n b a T =-+是数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，求证：34n T <.
【分析】(1)令1n =先求出1a ，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-可得121n n a a -=-，两边同减去1可得()1121n n a a --=-，从而可证数列{}1n a -是等比数列；先求出数列{}1n a -的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）由()2log 1n n b a n =-+=，所以
2111122n n b b n n +⎛⎫
=- ⎪
+⎝⎭
，用裂项相消法求和求出()()3234212n n T n n +=-++，放缩可证不等式成立.
【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即
121n n a a -=-，即()1121n n a a --=-，因为1120a -=-≠，故10n a -≠，所以{}1n a -是
首项为-2，公比为2的等比数列，所以12,21n n
n n a a -=-=-+…………………………6分
（2）由（1）知n b n =，所以2111122n n b b n n +⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
， 所以
()()12311113233
1221242124
n n n T b b b b n n n n +⎛⎫=+++
+=+--=-< ⎪
++++⎝⎭…………12分
考向三 等差数列与等比数列的性质
【解决法宝】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差数列与等比数列性质的类比、联系与区别．等差数列（等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑：（1）等差
数列性质：①已知,,,m n p q *
∈N ，q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；②d m n a a m n )(-+=；（2）等比数列性质：①已知,,,m n p q *
∈N ，q p n m +=+，则
q p n m a a a a =；②m n m n q a a -=；利用性质可简化计算.
例3．【江西南昌市2017届摸底考试，11】设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，
201620171
01
a a -<-，给出下列结论：（1）01q <<；（2）
2016201810a a ->；（3）2016T 是数列{
}n T 中的最大项；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4031，
其中正确的结论为（ ）
A ．（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（1）（4）
D ．（2）（4） 【分析】利用等比数列的性质即可判断各结论的正误.
例4 【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，10】已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项
和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有23
43
n n S n T n -=-，则()3
153392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．
1941 B ．17
37
C ．715
D ．2041
【分析】利用等差数列的性质与前n 项和公式，即可求出结果. 【解析】
()()11111538383831111113921011111111111111111()
2211()
222
a a a a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b b b b b b b ++++++=+====
++++++++＝1111211319411341
S T ⨯-==⨯-，故选A ． 考向四 与等数列、等差数列有关的综合问题
【解决法宝】1.新定义数列问题，认真阅读定义，利用新定义将问题转化为熟悉的数列问题，再利用熟悉的数列方法，处理之,对新概念的理解是解题的关键.
2.等比数列与等差数列的应用问题，认真阅读试题，将应用题化为等比或等差数列问题，再利用等比数列或等差数列的有关知识和方法解决之.
3.对等比数列与等差数列的综合问题，利用等比数列与等差数列的有关知识方法，转化为函数问题或不等式问题，再利用相关的数学知识和方法求解.
例5【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，17】（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为
45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025
年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10
10
0.9910.010.9=-≈）.
【分析】(1)由题意可知，从2016年开始到2025年每年人口数成等差数列无增长，从2026年开始到2035年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可；(2)求出从2016年到2035年的人口总数20S ，求其平均值即可.
【解析】（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， ()45.50.51n a n =+⨯-
当11n ≥ 时，数列{}n a 是以公比为0.99 的等比数列，又1050a =
10
500.99n n a -=⨯
因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为
()1045.50.51,110
500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨
⨯≥⎪⎩
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()
102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万
∴新政策实施到2035年年人口均值为
20
48.634920
S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 【热点集训】 一、选择题：
1．【福建省泉州市2016届高三下学期3月质量检查】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布 A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺 【答案】B
【解析】问题模型为一等差数列{}n a ，首项5，末项1，项数30，其和为30
(51)902
+=，选B.
2.【河南百校联考2017届高三9月质检，3】在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”
是“123,,a a a 成等比数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
3．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，4】已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则
911
57
a a a a -=-（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 【答案】B
【解析】因为3
4
4633416a a a q a q q =⋅==，所以2
2q =，所以68
9113324
5733a a a q a q a a a q a q
--=--＝2324
222
()()()
q q q q --＝4，故选B ． 4．【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，4】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为
5
4
，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】
B
5.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且
659
11
a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A. 9 B. 10
C. 11
D. 12
【答案】B
【解析】由题意，不妨设69a t =，511a t
=，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t
=-，
即当10n =时，
n
S 取得最大值. 故选B.
6.【湖北黄石2017届高三9月调研，7】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
271224a a a ++=，则13S =（ ）
A ．52
B ．78
C ．104
D ．208 【答案】C
【解析】271277243=24=8a a a a a ++=⇒⇒，11313713()
13104.2
a a S a +=
==选C.
7．【山东潍坊2017届高三上学期期中，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）
A ．60里
B ．48里 C.36里 D ．24里 【答案】C
【解析】由题意知，此人每天走的里数构成公比为
1
2
的等比数列，设等比数列的首项为1a ，则有16141112378,192,192241812a a a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭===⨯=-，5
124122a =⨯=，
45241236a a +=+=，所以此人第4天和第5天共走了36里，故选C.
8．【河北衡水中学2017届高三摸底联考，7】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公
差为d ，若201717
100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ． 110
C ．10
D ．20
【答案】B
【解析】因为11(1)
(1)22
n n n na d S n a d n n -+
-==+，所以
2017171120171171()100010020171722S S a d a d d ---=+-+==，所以1
10
d =，故选B. 9．【河北唐山市2017届高三摸底考试，3】在等比数列{}n a 中，
13524621,42a a a a a a ++=++=，则9S =（ ）
A ．255
B ．256
C ．511
D ．512
【答案】C .
10.【北京市石景山区2016届高三第一学期期末】已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A.3S
B.4S 或5S
C.5S 或6S
D.6S
【答案】B
【解析】由已知43484d a a =-=-=-，3(3)8(3)(4)204n a a n d n d =+-=+-⨯-=-，由2040n a n =-≥得5n ≤，所以40a >，50a =，60a <，所以45S S =是n S 中的最大值．故选B ．
11.【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，3】等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，
1232n n a a a a m ++++=+…，则22212n a a a +++…等于（ ）
A ．1
(4)3
n m + B ．1(21)3
n -
C ．41
n
-
D ．2
(2)n
m +
【答案】A
12.【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，3】已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ）
A ．
3
2
B ．2
D ．【答案】C
【解析】奇数项之积为2，偶数项之积为64，得297531=⋅⋅⋅⋅a a a a a ，
64108642=⋅⋅⋅⋅a a a a a ，则329
753110
86425=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
a a a a a a a a a a q ，则2=q ，故选C.
13.【山东省济南一中2016届高三上学期期中】已知{}n a 等比数列，2512,,4
a a ==
则12231n n a a a a a a ++++=（ ）
A ．()
1614n -- B ． ()
1612n -- C ．()32143n -- D ．()32
123
n -- 【答案】C 【解析】
15．【河南百校联考2017届高三9月质检，11】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若
4321228a a a a +--=，则542a a +的最小值为（ ）
A ．12
B ．
C ．．【答案】C
【解析】2
4321212128
228(2)(1)821
a a a a a a q a a q +--=⇒+-=⇒+=
-，则3
3
5421282(2),(1)1
q a a a a q q q +=+=>-，求导得导函数零点q =
也是最小值点，所以q =
542a a +取最小值为 C.
16．【北京市朝阳区2016届高三第一学期期末】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，
则132a a +的最小值是 ．
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为q
，21322224a a a a q q q q +=
+=+≥=
当且仅当
242
q q q =⇒=
时，等号成立，故132a a +
的最小值是
. 17.【安徽百校论坛2017届高三上学期第2联考，16】已知函数{}n a 满足11
123
n n n a a a +++=
+，
且11a =，则数列21n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前20项和为 ．
【答案】780 【解析】由11123n n n a a a +++=
+得123111n n n a a a ++=++，即111
211n n a a +-=++，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬
+⎩⎭
是以
1
2为首项，2为公差的等差数列，则13212n n a =-+，∴数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为2010194780+⨯⨯=.
18.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，8】已知数列{}n a 满
足()()1116,
26,n n a n n a a n -⎧⎛⎫
-+ ⎪⎪=⎝⎭
⎨⎪⎩＜≥若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +＞，则实数a 的取值范围为 . 【答案】17,212⎛⎫
⎪⎝⎭
19.【北京市海淀区2016届高三第一学期期中】对于数列
，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ； ⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质
，则实数a 的取值范围是 【答案】（1）2；（2）
【解析】
20.【四川巴中市2017届“零诊”，17】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，2372-=+a a ，2983-=+a a .
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，求}{n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）32n a n =-+；（2）详见解析.
【解析】（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则62)(7283-==+-+d a a a a ，∴3-=d ， ∴2372172-=+=+d a a a ，解得11-=a ，∴数列}{n a 的通项公式为32n a n =-+；
（2）∵数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，∴1-=+n n n q b a ，即
123-=++-n n q b n ，
∴123-+-=n n q n b ，
∴)1(2
)13()1()]23(741[1212--++++-=++++-++++=n n n q q q n n q q q n S 当1=q 时，2
32)13(2n n n n n S n +=+-=； 当1≠q 时，q
q n n S n
n --+-=112)13(. 21.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，17】（本小题满分12分）
设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1015110,240S S ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令11
n n n n n a a b a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ；（Ⅱ）
n
n ＋1＋2n ． 【解析】（Ⅰ）设公差为d ，依题意有
⎩⎨⎧10a 1＋10
92d ＝110，
15a 1
＋15142d ＝240． 解得，a 1＝d ＝2．所以，a n ＝2n ．
（Ⅱ）b n ＝2n ＋22n ＋2n 2n ＋2＝n ＋1n ＋n n ＋1＝ 1 n －1n ＋1
＋2， T n ＝1－ 1 2＋ 1 2－ 1 3＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 n －1n ＋1＋2n ＝n n ＋1＋2n
22．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，17】（本小题满分12分）
设数列{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知39S =，且12a ，
31a -，41a +构成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1*2()n n n
a n N
b -=∈，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明6n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）详见解析
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >.
∵39S =，∴123239a a a a ++==，即
23a =.……………………………………………………………2分
又12a ，31a -，41a +成等比数列，
∴2
(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得2d =，11a =.………………………………………………………4分
∴
12(1)21n a n n =+-=-.……………………………………………………………………………………5分
（2）由12n n n
a b -=，得11211(21)()22
n n n n b n ---=
=-.…………………………………………………………6分 则0111111()3()(21)()22
2n n T n -=+++-，………………………………………………………………7分
所以121111111()3()(23)()(21)()222
22
n n n T n n -=+++-+-，………………………………………8分
两式相减得： 1211111112()2()2()(21)()22222
n n n T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅ 1211()21121213122212
n n n n n n -----=+-=---，………………………………………………………………10分
故
1
2362n n n T -+=-，……………………………………………………………………………………………11分
因为*
n N ∈，所以123662
n n n T -+=-<.……………………………………………………………………12分 23.【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，18】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =+∈.
（1）求证数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()2log 1,n n n b a T =-+是数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，求证：34n T <. 【答案】(1)证明见解析；21n n a =-+；(2)见解析
.。