7.1.1条件概率教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

《7.1.1条件概率》教学设计
授课学科高中数学授课对象高二学生授课时长45min
教材分析
本节课选自普通高中教科书·数学（A版）选修第三册中第七章《随机变量及其分布》中的第一节《条件概率与全概率公式》的第一小节，条件概率是概率论中重要概念之一，它在理论和实际中都有重要的应用。

教材从两个具体问题入手,对同一个随机事件,比较没有附加条件和有附加条件下的概率,认识条件概率的意义和本质。

遵循从特殊到一般，从具体到抽象的原则，循序渐进，符合学生的认知规律。

在知识结构上，本节课内容起到一个承前启后的作用，结合之前所学习的古典概型，研究随机事件的条件概率，得出概率的乘法公式，这为后续学习全概率公式以及研究相互独立事件打下良好的基础。

学情分析
在学习本节课内容之前，学生已经学习了古典概型和概率的概念，已经有较好的知识储备。

在能力上，学生具有一定的观察、类比和分析推理能力和初步的抽象思维和科学探究能力。

并且在生活中可能已经遇到过条件概率的相关事例，但对于条件概率的定义与应用仍是比较陌生的。

本节教学内容既有数学基础知识，又联系实际生活，有助于培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。

教学目标
（1）理解条件概率的概念，能够区别条件概率和无条件概率。

（2）结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，能计算简单随机事件的条件概率，感悟数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

（3）通过观察体验、动手实践及实验探究过程可以体会条件概率的应用，体会数学的发现美，提高概率素养。

教学重难点重点条件概率的概念及计算和概率的乘法公式及其应用
难点对条件概率的正确理解以及条件概率与无条件概率的比较
教学方法讲授法、讨论法教学手段多媒体辅助教学课前准备PPT课件
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
情境导入（7min）
【问题1】某个班级有45名学生，其
中男生、女生的人数及团员人数如表所示。

团员非团员
男生16 9
女生14 6
在班里随机选择一人做代表。

（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果已知选到的是团员，那么选
到的是男生的概率是多少？
独自思考。

创设贴近生
活的情境问题，使
学生发现数学与
生活的紧密联系，
使学生学会用数
学的眼光观察生
活，培养学生发现
问题和解决问题
的能力。

讲授新知（25min）
以追问的方式引导学生。

【追问1】在班里随机选择一人做代
表，这表示每个人被选中的概率都是相同
的，符合我们之前学习过的什么模型？
【追问2】如果全班同学为Ω，那么
此时样本空间里有几个样本点呢？
【追问3】如果用B表示事件“选到
男生”，那么选到男生的概率是多少呢？
【追问4】如果用A表示事件“选到
团员”，那么“在选到团员的条件下，选到
男生”的概率就是“在事件A发生的条件
下，事件B发生”的概率，我们把这个概
率记作(|)
P B A，此时样本空间有没有发
生变化呢？
思考并回答问题：
古典概型。

()45
nΩ=
()25
n B=
()5
()
()9
n B
P B
n
==
Ω
此时样本空间有
发生了变化，由全班同
学Ω变成了事件A，且
()30
n A=
以简单问题
为切入点，引导学
生回顾之前所学
的知识，唤醒学生
对概率这一部分
知识的记忆，为后
续学习做好知识
储备。

循序渐进，通
过具体问题初步
引入条件概率的
简单概念，可以帮
助学生更好理解
后面抽象的定义。

【追问4】那么此时符合条件的样本点是什么呢？一共有多少个呢？
【追问5】现在是不是就可以计算出概率了呀，怎样规范表达？
对本题进行总结归纳，并板书课题。

此时符合条件的样本点“既要是男生，也要是团员”，一共有16人。

()8 (|)
()15
n AB
P B A
n A
==
【问题2】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选
择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大?
独自思考后，进行
小组交流与讨论。

初步感悟条
件概率后，再次设
置一道问题让学
生独自思考，培养
学生分析对比的
能力，培养学生数
学推理的数学学
科核心素养。

（用b表示男孩，用g表示女孩，则样本空间{,,,}
bb bg gb gg
Ω=，且所有样本点都是等可能的，因此属于古典概型。

）请一个小组派一名代表发表对本题的看法和展示本小组的答案。

如果用A表示事
件“选择的家庭中有女
孩”，则{,,}
A bg gb gg
=
用B表示事件“选择的
家庭中两个小孩都是
女孩”，则{}
B gg
=。

()1
()
()4
n B
P B
n
==
Ω
()8
(|)
()15
n AB
P B A
n A
==
独自思考并
根据问题一的思
路得出问题二的
答案，培养学生对
比的类比的数学
思想方法以及分
析和解决问题的
能力。

并且小组讨
论有助于培养学
生之间的沟通交
流和团结合作。

引导学生发现在上面两个问题中，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率都是()
(|)()
n AB P B A n A =
，现需证明这一结论对于一般的古典概型依旧成立。

Ω
A A
B B
()
()()()
(|)()()()()
n AB n AB P AB n P B A n A n A P A n Ω===Ω
所以(|)P B A 还可以用()
()
P AB P A 来算。

认真听讲，跟着老师的思路走，清楚条件概率的计算公式具有普遍性。

体现了从特殊到一般，具体到抽象的数学思想
方法。

循序渐进，符合学生的认知规律，加深学生对条件概率的印象，培养学生逻辑推理、数学抽象等数学学科核心素养。

板书条件概率的定义：
一般地，设为A ，B 为两个随机事件，
且()0P A >，我们称()(|)()P AB P B A P A =为在
事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率。

认真听讲，学习并理解条件概率的定义。

完整板书条件概率的定义可
以起到强调作用，并且有利于课堂小结的时带领学生回顾。

以问题串的形式对条件概率的定义进行补充和进一步解释说明。

【追问1】在问题一和问题二中(|)
P B A与()
P B的关系是怎么样的？
【追问2】那么在什么情况下会有(|)()
P B A P B
=呢？
思考并回答问题：
(|)()
P B A P B
≠
通过等式发现当
()()()
P AB P A P B
=时，
(|)()
P B A P B
=
通过刚才的
两个问题直观感
受(|)
P B A与()
P B
的关系，随后让学
生自行猜想两者
相等的条件，培养
学生独立思考、逻
辑推理的能力。

【追问3】结合之前的所学知识，什么时候会有()()()
P AB P A P B
=呢？
总结归纳条件概率与事件独立性的关系：当()0
P A>时，当且仅当事件A与B 相互独立时，有(|)()
P B A P B
=。

反之，当()0
P B>时，当且仅当事件A与B相互独立时，有(|)()
P A B P A
=。

【追问4】对于任意两个事件A与B，现在如果已知()
P A与(|)
P B A，该如何计算()
P AB呢？
板书概率的乘法公式：
对任意两个事件A与B，若()0
P A>，则()()(|)
P AB P A P B A
=。

当事件A与事件
B相互独立时。

理解条件概率与
事件独立性的关系，明
白要注意前提：条件的
发生概率不能为0。

根据条件概率的
定义公式，变形可得到
()()(|)
P AB P A P B A
=
学习并理解概率
的乘法公式。

从结论反推
到条件，让学生体
会分析法。

让学生自行
探究后，教师加以
总结归纳并强调
相关的注意事项
可以再次加深学
生对件概率与事
件独立性的关系
和乘法公式这一
部分知识的印象。

完整板书可
以起到强调作用，
并且有利于课堂
小结的时带领学
生回顾。

随堂小测（8min）
【例题】在5道试题中有3道代数题
和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，
抽出的题不再放回。

求：
（1）第1次抽到代数题第2次抽到
几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，
第2次抽到几何题的概率。

请同学来分享自己的解法。

对其两种解法都表示肯定，对解题步
骤的书写进行强调与规范。

并带领学生比
较条件概率与无条件概率，总结归纳出两
者的区别。

【法一】设A=“第1次
抽到代数题”，B=“第
2次抽到几何题”,则
()5420
()326
()3
()
()10
()3412
()3
()
()5
()1
(|)
()2
n
n AB
n AB
P AB
n
n A
n A
P A
n
P AB
P B A
P A
Ω=⨯=
=⨯=
==
Ω
=⨯=
==
Ω
==
【法二】设A=“第1次
抽到代数题”，B=“第
2次抽到几何题”,则
()3412
()326
()1
(|)
()2
n A
n AB
n AB
P B A
n A
=⨯=
=⨯=
==
又
()5420
()3
()
()5
n
n A
P A
n
Ω=⨯=
==
Ω
，
()()(|)
313
5210
P AB P A P B A
=
=⨯=
使学生能够
初步应用条件概
率的公式并进行
计算简单的概率
问题，进一步巩固
本节课所学知识。

两种解题方
法运用到两种不
同的计算公式，打
破学生的定势思
维，锻炼学生思维
的灵活性，培养逻
辑推理、数学运算
等数学学科核心
素养。

课堂小结（4min）
带领学生回顾本节课学习的条件概率
的定义和计算公式，还有概率的乘法公式，
以及条件概率与事件独立性的关系。

跟着老师回顾本
节课内容。

课堂小结可
以让学生梳理本
节课的知识脉络，
更好地构建知识
体系。

作业布置（1min）
一、完成思考题：
设()0
P A>，则
（1）(|)?
P A
Ω=
（2）若B和C是两个互斥事件，则
(|)
P B C A与(|)
P B A、(|)
P C A之间存在
什么等量关系？
（3）设B和B互为对立事件，则
(|)
P B A与(|)
P B A存在什么等量关系？
二、完成课本P48练习1、2、3
完成课后作业。

作业有思考
题也有练习题，可
以检测学生对新
知识掌握情况。

板书设计
§7.1.1条件概率
一、条件概率：
1、定义：
一般地，设为A，B为两个随机事件，且()0
P A>，我们称
()
(|)
()
P AB
P B A
P A
=为在事件A发生的
条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。

2、计算公式：
()() (|)
()()
n AB P AB P B A
n A P A
==
3、条件概率与事件独立性的关系：
当()0
P A>时，当且仅当事件A与B相互独立时，有(|)()
P B A P B
=。

反之，当()0
P B>时，当且仅当事件A与B相互独立时，有(|)()
P A B P A
=。

二、概率的乘法公式：
对任意两个事件A与B，若()0
P A>，则()()(|)
P AB P A P B A
=，称该试为概率的乘法公式。

教学反思
1、该教学设计做到渗透数学方法在平时，在教学过程中培养学生数学学科核心素养。

本堂课多次出现类比、从特殊到一般以及从具体到抽象的数学思想方法，并且在条件概率定义的形成过程中体现了数学抽象、逻辑推理以及数学运算三大核心素养。

2、该教学设计在逻辑上基本按照教材的编排顺序，从易到难，循序渐进，符合学生的认知规律，并且有助于学生在课后自行对着教材回顾本节课所学内容。

3、课堂上教师如何引导学生是关键，我认为在一些内容的衔接上，还有些生硬，不够自然流畅，在这一方面可以多观看网上的优质课加以改进。

并且由于板书设计的内容相对丰富，板书时间较长，还需要多加练习粉笔字，提高板书速度。