平顶山市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平顶山市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ）
A ．13
B ．15
C ．12
D ．11
2
．
已
知
，
若圆
：
，
圆
：
2->a 1O 01582222=---++a ay x y x 2O 恒有公共点，则的取值范围为（ ）.
04422222=--+-++a a ay ax y x a A ． B ． C ． D ．),3[]1,2(+∞-- ),3()1,35(+∞-- ),3[]1,3
5
[+∞-- )
,3()1,2(+∞-- 3． 若函数则的值为（ ）
1,0,
()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩
(3)f -A ．5
B ．
C ．
D ．21-7-4． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
πB ．2
π
C ．4
π
D ．
π
5． 设集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|log 2x ＜0}，则M ∩N 等于（ ）
A ．（﹣1，0）
B ．（﹣1，1）
C ．（0，1）
D ．（1，3）
6． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ）
A ．{1，2，3，4，6}
B ．{1，2，3，4，5}
C ．{1，2，5}
D ．{1，2}
7． 若复数
的实部与虚部相等，则实数等于（ ）2b i
i
++b （A ） （ B ）
（C ）
（D ） 311312-8． 已知向量，，，若为实数，，则（ ）
(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = λ()//a b c λ+
λ=A ． B ． C ．1 D ．2
1412
9． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
P Q R S （
）
10．在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
11．若复数z=2﹣i （ i
为虚数单位），则=（
）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
　12．设函数
，则有（ ）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x
）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
二、填空题
13．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
= ．
14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN=
m
．
15．已知，则不等式的解集为________．
,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî2(2)()f x f x ->
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．
16．= .
-2
331
1
+
log 6-log 4
2
（17．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
18．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
三、解答题
19．如图，A 地到火车站共有两条路径
和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所
用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 。

20．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率
（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围
21．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，
（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．
22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠= ，求三棱锥1C AA B -的体积．
23．（本小题满分12分）
已知函数.
21
()cos cos 2
f x x x x =
--（1）求函数在上的最大值和最小值；()y f x =[0,
]2
π
（2）在中，角所对的边分别为，满足，，，求的值.1111]
ABC ∆,,A B C ,,a b c 2c =3a =()0f B =sin A 24．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2．（1）解不等式|g （x ）|＜5；
（2）若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．
平顶山市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设点P 到双曲线的右焦点的距离是x ，
∵双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，
∴|x ﹣5|=2×4∵x ＞0，∴x=13故选A ．　
2． 【答案】C
【解析】由已知，圆的标准方程为，圆的标准方程为1O 222
(1)()(4)x y a a ++-=+2O ，∵ ，要使两圆恒有公共点，则，即
222
()()(2)x a y a a ++-=+2->a 122||26O O a ≤≤+，解得或，故答案选C
62|1|2+≤-≤a a 3≥a 1
35
-≤≤-a 3． 【答案】D111]【解析】
试题分析：.()()()311112f f f -=-==+=考点：分段函数求值．4． 【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．　
5． 【答案】C
【解析】解：∵集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}，N={x|log 2x ＜0}={x|0＜x ＜1}，∴M ∩N={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故选：C ．
【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意一元二次不等式和对数函数等知识点的合理运用．　
6． 【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，∴P ∩（C U Q ）={1，2}故选D ．　
7． 【答案】C
【解析】
＝＝＋i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝.故选C.
b ＋i 2＋i (b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)
2b ＋152－b
5138． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为，，所以，又因为，所以
(1,2)a = (1,0)b = ()()1,2a b λλ+=+ ()//a b c λ+
，故选B. ()1
4160,2
λλ+-==
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
9． 【答案】D 【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．10．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
11．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f （）===﹣=﹣f （x ），
故选C ．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．　
二、填空题
13．【答案】　1　．
【解析】解：∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA=
=
∴sinC=
，sinA=
，
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．　
14．【答案】　150　
【解析】解：在RT △ABC 中，∠CAB=45°，BC=100m ，所以AC=100m ．
在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，
，因此AM=100
m ．
在RT △MNA 中，AM=100m ，∠MAN=60°，由
得MN=100
×
=150m ．
故答案为：150．　
15．【答案】(-
【解析】函数在递增，当时，，解得；当时，，
()f x [0,)+¥0x <220x ->0x -<<0x ³22x x ->
解得，综上所述，不等式的解集为．
01x £<2
(2)()f x f x ->(-
16．【答案】
332
【解析】
试题分析：原式=。

23
3331334log log 16log 16log 1622+-=+=+=+=考点：指、对数运算。

17．【答案】32
【解析】试题分析：由题意得11,422
k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义
18．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】正方体
中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，则截面为即截去一个三棱锥其体积为：所以该几何体的体积为：故答案为：三、解答题
19．【答案】【解析】（1）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P （A 1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P （A 2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P （A 1） ＞P （A 2）,
甲应选择L i P （B 1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P （B 2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P （B 2） ＞P （B 1）, 乙应选择L 2。

（2）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B 独立，
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，
一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，
记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A，B，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C，D，E，从5人中选取2人，得到基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10个基本事件，
记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M，
其中事件M包含AC，AD，AE，BD，BC，BE，共有6个基本事件，
所以P（M）==，
即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．
（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P1=0.02，
课外阅读时间落在[2，4）的频率为P2=0.03，
课外阅读时间落在[4，6）的频率为P3=0.05，
课外阅读时间落在[6，8）的频率为P1=0.2，
因为P1+P2+P3＜0.2，且P1+P2+P3+P4＞0.2，
故t0∈[6，8），
所以P1+P2+P3+0.1×（t0﹣6）=0.2，
解得t0=7，
所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．
【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，
∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（C U A）∩（C U B）=（﹣∞，3）∪[10，+∞）；
（2）∵集合C={x|x＞a}，
∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得，进而有线面垂直的判1BC AB ⊥11AB A B ⊥定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形1A AB AB 1A AB 的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.
3BC =考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.
23．【答案】（1）最大值为，最小值为；（232-【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(216f x x π=-
-再利用的性质可求在上的最值；（2）利用,可得,()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><[0,]2
π
()0f B =B 再由余弦定理可得,再据正弦定理可得.1
AC sin A 试题解析：
（2）因为，即()0f B =sin(2)1
6B π
-=
∵，∴，∴，∴(0,)B π∈112(,)666B π
ππ
-∈-262B π
π
-=3
B π
=又在中，由余弦定理得，
ABC ∆
，所以.22212cos 49223732
b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=AC =
由正弦定理得：，所以.sin sin b a B A =3sin A =sin A =考点：1.辅助角公式；2.性质；3.正余弦定理.
()sin()(0,||)2f x A x b π
ωϕωϕ=++><【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.
24．【答案】
【解析】解：（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5
∴﹣7＜|x ﹣1|＜3，
得不等式的解为﹣2＜x ＜4…
（2）因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，
所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，
又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|，
g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a ≥﹣1或a ≤﹣5，
所以实数a 的取值范围为a ≥﹣1或a ≤﹣5．…
【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．　。