高中数学 第二章2.2.1 综合法和分析法讲解与例题 新人教A版选修12

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
问题导学
一、用综合法证明问题
活动与探究1
1．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：
11
4a b
+≥． 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是A P ，AD 的中点．求证：
(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．
迁移与应用
设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2
．
(1)综合法的证明步骤：①分析条件，选择方向．确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．②转化条件，组织过程．将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
(2)综合法的适用范围：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，立体几何中的证明，不等式的证明等问题．②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．
二、用分析法证明问题
活动与探究2
当a ，b 满足什么条件时，a b a b --＜成立．
迁移与应用 当a ＋b ＞0时，求证：2
2
2
()2
a b a b +≥
＋．
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到一个明显成立的条件．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略．
三、综合法和分析法的综合应用
活动与探究3
求证：当x ≥0时，sin x ≤x ．
迁移与应用
已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1．
求证：log log log 222
x
x x
a b b c a c
+++++＜log x a ＋log x b ＋log x c ．
实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．
答案：
课前·预习导学 【预习导引】
1．综合法 分析法
2．已知条件 推理论证 结论 充分条件
预习交流 (1)解：∵a n ＝2n
，∴a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2×2n 2
n ＝2．
由等比数列的定义可知数列{a n }为等比数列． (2)证明：要证原不等式成立，
只需证(6＋7)2≥(22＋5)2
， 即证242＞240，
由于上式显然成立，因此原不等式成立． 课堂·合作探究 【问题导学】
活动与探究 1．思路分析：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)，即可得出结论．
证明：方法一：∵a ，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，
∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1
ab
≥4．
当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 方法二：∵a ，b 是正数，
∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21
ab
＞0，
∴(a ＋b )(1a ＋1b )≥4．又a ＋b ＝1，∴1a ＋1
b
≥4．
当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．
方法三：1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a
b
＋1≥2＋2
b a ·a
b
＝4．当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．
2．思路分析：(1)利用线线平行证明线面平行． (2)利用面面垂直线面垂直面面垂直．
证明：(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF 平面PCD ，PD 平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．
(2)连结BD ．因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，
所以△ABD 为正三角形． 因为F 是AD 的中点， 所以BF ⊥AD ．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF 平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD ＝AD ，
所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF 平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD ．
迁移与应用 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2
(b －a )
＝(3a 2－2b 2
)(a －b )．
因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2
＞0，
从而(3a 2－2b 2
)(a －b )≥0，
即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2
．
活动与探究2 解：要a －b ＜a －b ， 只需a ＜b ＋a －b ，
只需a ＜b ＋(a －b )＋2b (a －b )， 只需2b (a －b )＞0，
只需a ＞0，b ＞0，a －b ＞0，
即a ，b 要满足的条件为a ＞b ＞0．
迁移与应用 证明：要证a 2＋b 2
≥22(a ＋b )，
只需证(a 2
＋b 2)2
≥⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤22(a ＋b )2
， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2
≥2ab ．
因为a 2＋b 2
≥2ab 对一切实数恒成立，
所以a 2＋b 2
≥22
(a ＋b )成立．
综上所述，不等式得证．
活动与探究3 思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决． 证明：要证x ≥0时，sin x ≤x ， 只需证x ≥0时，sin x －x ≤0即可．
设f (x )＝sin x －x ，则即证x ≥0时，f (x )≤f (0)． 即证x ≥0时，f (x )的最大值小于或等于0．(*)
∵f (x )＝sin x －x ，∴f ′(x )＝cos x －1，∴当x ≥0时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减．
∴当x ≥0时，f (x )max ＝f (0)＝0，∴(*)式成立．∴原不等式成立． 迁移与应用 证明：要证明
log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
＜log x a ＋log x b ＋log x c ，
只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2
·b ＋c 2·a ＋c 2＜log x
(abc )，
由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c
2
＞abc ．
由公式a ＋b 2
≥ab ＞0，
b ＋c
2≥bc ＞0， a ＋c
2
≥ac ＞0．
又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞a 2b 2c 2＝abc ．
即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc 成立．
∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立．
当堂检测
1．设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x
(x ＜0)，则a 与b 的大小关系为( )． A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a ≤b 答案：A 解析：∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
而b ＝e x ＜e 0
＝1，故a ＞b ． 2．下列表述：
①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有( )．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
答案：C 解析：由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确．
3．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝2x
，当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )．
A ．11
B ．12
C ．24
D ．8 答案：C 解析：∵1＜log 23＜2，∴3＜log 23＋2＜4．由已知得f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 3
2
＋＝23
×2log 3
2
＝24．
4．已知a ，b 是不相等的正数，且2
a b
x +=，y a b =+，则x ，y 的大小关系是________．
答案：x ＜y 解析：∵y 2
＝2
()a b +＝a ＋b ＝
2
2()()2a b a b x ++>=２，∴x ＜y ． 5．补充下面用分析法证明基本不等式
22
2
a b ab +≥的步骤： 要证明
22
2
a b ab +≥， 只需证明a 2＋b 2
≥2ab ，
只需证____________________， 只需证____________________．
由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2
≥0
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。