2018届高三数学辅导精讲精练3 精品

2018届高三数学辅导精讲精练3
1．(2018·福州质检)命题“∃x ∈R ，x 3
>0”的否定是 ( )
A ．∃x ∈R ，x 3
≤0 B ．∀x ∈R ，x 3
≤0 C ．∃x ∈R ，x 3<0 D ．∀x ∈R ，x 3
>0
答案 B
2．(2018·洛阳)若命题p ：∀x ∈(－π2，π
2)，tan x >sin x ，则命题綈p ：( )
A ．∃x 0∈(－π2，π
2)，tan x 0≥sin x 0
B ．∃x 0∈(－π2，π
2)，tan x 0>sin x 0
C ．∃x 0∈(－π2，π
2
)，tan x 0≤sin x 0
D ．∃x 0∈(－∞，－π2)∪(π
2，＋∞)，tan x 0>sin x 0
答案 C
解析 ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈(－π2，π
2)，tan x 0≤sin x 0.
3．(2018·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是 A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C
分析 首先确定已知命题中所含的量词，然后根据含有一个量词的命题的否定形式进行判断即可．
解析 已知命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式，可知其否定是一个特称命题，把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，然后把“(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0”改为“(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”，即可得到该命题的否定形式为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－
x 1)<0”，故选C.
4．(2018·山东)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x
的图像关于直线x ＝π
2
对称．则下列判断正确的是
( )
A ．p 为真
B ．綈q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为T ＝2π
2＝π，故命题p 为假命题；y ＝cos x 的对
称轴为x ＝k π(k ∈Z )，故y ＝π
2不是函数y ＝cos x 的对称轴，所以命题q 为假命题．故綈q
为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假，故选C.
5．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则该命题的否定为 ( )
A ．綈p ：∃x ∈R ，cos x ≥1
B ．綈p ：∀x ∈R ，cos x ≥1
C ．綈p ：∃x ∈R ，cos x >1
D ．綈p ：∀x ∈R ，cos x >1 答案 C
解析 命题p 的否定綈p ：∃x ∈R ，cos x >1. 6．命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≤1，则
( )
A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，
>1
B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≥1 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，
>1
D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≥1 答案 C
解析 因为0<log 32<1，所以∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≤1.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，
>1.
7．“命题‘∃x ∈R ，x 2
＋ax －4a <0’为假命题”是“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为“∃x ∈R ，x 2
＋ax －4a <0”为假命题， 所以“∀x ∈R ，x 2
＋ax －4a ≥0”为真命题． 所以Δ＝a 2
＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.
8．命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋1>0，命题q ：∃θ∈R ，sin 2
θ＋cos 2
θ＝1.5，则下列命题中真命题是
( )
A ．p ∧q
B ．(綈p )∧q
C ．(綈p )∨q
D ．p ∧(綈q )
解析易知p为真，q为假，綈p为假，綈q为真．由真值表可知p∧q假，(綈p)∧q 假，(綈p)∨q假，p∧(綈q)真，故选D.
9．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是( ) A．∃x>0，使得x2－x≤0
B．∃x>0，使得x2－x>0
C．∀x>0，都有x2－x>0
D．∀x≤0，都有x2－x>0
答案 B
10．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( ) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析由题知：x0＝－b
2a
为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.
11．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为( ) A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
答案 C
解析由题意知q真，p假，
∴|x－1|<2.
∴－1<x<3且x∈Z.
∴x＝0,1,2.
12．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假
13．已知p：1
x2－x－2
>0，则綈p对应的x的集合为______________．答案{x|－1≤x≤2}
解析 p ：
1
x 2－x －2
>0⇔x >2或x <－1，
∴綈p ：－1≤x ≤2.
14．(2018·衡水调研卷)给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b
－1”； ③“∀x ∈R ，x 2
＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2
＋1≤1”；
④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，其中不正确的命题的是________． 答案 ①③
解析 ①错，p 且q 为假命题，则有假就假，不一定全假． ②对，否命题，条件、结论同时否． ③错，x 2
＋1≥1的否定是x 2
＋1<1.
④对，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B .
15．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2
＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围．
答案 m ≥2
解析 若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题，则綈p ：∀x ∈R ，mx 2
＋1>0与綈q ：∃x ∈R ，x 2
＋mx ＋1≤0均为真命题．根据綈p ：∀x ∈R ，mx 2
＋1>0为真命题可得m ≥0，根据綈
q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真命题可得Δ＝m 2－4≥0，解得m ≥2或m ≤－2.综上，m ≥2.
16．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋14a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x
＜a 对
一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
答案 0≤a ≤1
解析 若命题p 为真，即ax 2
－x ＋14
a ＞0恒成立，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，Δ＜0，有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
1－a 2
＜0，∴a ＞1.
令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，由x ＞0，得3x
＞1.
∴y ＝3x
－9x
的值域为(－∞，0)． ∴若命题q 为真，则a ≥0.
由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.
1．若p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则 ( )
A ．綈p ：∃x ∈R ，sin x >1
B ．綈p ：∀x ∈R ，sin x >1
C ．綈p ：∃x ∈R ，sin x ≥1
D ．綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 答案 A
解析 由于命题p 是全称命题，对于含有一个量词的全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ：∃x ∈M ，綈p (x )，故应选A.
2．下列命题中正确的是 ( )
A ．∃t ∈R ，使得2t
<t B ．∀x ∈R ，x 2
＋5x ＋254
>0
C ．∃a ∈R ，使直线ax ＋y －a －1＝0与圆x 2
＋y 2
＝2相切 D ．∀x ∈R ，x 3
＋x ＋1≠0 答案 C
解析 由指数函数的图像，可知y ＝2x
的图像在直线y ＝x 的上方，即原命题的否定∀t ∈R,2t
≥t 是正确的，故A 不正确；
由x 2＋5x ＋254＝(x ＋52)2，可知当x ＝－52时，x 2
＋5x ＋254＝0，不等式不成立，故B 不正
确；
因为直线ax ＋y －a －1＝0恒过点P (1,1)，而点P 在圆x 2
＋y 2
＝2上，所以存在实数a ，使直线ax ＋y －a －1＝0与圆x 2
＋y 2
＝2相切，故C 正确；
设f (x )＝x 3
＋x ＋1，f (－1)＝－1<0，f (0)＝1>0，故方程x 3
＋x ＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根，故D 不正确．故选C.
3．下列命题中正确的是
( )
A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题
B ．“x ＝5”是“x 2
－4x －5＝0”的充分不必要条件
C ．命题“若x <－1，则x 2
－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2
－2x －3≤0” D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2
＋x －1<0，则綈p ：∃x ∈R ，x 2
＋x －1≥0 答案 B
解析 若p ∨q 为真命题，则p 、q 有可能一真一假，此时p ∧q 为假命题，故A 错；易知由“x ＝5”可以得到“x 2
－4x －5＝0”，但反之不成立，故B 正确；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D 错．
4．下列命题的否定是真命题的是
( )
A ．有些实数的绝对值是正数
B ．所有平行四边形都不是菱形
C ．任意两个等边三角形都是相似的
D ．3是方程x 2
－9＝0的一个根 答案 B
5．(2018·沧州七校联考)已知命题p ：x 2
＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若綈q 且p 为
真，则x 的取值范围是________．
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时
x －2
x －3
<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2
＋2x －3>0，解得x >1或x <－3.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3.
所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3. 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．
6．(课本习题改编)分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断其真假．
(1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线相等； (2)p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a
a ，
b ，
c }；
(3)p ：不等式x 2
＋2x ＋2>1的解集是R ，q ：不等式x 2
＋2x ＋2≤1的解集为∅. 解析 (1)p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或相等，为真命题．
p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且相等，为假命题．
綈p ：菱形的对角线不垂直，为假命题． (2)p ∨q ：a ∈{a ，b ，c }或{a
a ，
b ，
c }，为真命题． p ∧q ：a ∈{a ，b ，c }且{a
a ，
b ，
c }，为真命题．
綈p ：a ∉{a ，b ，c }，为假命题．
(3)p ∨q ：不等式x 2
＋2x ＋2>1的解集为R 或x 2
＋2x ＋2≤1的解集为∅，为假命题．
p ∧q ：不等式x 2＋2x ＋2>1的解集为R 且x 2＋2x ＋2≤1的解集为∅，为假命题．
綈p ：不等式x 2
＋2x ＋2>1的解集不是R ，为真命题．。