2019-2020学年甘肃省兰州市兰大附中高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年甘肃省兰州市兰大附中高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．已知实数集R ,集合{}|13A x x =<<，集合|
B x y ⎧==
⎨⎩，
则A B =（ ） A ．{}|12x x <≤ B ．{}3|1x x << C ．{}|23x x <<
D ．{}|12x x <<
【答案】C
【解析】求函数的定义域求得集合B ，根据交集的概念和运算求得A B 的值.
【详解】
由题意得{}|2B x x =>，故{}|23A B x x =<<.
故选：C. 【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．在区间(,0)-∞上增函数的是（ ） A ．2y x = B ．6
y x
=
C ．y x =
D ．2y x =
【答案】A 【解析】【详解】
2y x =在区间(),0-∞上是增函数，6y x
=
没有增区间，y x =与2
y x =在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，故选A
3．不等式11023x x ⎛⎫⎛
⎫-->
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的解集为（ ）
A ．1
1|
3
2x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭ B ．1|2x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭
C ．1|3x x ⎧⎫<⎨⎬
⎩⎭
D ．11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩
⎭或
【答案】A
【解析】利用一元二次不等式的解法即可得出．
∵11023x x ⎛⎫⎛
⎫-->
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∴11023x x ⎛
⎫⎛⎫
-
- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
＜ 解得：1132x <<，即不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭的解集为1
1|3
2x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 故选：A 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题，易错点是忘记把二次项系数化“+”. 4．下列函数中，值域为[]0,1的是()
A ．2y x =
B ．1y x =+
C ．2
1
1
y x =
+ D ．y =【答案】D
【解析】求出每一个选项的函数的值域即得解. 【详解】
对于选项A,函数2
y x =的值域为[0+∞，），所以该选项不符；
对于选项B,函数1y x =+的值域为R ，所以该选项不符； 对于选项C,函数21
1
y x =
+的值域为
0,1]（，所以该选项不符；
对于选项D, 函数y =[0,1],所以该选项符合. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．1y x =-和21
1
x y x -=+
B ．0y x =和1y =
C ．()2
f x x =和()()2
1g x x =+
D ．()
2
f x x
=和
()()
2
x
g x =
【答案】D
【解析】根据同一函数的要求，定义域相同，对应法则相同，分别对四个选项进行判断，得到答案.
表示同一个函数，要求两个函数的定义域相同，对应法则相同，
选项A 中，1y x =-定义域为x ∈R ，21
1
x y x -=+定义域为()
(),11,-∞--+∞，故不
是同一函数，
选项B 中，0y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1y =定义域为x ∈R ，故不是同一函数，
选项C 中，()2
f x x =和()()2
1g x x =+对应法则不同，故不是同一函数，
选项D 中，()
2
f x x
=和
()()
2
x
g x =
定义域相同，都是()0,∞+，化简后
()()1,1f x g x ==，对应法则也相同，故是同一函数，
故选D 项. 【点睛】
本题考查对两个函数是否是同一函数的判断，属于简单题. 6．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()1
22
g x f x x =
+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3]
C ．[1,2)(2,4]⋃
D ．[1,2)(2,3]⋃
【答案】C
【解析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果. 【详解】
()1f x +Q 定义域为[]2,1- 112
x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2- 由题意得：20
122
x x -≠⎧⎨
-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤
()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4U
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，
7．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f
x g x ⋅是偶函数
【答案】D
【解析】逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。

【详解】
A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，
B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，
C ．f （-x ）•g （-x ）=-f （x ）•g （x ），则函数是奇函数，故C 错误，
D ．f （|-x|）•g （-x ）=f （|x|）•g （x ），则f （|x|）•g （x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．
8．已知函数()2
2,1
,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f a =，则a 的值（ ）
A ．3
B ．1
C
D
．【答案】C
【解析】分别令分段函数()f x 中的每一段解析式的函数值为3列方程，由此解得a 的值. 【详解】
由23,1a a +=≤-，得1a =（舍）；由23a =， 1a 2-<<，
得a =由23,2a a =≥得3
2
a =
（舍）
；综上a =故选：C. 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数的函数值求对应的自变量，属于基础题.
9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，x
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】代入特殊值2x =和1
2
x =后排除选项，得到正确答案. 【详解】
当2x =时，()2203f =-<，排除B,D ，当12x =时，12
023
f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，排除A,只有C 符合条件， 故选C. 【点睛】
本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力.
10．设f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f （﹣2），f （3），f （﹣π）的大小顺序是（ ） A ．f （3）＞f （﹣2）＞f （﹣π） B ．f （﹣π）＞f （﹣2）＞f （3） C ．f （﹣2）＞f （3）＞f （﹣π） D ．f （﹣π）＞f （3）＞f （﹣2） 【答案】D
【解析】因为f （x ）是R 上的偶函数，所以(2)(2),()()f f f f ππ-=-= ，因为()f x 在[0，+∞）上单调递增，所以()(3)(2)f f f π>> ，所以()(3)(2)f f f π->>- 。

故选D 。

11．若二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
f x f x -
A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】由已知可知，()f x 在()1
，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】
∵二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
∴()f x 在()1
，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a
=
， ∴0
1
12a a
<⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题. 12．已知()()2
372,1,1
a x a x f x ax x x ⎧-++<=⎨-+≥⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范
围为 （ ） A ．()0,3 B ．1
,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．2,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．2,39⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由已知()()1372f a x x a =-++，()2
2f a x x x =-+在各自的区间上均应是
减函数，且当1x =时，应有()()12f x f x ≥，求解即可． 【详解】
由已知，()()1372f a x x a =-++在()1-∞，
上单减， ∴30a -<，3a <①
()22f a x x x =-+在[)1,+∞上单调递减， ∴0
112a a
>⎧⎪
⎨≤⎪⎩，解得12a ≥②
且当1x =时，应有()()12f x f x ≥， 即811a a -≥-+，∴2
9a ≥
③， 由①②③得，a 的取值范围是1,32
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，故选B ． 【点睛】
本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证y 随x 的增大而减小．特别注意()1f x 的最小值大于等于()2f x 的最大值，属于中档题.
二、填空题 13．设集合，
，若A ＝B ，则
______
【答案】2
【解析】首先根据两集合相等，列出对应的方程组，求出参数的值之后再验证是否满足集合中元素的互异性，对所求的值进行相应的取舍，最后求得结果. 【详解】 因为
，若
，
则或，解得或，
当时，
不成立，
当时，
，满足条件，
所以
，故选C.
【点睛】
该题考查的是有关利用集合相等，求参数的值的问题，在解题的过程中，需要明确两集合相等的条件是两个集合中元素是完全相同的，得到相应的方程组，求出结果之后需要对所求结果进行验证，是否满足元素的互异性，从而求得结果. 14
．函数(f x _____． 【答案】（﹣∞，﹣3]．
【解析】由题意得260312x x x x ⎧+-≥⎪
⇒≤-⎨≤-
⎪⎩
，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．
点睛：1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
2．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f(x)(f(x)≠0)与y ＝－f(x)，y ＝
1
()
f x 单调性相反； (4)在公共定义域内，函数y ＝f(x)(f(x)≥0)与y
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
15．326x x ->+的解集为______ 【答案】()9,1--
【解析】将原不等式两边平方转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集. 【详解】
不等式左右两边平方可得()()2
2
326x x ->+，化简得：()()190x x ++<，解得
91x -<<-.
故答案为：()9,1--. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 16．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式()1()0x f x ->的解集________. 【答案】()
()3,01,3-
【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣3）＝0，结合函数的单调性分析可得f
（x ）＞0与f （x ）＜0的解集，又由（x ﹣1）f （x ）＞0⇒()100x f x -⎧⎨⎩＞＞或()100x f x -⎧⎨⎩
＜＜，分
【详解】
根据题意，f （x ）为奇函数且f （3）＝0，则f （﹣3）＝0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，则在（﹣∞，﹣3）上，f （x ）＞0，在（﹣3，0）上，f （x ）＜0，
又由f （x ）为奇函数，则在（0，3）上，f （x ）＞0，在（3，+∞）上，f （x ）＜0， 则f （x ）＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞），f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；
（x ﹣1）f （x ）＞0⇒()100x f x -⎧⎨⎩＞＞或()100x f x -⎧⎨⎩
＜＜，
分析可得：﹣1＜x ＜0或1＜x ＜3， 故不等式的解集为（﹣3，0）∪（1，3）； 故答案为（﹣3，0）∪（1，3）； 【点睛】
本题函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集，属于基础题
三、解答题
17．{}|26A x a x a =-<<-，105x B x
x ⎧⎫
+=<⎨⎬-⎩⎭
()1若4a =，求A
B ;
()2若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】()1{}
12A B x x ⋂=-<<；()2(],2-∞ 【解析】（1）解分式不等式求得集合B ，由此求得A
B .
（2）根据（1）中求得的集合B ，以及A B B ⋃=列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】
()1由1
05
x x +<-得15x -<<；当4a =时，{}42A x x =-<<；从而{}12A B x x ⋂=-<<
()2由于A B B ⋃=，
当A ≠∅时，得126526a a a a -≥-⎧⎪
-≤⎨⎪-<-⎩
无解.
综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】
本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数的取值范围. 18．已知函数()2
1x b
f x x +=+ 为奇函数． (1)求b 的值；
(2)用定义证明：函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数. 【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：(1)利用此奇函数的必要条件()00f ＝，求b 的值；（2）利用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数. 试题解析：
(1)∵函数()2
f x 1x b
x ＝++为定义在R 上的奇函数， ()00.f b ∴＝＝ (2)由(1)可得()2
1x
x x =+，下面证明函数()f x 在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明设211x x >>，
则有()()()()()()()()
2
212121211222112222222121212
1111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++， 因为211x x >>，所以 2110x +>， 2
210x +>， 120x x -<， 1210x x -<
()()(
)()
121222
12
10
11x x x x x x --∴
>++,
即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1，＋∞)上是减函数.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取12,x x ，并且12x x >（或
12x x <）；（2）作差：
12()()f x f x -，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子
符号为止）；（3）定号：判断
12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要
讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
（1）写出函数()f x 的解析式；
（2）若方程()f x a =恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩
…；（2）(1,1)-. 【解析】（1）设(,0)x ∈-∞，先求()f x -，再根据函数为奇函数，即可求出()f x （2）作出函数()f x 的图象，根据数形结合即可求出.
【详解】
（1）当 (,0)x ∈-∞时， (0,)x -∈+∞，
函数()f x 是奇函数，
22()()()2()2⎡⎤∴=--=----=--⎣⎦
f x f x x x x x ， 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-∴=⎨--<⎩
…． （2）作出函数()f x 的图象，如图所示，
根据图象，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则11a -<<，即实数a 的取值范围是 (1,1)-．
【点睛】
本题主要考查了利用奇函数求函数解析式，数形结合求参数取值范围，属于中档题. 20．()32f x x x =++-
()1求()f x 的值域；
()2求()f x 的单调增区间；
()3求()f x 的对称轴.
【答案】()1[)5,+∞；()2 ()2,+∞；()312
x =- 【解析】利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式.
（1）根据()f x 的解析式，求得()f x 的值域.
（2）根据()f x 的解析式，求得()f x 的增区间为
（3）结合对称性，根据322
x -+=
求得函数的对称轴. 【详解】
当2x >时，()21f x x =+；当32x -≤≤时，()5f x =；当3x <-时，()21f x x =--；故()21,25,3221,3x x f x x x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩
.
()1当2x >时，215x +>;当3x <-时，215x -->；从而()f x 的值域为[)5,+∞
()2由()21,25,3221,3x x f x x x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩
可知，()f x 的增区间为()2,+∞
()3由于21x +和21y x =--斜率互为相反数，而32122
x -+==-，故()f x 的对称轴为12
x =-. 【点睛】
本小题主要考查用分段函数表示含有绝对值函数，考查分段函数的单调性和值域，考查分段函数的对称性，属于基础题.
21．已知函数[]2()23,4,6f x x ax x =++∈-．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数；
（Ⅱ）当1a =-时，求()f x 的单调区间．
【答案】（Ⅰ）6a ≤-或4a ≥；（Ⅱ）增区间为[][]1,0,1,6-，减区间为[)(]
4,1,0,1--．
【解析】试题分析：（Ⅰ）函数()f x 的对称轴方程为x a =-，要使()y f x =在区间
[]4,6-上是单调函数，易得关于a 的不等式，从而求出实数a 的取值范围；（Ⅱ）把1a =-代入函数()f x ，去掉绝对值化为分段函数，再结合函数图象求得()f x 的单调区间．
试题解析：（Ⅰ）由数形结合分析知4a -≤-或6a -≥
∴6a ≤-或4a ≥
（Ⅱ）当1a =-时，()()22212,0()23{12,0
x x f x x x x x -+≥=-+=++< 结合函数图象分析知，增区间为[][]1,0,1,6-
减区间为[)(]
4,1,0,1--
【考点】1、二次函数的单调性；2、分段函数．
22．已知定义在R 上的函数()f x 满足：当0x >时，()1;f x >-且对任意,,x y R ∈都有()()() 1.f x y f x f y +=++
（1）求(0)f 的值，并证明()f x 是R 上的单调增函数.
（2）若(1)1,f =解关于x 的不等式2(5)(14) 4.f x x f x ++-> 【答案】（1）(0)1f =-，证明详见解析（2）(,2)(1,).x ∈-∞-+∞
【解析】（1）令0x y ==，代入()()() 1.f x y f x f y +=++即可解出(0)f 的值。

利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可。

（2）依次计算出(1)1
(2)3(3)5;f f f ===、、将2(5)(14)4f x x f x ++->等价变形为
2(5)(14)15f x x f x ++-+>，即2(1)(3)f x x f ++>，再利用单调性等价变形为213x x ++>，解出即可。

【详解】
（1）令0x y ==⇒(0)2(0)1(0)1;f f f =+⇒=-
任取1212,,,x x R x x ∈<则
[][]121211121121()()()()()()()1()1;f x f x f x f x x x f x f x x f x f x x -=--+=--++=---2121212121,0()1()1()10x x x x f x x f x x f x x >∴->⇒->-⇒--<⇒---<1212()()0()(),f x f x f x f x ⇒-<⇒<则可得证：()f x 是R 上的单调增函数. （2）(1)1(2)3(3)5;f f f =⇒=⇒=
2(5)(14)4f x x f x ++->⇒2(5)(14)15f x x f x ++-+>⇒2(1)(3)f x x f ++> 213x x ⇒++>220x x ⇒+->(2)(1)0x x ⇒+->2x ⇒<-或1x >， (,2)(1,).x ⇒∈-∞-⋃+∞
【点睛】
本题考查隐函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题。