2019-2020学年新疆昌吉州教育共同体高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年新疆昌吉州教育共同体高一上学期期末数学
试题
一、单选题
1．如果{}
2A x x =>-，那么（ ） A ．{}0A ⊆ B ．0A ⊆
C ．{}0A ∈
D ．A ∅∈
【答案】A
【解析】对各项表述判断是否正确后可得正确的选项. 【详解】
0为集合A 中的元素，{},0∅均为集合，它们不是A 中的元素，故B 、C 、D 均错误，
{}0是一个集合，它是A 的子集，故A 正确.
故选：A. 【点睛】
本题考查元素与集合以及集合与集合关系，前者用属于不属于来考虑，后者用包含不包含来考虑，本题为基础题.
2．下列哪个函数是奇函数（ ） A ．3y x x =+ B ．32y x x =+ C ．1
1
y x =
- D ．26y x =+
【答案】A
【解析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义进行判断. 【详解】
对于C 中的函数，其定义域为{}|1x x ≠，该定义域不关于原点对称，故1
1
y x =-不是奇函数.
A 、
B 、D 中的函数的定义域均为R ，它关于原点对称.
对于A 中的函数，令()3
f x x x =+，则()(
)3
f x x x f x -=--=-，故A 中的函数是
奇函数.
对于B 中的函数，令()3
2
g x x x =+，则()()10,12g g -==，
因为()()11g g -≠-，故B 中的函数不是奇函数.
对于D 中的函数，令()2
6h x x =+，则()060h =≠，故D 中的函数不是奇函数.
故选：A. 【点睛】
本题考查奇函数的判断，注意先考虑定义域是否关于原点对称，再依据定义进行判断，说明一个函数不是奇函数，只要举出反例即可. 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．()()1,01,0
,,1,01,0
x x f x g x x x ≥>⎧⎧==⎨⎨-<-≤⎩⎩ B ．()(),g x x f t ==
C ．y y =
=
D ．2
,y x y ==
【答案】B
【解析】根据函数的定义域和对应法则是否相同来判断两个函数是否为同一函数. 【详解】
对于A 中的两个函数，()()01,01f g ==-，两个函数的对应法则不一样， 故两个函数不是同一函数.
对于B 中的两个函数，()(),g x x f t t ==，两个函数的定义域和对应法则均相同，故这两个函数是同一函数.
对于C 中的两个函数，y =
的定义域为[)1,+∞，
y =(]
[),11,-∞-+∞，两个函数的定义域不同，
故两个函数不是相同函数.
对于D 中的两个函数，y x =的定义域为R ，而2
y =的定义域为[)0,+∞，
两个函数的定义域不同，故两个函数不是相同函数. 故选：B. 【点睛】
本题考查两个函数是否相同，注意从定义域、对应法则是否相同来判断，本题属于基础题. 4．函数243y x x =-+在区间[]1,1-上的最小值为（ ）
A ．8
B ．3
C ．0
D ．－1
【答案】C
【解析】依据二次函数图象的对称轴的位置来求函数的最小值. 【详解】
二次函数图象的对称轴方程为2x =，因为21>，
故243y x x =
-+在[]1,1-为减函数，故当1x =时函数取最小值，故min 0y =.
故选：C. 【点睛】
本题考查二次函数在给定范围上的最小值，一般地，依据开口方向和对称轴与给定区间的位置关系来求最值.本题为基础题.
5．函数()1
2
f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2
B ．()2,+∞
C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
【答案】C
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【详解】
由21020
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．
∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 6．设，
，则 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】先分析得到，再比较b,c 的大小关系得解.
【详解】 由题得
.
,
所以.
故选：D 【点睛】
本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．下列函数中,在区间(0,)+∞内单调递减的是（ ） A ．1
y x x
=
- B ．2y x x =- C ．ln y x = D ．x y e =
【答案】A
【解析】根据初等函数的性质和函数单调性的四则运算规则可得正确的选项. 【详解】
对于A 中的函数，1
y x
=为(0,)+∞上的减函数，y x =为(0,)+∞上的增函数， 所以1
y x x
=
-为(0,)+∞上的减函数，故A 正确. 对于B 中的函数，因为对称轴()1
0,2
x =∈+∞，
故2
y x x =-在(0,)+∞上有增有减，故B 错误. 对于C 中的函数，ln y x =为(0,)+∞上的增函数.
对于D 中的函数，x
y e =为(0,)+∞上的增函数，故C 、D 都是错误的. 故选：A. 【点睛】
本题考查具体函数的单调性，此类问题一般通过具体函数的单调性、复合函数的单调性的判断法则以及函数单调性的四则运算规则（即增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数）来判断，此类问题为基础题.
8．若1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-，则实数k 的值为 （ ） A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3
【答案】B
【解析】根据向量数量积展开，利用a b =0，()()2340a b ka b +-=化简求实数k
的值. 【详解】
因为,a b ⊥所以a b =0，
因为()()
234a b ka b +⊥-，所以()()2340a b
ka b +-=，
因此2
2
21202120, 6.ka b k k -=∴-==选B.
【点睛】
(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
2
1212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 9．函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的区间是（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,)+∞ 【答案】B
【解析】试题分析：
()()()
()()10,20,30230f f f f f <<>∴<，所以函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的区间是(2,3) 【考点】函数零点存在性定理
10．已知(1,2sin )a x =+，(2,cos )b x =，(1,2)c =-，()//a c b -，则锐角x 等于（ ） A ．15° B ．30°
C ．45°
D ．60°
【答案】C
【解析】求出a c -r r
的坐标，利用向量共线的坐标形式可得tan 1x =，从而得到锐角x 的值. 【详解】
()2,sin a c x -=，因为()//a c b -，故2sin 2cos x x =即sin cos x x =，
因为x 为锐角，所以cos 0x ≠，故tan 1x =，故45x =︒. 故选：C. 【点睛】
如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：
（1）若//a b r r
，则1221x y x y =；
（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.
11．要得到函数πsin(2)3
y x =+的图象，只需将函数sin2y x =的图象（ ） A ．向左平移
3
π
个单位
B ．向左平移6π
个单位 C ．向右平移3π
个单位
D ．向右平移6
π
个单位
【答案】B
【解析】试题分析：sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，因此只需将函数y = sin2x 的图象向左平移
6
π
个单位 【考点】三角函数图像平移
12．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于( ) A ．b ＋
12
a B ．
b －
12
a C ．a ＋
12
b D ．a －
12
b 【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD 为正方形，E 为CD 边的中点，
2BE BD BC BA AD BC ∴=+=++.
又因为2222BE AB AD b a =-+=-. 所以12
BE b a =-. 故选B.
二、填空题
13．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=__________．
【答案】
【解析】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =∴sin
5α=
=-，故答案
为5
-
14．若函数f （x ）=a x ﹣
1+2（其中a ＞0且a≠1）的图象经过定点P （m ，n ），则 m+n= ． 【答案】4
【解析】试题分析：当1=x 时，()3210
=+=a f ，即图象过定点()3,1，所以4=+n m ．
【考点】函数定点问题．
15．函数f(x)=cos2x-23sinxcosx 的最小正周期是__________． 【答案】π
【解析】试题分析：)6
2sin(22sin 32cos cos sin 322cos )(π
--=-=-=x x x x x x x f ，
∴ππ
==
2
2T ． 【考点】三角恒等变形，三角函数性质.
三、解答题
16．tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒=____________
【解析】试题分析：因为，
所以
，则tan20°
+tan40°tan40°
．
【考点】两角和的正切公式的灵活运用．
17．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===．求：
()(),,U U A B C A B C A B ⋃⋂⋂．
【答案】{}1,2,3,4A
B =，(){}4U
C A B ⋂=，(){}1,4,5U C A B ⋂=
【解析】利用集合的交、并、补的定义运算即可. 【详解】
因为{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，
所以{}1,2,3,4A
B =，
(){}{}{}4,52,3,44U C A B ⋂=⋂=，
{}2,3A B ⋂=，(){}1,4,5U C A B ⋂=. 【点睛】
本题考查集合的交、并、补，依据定义计算即可，本题属于基础题. 18．已知cosα=
17，cos （α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2
． （Ⅰ）求tan2α的值； （Ⅱ）求cosβ．
【答案】（1）；（2）12.
【解析】试题分析：
(1)由题意求得tan α=tan247
α=-
(2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ 1
2
= 试题解析：
（1）1cos tan 7αα=
⇒=22tan tan21tan 14847
ααα===--- （2）()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-
1131
7147142
=
⨯+⨯= 点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； ②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．
(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
19．已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求||a b +.
【答案】（1）23
π
θ=
；（2【解析】（1）由(23)(2)61a b a b -⋅+=得到6a b ⋅=-，又||4,||3a b ==代入夹角公式cos ||||
a b
a b θ⋅=
，求出cos θ的值；
（2）利用公式2||()a b a b +=+进行模的求值.
【详解】
（1）因为22
(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=，所以6a b ⋅=-， 因为61cos 43
2||||a b a b θ⋅-=
==-⋅，因为0θπ≤≤，所以23π
θ=. （2）2
2
2||()213a b a b a a b b +=+=+⋅+=.
【点睛】
本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意2
2||a a =之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.
20．已知函数2()sin cos cos (0)f x a x x x b a =⋅+
+> (1)写出函数的最小正周期；
(2)设[0]2
x ，π
∈，()f x 的最小值是2-，求实数,a b 的值．
【答案】（1）π；（2）2,2a b ==-.
【解析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得()sin 23f x a x b π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，利用最小正
周期的计算公式可得所求的最小正周期. （2）求出23
x π
-的范围后利用正弦函数的性质可求()f x 的最值，结合已知的最值可
求,a b 的值. 【详解】
（1）1cos 2()sin 222a x f x x b +=
++
1sin 22sin 223a x x b a x b π⎛⎫⎛
⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故()f x 的最小正周期为22
T π
π==. （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，22333x πππ-≤-≤，
故sin 2123x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝⎭，又0a >，
故sin 23b a x b a b π⎛
⎫+≤-+≤+ ⎪⎝
⎭，
所以2a b b ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩
，故22a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩【点睛】 形如()2
2sin
sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅
助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．
21．已知向量：(23sin ,cos sin ),(cos ,cos sin )a x x x b x x x =+=-，函数
()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的集合； （2）写出函数()y f x =的单调增区间. 【答案】（1）2，|,6x x k k Z π
π⎧
⎫=
+∈⎨⎬⎩
⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
. 【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算、降幂公式和辅助角公式可得
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，结合正弦函数的性质可得()f x 的最大值及取最大值时x 的集
合.
（2）利用正弦函数的单调性可求()f x 的增区间. 【详解】
（1）()()23(s )in
cos sin cos cos sin x x f x x x x a x b =⋅=++-
2cos 22sin 26π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭x x x ，
故()f x 的最大值为2，取最大值时22,62x k k Z π
π
π+=+∈即,6=+∈x k k Z π
π，
所以取最大值时自变量x 的取值集合为|,6x x k k Z ππ⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩⎭. （2）令222,262k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈， 解得,36k x k k Z ππππ-
≤≤+∈，故()f x 的增区间为：,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
22．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)确定函数()f x 的解析式；
(2)用定义证明函数()f x 在区间()1,1-上是增函数；
(3)解不等式()()10f t f t -+<.
【答案】（1）2
()(11)1x f x x x =-<<+；（2）详见解析；（3）1(0,)2. 【解析】（1）由奇函数得(0)0f =，求得b ，再由已知，得到方程，解出a ，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式(1)()0f t f t -+<即为
(1)()()f t f t f t -<-=-，
得到不等式组，解出即可．
【详解】
（1）解：函数2()1ax b f x x
+=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 则(0)0f =，即有0b =，
且12()25f =，则1221514
a =+，解得，1a =， 则函数()f x 的解析式：2
()(11)1x f x x x =-<<+；满足奇函数 （2）证明：设11m n -<<<，则22()()11m n f m f n m n -=
-++ 22()(1)(1)(1)
m n mn m n --=++，由于11m n -<<<，则0m n -<，1mn <，即10mn ->， 22(1)(1)0m n ++>，则有()()0f m f n -<，
则()f x 在(1,1)-上是增函数；
（3）解：由于奇函数()f x 在(1,1)-上是增函数，
则不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t -<-=-，
即有111111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解得021112
t t t ⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩， 则有102
t <<
， 即解集为1(0,)2． 【点睛】
本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．。