湖南省永州市祁阳县高三数学10月月考试题 文-人教版高三全册数学试题

某某省永州市祁阳县2018届高三数学10月月考试题 文
时量:120分钟分值:150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设0>x ,若()2
i x +是纯虚数（其中i 为虚数单位）,则=x （ ）
A.1±
B.2
C.-1
D.1
2.设集合{}
Z n n n x x A ∈≤≤-==且,51,12,{}12,9,6,3,0=B ,则B A =（ ）
A.{}9,5,2
B.{}9,3
C.{
}9,7,5,3,1 D. {}912,7,6,5,3,1,0 3. 设x ∈R ，则“x >1”是“x 2
+x -2>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.下列函数既是偶函数又在区间()+∞,0上单调递减的函数为（ ） A.x
y 1ln
= B.3x y = C.2
x y = D.2x y = 5.设不等式组⎩⎨
⎧≤≤-≤≤-2
22
2y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一
个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.π4
B.π－22
C.π6
D.4－π4
6.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如右图所示，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( ) A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53
7. 下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（ ）
A.15
B. 31
C.63
D. 127
8. 已知在等比数列{}n a 中,2
3654a a a =,若1002008=a ,则=2018a （ ）
A.200
B.400
C.2012
D.1600
9.下列命题正确的是（ ）
A.若0,1<>>c b a ，则c
c
b a > B.若,b a >则2
2
b a >
C.11,000=+
∈∃x x R x D.若0,0>>b a 且1=+b a ，则b
a 1
1+的最小值为4. 10. 若x ，y 满足,2220⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥--≥+≤-y x y x y x 则y x Z 32-=的最大值是( )
A ．1
B ．4
C ．－1
D ．－4
11.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
()()()()⎩⎨
⎧>≤=K
x f K K x f x f x f K ,,,取函数()2x
f x -=。

当K =12时，函数()k f x 的单调递增区间为 （ ）
A.(,0)-∞
B.(0,)+∞
C.(,1)-∞-
D.(1,)+∞ 12. 给出以下数对序列： (1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …
记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝() A.(m ，n －m ＋1)B.(m －1，n －m )C.(m －1，n －m ＋1)D.(m ，n －m )
二 、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号
后的横线上。

13.设R x ∈，向量()1,x a =，()2,1-=b ，且b a ⊥，则=x _________. 14.
函数1ln(1)y x
=++的定义域为_____________. 15. 若⎪⎭⎫
⎝⎛∈ππα,2，714tan =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πα，则αcos =____________.
16.设函数(),ln 22
3
x mx ex x x f -+-= 记()(),x
x f x g =
若函数()x g 至少存在一个零点，
则实数m 的取值X 围是________________________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（满分10分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,2sin 3sin .a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；
(2)若2a ABC =∆，求的面积．
18（满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[)[)[]150,140,,110,100,100,90 后得到如右部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图；并估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）用分层抽样的方法在分数段为[)130,110的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[)130,120内的概率.
19（满分12分） 设函数()()0cos sin sin 32
3
2>--=
ωωωωx x x x f ，且()x f y =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π. (1)求ω的值； (2)求()x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡23,
ππ上的最大值和最小值．
20（满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影
响．对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到右面的散点图及一些统计量的值．
表中i i x =ω，∑==8
1
81i i
ωω
(1)根据散点图判断，bx a y +=
与x d c y +=哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与y x ,的关系为x y z -=2.0.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据()11,v u ，()22,v u …，()n n v u ,，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为 21（满分12分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，
满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．
(1) 证明：2a =(2)设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n a a 前n 项和为n T ，求n T 。

22（满分12分）
已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值X 围.
祁阳一中2018届高三（文科）数学月考试题答卷
【考生注意】
务必将自己的班次、某某、考号及各题答案写在相应答题卷上，否则不予以记分。

一、选择题：（60分）
◆◆◆◆题◆◆◆◆◆◆
13、 ___________ 14、 _______
15、________________ 16、__________________.
三、解答题（共6小题，共计70分）
◆◆题◆◆◆◆◆◆
参考答案
1—6 DBAAD A 7—12 CDDACA 13.2 14. (]0,1 15.54-
16.⎥⎦⎤ ⎝
⎛+∞-e e 1,2
17. ⑴因为2sin 3sin B A =，所以23b a =．…………………………………1分 所以23
b
a =
．…………………………………………………………………………2分 所以2
22222
2(
)3
3cos 22323
b b b a
c b B b ac b +-+-===
⨯⋅…………………………………5分 ⑵因为2a =，所以3b c ==
．………………………………………………………7分
又因为3cos 3B =
，所以6sin 3
B =．…………………………………………………9分 所以23
63221sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ………………………………………10分
18. （1）分数在[120，130）内的频率1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3， 因此补充的长方形的高为0.03。

估计平均分为
（2）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2， 用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本， 需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a ，b ，c ，d ；
设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件共有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ）,（c ，d ）}，共15个．
事件A 包含的基本事件有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）}共9个． ∴()5
3159==A p
19.(1)f (x )＝
32
－3sin 2
ωx －sin ωx cos ωx ＝
32－3·1－cos 2ωx 2－12
sin 2ωx ＝
32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π
4，因此ω
＝1.5分
(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分
当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π
3，
所以－
32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分
故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分
20.(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
686.18.10881281==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑=-=--∧i i i i i y y d
ωωωω -∧-
∧-=ωd y c ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为∧y ＝100.6＋68w ，
因此y 关于x 的回归方程为∧y ＝100.6＋68x.
(3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值∧y ＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z 的预报值∧z =576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 ∧
z ＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62
＝6.8，即x ＝46.24时，∧z 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
21. （1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+
，20n a a >∴=
（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--
()2
221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514,,a a a 构成等比数列，25
214a a a ∴=⋅，()()2
222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴= 21312a a -=-=∴{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.
1
2121121121121513131121+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
n n n n n T n 22. （I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1--
>+a x x x 令(1)()ln 1
-=-+a x g x x x ， 则222122(1)1(),(1)0(1)(1)
+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ， 故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-x a x a ， 由21>x 和121=x x 得11<x ，
故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x . 综上，a 的取值X 围是(],2.-∞。