陕西省洛南中学高三第八次模拟考试数学(文)试题

洛南中学高三第八次模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|20}B x x x =->，则A B =（ ）
A ． {3}
B ．{2,3}
C ．{1,3}-
D ．{1,2,3}
2. 在复平面内，复数11i i
++所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3. 将函数sin()6y x π
=+的图像上所有的点向左平移4
π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）
A ．5sin(2)12y x π=+
B ．5sin()212
x y π=+ C ．sin()212x y π=- D ．5sin()224x y π=+ 4. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）
A ．4
B ．2 C. 1:8 D ．1:16
5. 若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
122x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．4 B ．2 C. -2 D ．-4
6. 直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）
A ．1
B ．2 C. ．4
7. 某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是32
，则主视图主视图左视图中x 的值是（ ）
A ．2
B ．92 C. 32
D ．3 8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率，如下图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（ ）
1.732=，sin150.2588≈，sin 7.50.1305≈.
A ．12
B ．24 C. 48 D ．96
9. 函数2()1f x nx x =+-(0,)bx a b a R +>∈的图像在点(())bf b 处的切线斜率的最小值是（ ）
A ．．2
10. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
A ．110
B ．18 C. 16 D ．15
11. 函数1(3)2(0a y og x a =-+>且1)a ≠过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin 2cos 2αα+的值为（ ）
A ．75
B ．65
C. 4 D ．5 12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当(1,3]x ∈-时，
()f x
=(1,1](1|2|),(1,3]
x t x x ∈---∈-⎪⎩，其中0t >，若方程()3x f x =恰有3个不同的实数根，则t 的取值范围为（ ）
A ．4
(0,)3 B ．2(,2)3 C. 4(,3)3 D ．2(,)3
+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小題5分，共20分。

将答案填写在答题卡的相应位置)
13. 已知||||a b a b +=-，那么向量a 与向量b 的关系是 ．
14. 若不等式组0133x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域为D ，若直线2(2)y a x -=+与D 有公共点，则a 的取值
范围 ．
15. 有一个游戏将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有3的卡片;乙说:甲或丙拿到标有2的卡片;丙说:标有1的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有3的卡片。

结果显示:这4人的预测都不正确，那么甲、乙丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为 、 、 、 .
16. 已知ABC ∆的顶点(3,0)A -和顶点(3,0)B ，顶点C 在椭圆22
12516
x y +=上，则5sin sin sin C A B
=+ ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知数列{}n a 中， 3235,14a a a =+=，且122,2
,2n n n a a a ++成等比数列，
(I)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n b 满足(1)n n n b a n =--，数列{}n b 的前项和为n T 求21T .
18. 根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区 2.5PM 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 2.5PM 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天 2.5PM 的24小时平均浓度的监测数据数据统计如下:
(I)从样本中 2.5PM 的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天求恰好有一天 2.5PM 的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
(Ⅱ)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 2.5PM 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
19. 如图<1>:在直角梯形ABCD 中， AD BC ∥， 90ABC ∠=， 2AB BC ==， 6AD =， CE AD ⊥
于E 点，把DEC ∆沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=如图<2>:若G ，H 分别为,D B D E ''的中点.
(I)求证: GH D A '⊥；
(Ⅱ)求三棱锥C D BE '-的体积.
20. 如图已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，以椭圆的左顶点T 为圆心作 圆22:(2)T x y ++= 2(0)r r >，设圆T 与椭圆C 交于点,M N .
(I)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程.
21. 已知2()3f x x =--，()21n g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行.
(I)求函数()g x 在(1,(1))g 处的切线方程；
(Ⅱ)当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围 .
请考生在22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方
程为2cos 2sin p θθ=，它在点)4M π处的切线为直线l .
(I)求直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点P 为椭圆22
134
x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的取值范围.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数()|21|,f x x x R =-∈.
(I)解不等式()||1f x x <+；
(Ⅱ)若对于,x y R ∈，有1|1|3x y --≤，1|21|6
y +≤，求证()1f x <.
数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5:CABCA 6-10: DCBDD 11、12：AB
二、填空题
13. a b ⊥，或 0a b ⋅= 14. 21[,]32
- 15.4、2、1、3 16.3 三、解答题
17. 解析:(I) 122,2,2n n n a a a ++成等比数列122(2)22n n n a a a ++∴=⋅122n n n a a a ++∴=+，
12,,n n n a a a ++∴成等差数列，
由3265,14a a a =+=，得11,2a d ==，
21n a n ∴=- .
(Ⅱ) 21(1)n n b n n ∴=---；
2112s b b =+++2112312b a a a =++-+21213(1)a ++
+--， 21123(s a a a ∴=+++
21)(12a ++-+3421)-++， 1212112
a a s +∴=+110452+⨯=. 18. 解析:(1)设 2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为123,,A A A ，
2.5PM 的24小时平均浓度在(75，100)内的两天记为12,B B ，
所以5天任取2天的情况有: 12131112,,,A A A A A B A B ，232122,,A A A B A B ，313212,,A B A B B B 共10种. 其中符合条件的有: 111221,,A B A B A B ，223132,,A B A B A B 共6种. 所以所求的概率63105
p ==. (Ⅱ)去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：
1.250.1537.50.6⨯+⨯6
2.50.1587.5+⨯+0.142.5⨯= (微克/立方米).
因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.
19.
解析:(1) ∆在ADE 中4AD D E ''==，2AE = D A AE '∴⊥
,EC AE EC D E '⊥⊥，AE
D E E '=
EC ∴⊥面D AE '，
AB EC ∥ AB ∴⊥面D AE '，AB D A '∴⊥
AE AB A =
D A '∴⊥面ABCD
又BE 在平面ABCD 内， D A BE '∴⊥
,G H 分别为,D B D E ''的中点，连接BE
GH BE D A GH '∴∴⊥∥
(Ⅱ)由(1)得D A '⊥面ABCD
1
3C D BE D CBE V V AD ''--'==1 3BCE S ∆⋅=⨯122⨯⨯=
20. 解析:(I)根据题意可得2,c a e a ==
=
所以c =
1b =，
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=. (Ⅱ)因为点M 与点N 关于x 轴对称，所以设1121(,),(,)M x y N x y -，不妨设10y >.
由于点M 在椭圆C 上，所以22
11
14x y =- 由(2,0)T -，得11(2,)TM x y =+，11(2,)TN x y =+-，
所以11(2,)TM TN x y ⋅=+2111 (2,)(2)x y x ⋅+-=+22
2
111(2)(1)4x y x -=+-- 2115434x x =
++21581()455
x =+-. 由于22x -<<，故当185x =-时， TM TN ⋅取得最小值为15
-. 此时135y =，故83(,)55M -，又因为点M 在圆T 上，代入圆的方程可得21325
r =. 故圆的方程为2213(2)25x y ++=. 21. 解析:(I) ()2f x x '=-，()21n 2g x x a '=+-
因为函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行
所以(1)(1)f g ''=解得4a =
所以(1)4,(1)2g g '=-=-
所以函数()g x 在(1,(1))g 处的切线方程为220x y ++=.
（Ⅱ)解当(0,)x ∈+∞时，由()()0g x f x -≥恒成立得
(0,)x ∈+∞时， 221n 30x ax x -++≥即321n a x x x
≤++恒成立 设3()21n (0)h x x x x x
=++>， 则22
23()x x h x x +-'=2(3)(1)x x x +-=， 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，
当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增，
所以min ()(1)4h x h ==，
所以a 的取值范围为(,4]-∞.
22. 解:(I) 曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin p θθ=，
22cos 2sin p p θθ∴=，曲线C 的直角坐标方程为212y x =
，
又)4M π
的直角坐标为为(2,2)，
2|2x y x k y =''=∴==
∴曲线C 在点(2,2)处的切线方程为22(2)y x -=⨯-，
即直线l 的直角坐标方程为220x y --=.
(Ⅱ) P 为椭圆22
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x y +=
上一点，设,2sin )P αα， 则P 到直线l
的距离d
=|4sin()2|πα-+= 当1sin()32
πα-=-时，d 有最小值0. 当sin()13πα-=时，d
. P ∴到直线l
的距离的取值范围为. 23.解:(1) ()||1f x x <+|21|||1x x ∴-<+ 即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩或102121x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩
或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 解得122x ≤<或102
x <<或∅ 故不等式解集为{|02}x x <<
(Ⅱ) ()|21||2(f x x x =-=1)(21)|y y --++
|2(1)||(21)|x y y ≤--++2|(1)||(21)|x y y =--++11521366
≤⨯+=<.。