【2024版】高中数学新教材选择性必修第一册第二章《2
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答案
几何方法判断圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则 (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.
解析答案
类型二 切线问题 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求： (1)此切线的方程；
解析答案
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).
设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
1＋ 15 1－ 15 1－ 15 1＋ 15 解得 A( 2 ， 2 )，B( 2 ， 2 ).
∴|AB|＝
1－ 2
15 1＋ －2
152＋1＋2
15 1－ －2
152＝
30.
解析答案
方法二 (弦长公式) 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 由xx＋ 2＋yy－2＝1＝8，0， 消去y，得2x2－2x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－27. ∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
得 b＝±2 5.
解析答案
类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
解析 方法一 (交点法) 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 由xx＋2＋yy－2＝1＝8，0，
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
答案
返回
类型一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交； (2)相切； (3)相离.
返回
第二章 2.5.2圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类； 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利 用上述方法判定两圆的位置关系； 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
问题导学
知识点 两圆位置关系的判定
思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位 置关系？ 答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、 内含.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
(2)其切线长. 解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B， 则△ABC为直角三角形， |AC|＝ 3－42＋1＋32＝ 17，又|BC|＝r＝1， 则|AB|＝ |AC|2－|BC|2＝ 172－12＝4，
∴切线长为4.
反思与感悟
解析答案
A.∅
B.(1,1)
C.{(1,1)}
D.{(－1，－1)}
解析 解方程组xx2＋＋yy＝2＝2.2， 得xy＝＝11，.
解析答案
1 23 4
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( C )
A.0或2
B.0或4
C.2
D.4
解析 圆心到直线的距离等于半径 m，
即|m2|＝ m，
解得m＝2或m＝0(应舍去).
反思与感悟
解析答案
解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半， 在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×4 5＝2 5.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可 能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定 理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用 根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点 间的距离公式求解，此法是通法.
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4， 即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.
解析答案
(2)过点P(－ 3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角 α的取值范围是__0_°__≤__α_≤__6_0_°____. 解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点， 故可设直线 y＋1＝k(x＋ 3)， 即 kx－y＋ 3k－1＝0，
| 3k－1| 圆心到直线的距离 k2＋1 ≤1， 解得 0≤k≤ 3， 即 0≤tan α≤ 3 ∴0°≤α≤60°.
＝ 1＋1· 12＋4·72
＝ 30.
解析答案
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心
O(0,0)到直线
l
的距离是
|－1| d＝ 2 ＝
22，
则有|AB|＝2 r2－d2＝2 8－21＝ 30.
答案 30
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
＝ 1＋k2x1－x22
＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝
1＋k2[100kk22＋11－2k2－4·25kk2＋k－12]
＝4 5，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝1 或k＝2，均符合题意.
2 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8. (1)证明直线l与圆相交； 证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0， 直线l可化为y－2＝k(x＋1)， ∴直线l经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C内， ∴直线l与圆相交.
解析答案
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.
解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)， 又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， ∵kOP＝－2， ∴kl＝12， ∴直线 l：y－2＝12(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 设直线l与圆交于A、B两点， |AB|＝2 r2－|OP|2＝2 8－5＝2 3. ∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0，弦长为 2 3.
解析答案
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达标检测
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心到直线的距离 d＝ 11＋1＝ 22<1， 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.
1 23 4
解析答案
1 23 4
2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( C )
跟踪训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值
是( D )
A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12
D.2或12
解析 圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
|7－b| 圆心(1,1)到直线 3x＋4y－b＝0 的距离为 5 ＝1， 得b＝2或12，故选D.
(3)当直线和圆相离时，Δ<0，即
k<－
42或
k>
2 4.
解析答案
方法二
|0－0－3k| (几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝ k2＋1 ＝
3|k| k2＋1.
由条件知，圆的半径为r＝1.
(1)当直线与圆相交时，d<r，
即
k32|k＋| 1<1，得－
2 4 <k<
2 4.
(2)当直线与圆相切时，d＝r y ＝ kx ＋ 3 与 圆 (x － 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 相 交 于 M ， N 两 点 ， 且 |MN|≥2 3 ，则k的取值范围是_(_－__∞__，__0_]_. 解析 因为|MN|≥2 3， 所以圆心(1,2)到直线 y＝kx＋3 的距离不大于 22－ 32＝1，
由yx－2＋5y＝2＝k2x5－，5， 消去 y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，
10k1－k
25kk－2
又因为 x1＋x2＝－ k2＋1 ，x1x2＝ k2＋1 ，
反思与感悟
解析答案
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2). 所以|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
解
方法一
(代数法)联立
y＝kx－3k， x2＋y2＝1，
消去y，
整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.
Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)
＝－32k2＋4＝4(1－8k2).
(1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－
2 4 <k<
2 4.
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝± 2 . 4
|3k－1－3－4k|
所以
k2＋1 ＝1，即|k＋4|＝
k2＋1，
所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
∴|OH|＝ |OA|2－|AH|2＝ 解得 k＝12或 k＝2.
5， ∴|5k12－＋k1|＝
5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟
解析答案
方法二 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点，
第二章 2.5.1直线与圆的位置关系
学习目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 公共点个数
即
k32|k＋| 1＝1，得
k＝±
2 4.
(3)当直线与圆相离时，d>r，
即
k32|k＋| 1>1，得
k<－
42或
k>
2 4.
反思与感悟
跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( C )
A.相交
B.相离
C.相交或相切
D.相切
解析 由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)， 而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C.
几何方法判断圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则 (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.
解析答案
类型二 切线问题 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求： (1)此切线的方程；
解析答案
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).
设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
1＋ 15 1－ 15 1－ 15 1＋ 15 解得 A( 2 ， 2 )，B( 2 ， 2 ).
∴|AB|＝
1－ 2
15 1＋ －2
152＋1＋2
15 1－ －2
152＝
30.
解析答案
方法二 (弦长公式) 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 由xx＋ 2＋yy－2＝1＝8，0， 消去y，得2x2－2x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－27. ∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
得 b＝±2 5.
解析答案
类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
解析 方法一 (交点法) 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 由xx＋2＋yy－2＝1＝8，0，
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
答案
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类型一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交； (2)相切； (3)相离.
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第二章 2.5.2圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类； 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利 用上述方法判定两圆的位置关系； 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
问题导学
知识点 两圆位置关系的判定
思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位 置关系？ 答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、 内含.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
(2)其切线长. 解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B， 则△ABC为直角三角形， |AC|＝ 3－42＋1＋32＝ 17，又|BC|＝r＝1， 则|AB|＝ |AC|2－|BC|2＝ 172－12＝4，
∴切线长为4.
反思与感悟
解析答案
A.∅
B.(1,1)
C.{(1,1)}
D.{(－1，－1)}
解析 解方程组xx2＋＋yy＝2＝2.2， 得xy＝＝11，.
解析答案
1 23 4
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( C )
A.0或2
B.0或4
C.2
D.4
解析 圆心到直线的距离等于半径 m，
即|m2|＝ m，
解得m＝2或m＝0(应舍去).
反思与感悟
解析答案
解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半， 在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×4 5＝2 5.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可 能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定 理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用 根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点 间的距离公式求解，此法是通法.
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4， 即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.
解析答案
(2)过点P(－ 3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角 α的取值范围是__0_°__≤__α_≤__6_0_°____. 解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点， 故可设直线 y＋1＝k(x＋ 3)， 即 kx－y＋ 3k－1＝0，
| 3k－1| 圆心到直线的距离 k2＋1 ≤1， 解得 0≤k≤ 3， 即 0≤tan α≤ 3 ∴0°≤α≤60°.
＝ 1＋1· 12＋4·72
＝ 30.
解析答案
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心
O(0,0)到直线
l
的距离是
|－1| d＝ 2 ＝
22，
则有|AB|＝2 r2－d2＝2 8－21＝ 30.
答案 30
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
＝ 1＋k2x1－x22
＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝
1＋k2[100kk22＋11－2k2－4·25kk2＋k－12]
＝4 5，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝1 或k＝2，均符合题意.
2 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8. (1)证明直线l与圆相交； 证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0， 直线l可化为y－2＝k(x＋1)， ∴直线l经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C内， ∴直线l与圆相交.
解析答案
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.
解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)， 又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， ∵kOP＝－2， ∴kl＝12， ∴直线 l：y－2＝12(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 设直线l与圆交于A、B两点， |AB|＝2 r2－|OP|2＝2 8－5＝2 3. ∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0，弦长为 2 3.
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1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心到直线的距离 d＝ 11＋1＝ 22<1， 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.
1 23 4
解析答案
1 23 4
2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( C )
跟踪训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值
是( D )
A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12
D.2或12
解析 圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
|7－b| 圆心(1,1)到直线 3x＋4y－b＝0 的距离为 5 ＝1， 得b＝2或12，故选D.
(3)当直线和圆相离时，Δ<0，即
k<－
42或
k>
2 4.
解析答案
方法二
|0－0－3k| (几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝ k2＋1 ＝
3|k| k2＋1.
由条件知，圆的半径为r＝1.
(1)当直线与圆相交时，d<r，
即
k32|k＋| 1<1，得－
2 4 <k<
2 4.
(2)当直线与圆相切时，d＝r y ＝ kx ＋ 3 与 圆 (x － 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 相 交 于 M ， N 两 点 ， 且 |MN|≥2 3 ，则k的取值范围是_(_－__∞__，__0_]_. 解析 因为|MN|≥2 3， 所以圆心(1,2)到直线 y＝kx＋3 的距离不大于 22－ 32＝1，
由yx－2＋5y＝2＝k2x5－，5， 消去 y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，
10k1－k
25kk－2
又因为 x1＋x2＝－ k2＋1 ，x1x2＝ k2＋1 ，
反思与感悟
解析答案
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2). 所以|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
解
方法一
(代数法)联立
y＝kx－3k， x2＋y2＝1，
消去y，
整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.
Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)
＝－32k2＋4＝4(1－8k2).
(1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－
2 4 <k<
2 4.
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝± 2 . 4
|3k－1－3－4k|
所以
k2＋1 ＝1，即|k＋4|＝
k2＋1，
所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
∴|OH|＝ |OA|2－|AH|2＝ 解得 k＝12或 k＝2.
5， ∴|5k12－＋k1|＝
5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟
解析答案
方法二 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点，
第二章 2.5.1直线与圆的位置关系
学习目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 公共点个数
即
k32|k＋| 1＝1，得
k＝±
2 4.
(3)当直线与圆相离时，d>r，
即
k32|k＋| 1>1，得
k<－
42或
k>
2 4.
反思与感悟
跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( C )
A.相交
B.相离
C.相交或相切
D.相切
解析 由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)， 而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C.