【优化方案】高考数学一轮复习 10

跟踪训练
1．在区间[－π2，π2]上随机取一个 x，sin x 的值介于－12与12 之间的概率为( )
1
2
A.3
B.π
C.12
D.23
解析：选 A.所求概率为π2π6－－－－π2π6＝13，故选 A.
考点 2 与面积有关的几何概型
例2 (2011·高考福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 E 为
【答案】
4 5
【题后感悟】 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考 察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围 在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般 用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于 其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对 的弧长(曲线长)之比．
A.16
B.13
C.23
D.45
解析：选 C.设 AC＝x，则 BC＝12－x，
所以 x(12－x)＝20，解得 x＝2 或 x＝10.
故 P＝12－122－2＝23.
空白部分面积 S1＝π4＋12×1×1－π4－12×1×1＝1，所以整
体图形中空白部分面积 S2＝2.又因为 S 扇形 OAB＝14×π×22＝ π，所以阴影部分面积为 S3＝π－2. 所以 P＝π－π 2＝1－2π.
法二：连接 AB，由 S 弓形 AC＝S 弓形 BC＝S 弓形 OC 可求出空白部分 面积． 设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，令 OA＝2. 如图，连接 AB,由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC＝S 弓形 BC＝S 弓形 OC， 所以 S 空白＝S△OAB＝12×2×2＝2. 又因为 S 扇形 OAB＝14×π×22＝π， 所以 S 阴影＝π－2. 所以 P＝S扇S形阴O影AB＝π－π 2＝1－2π.
将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘 同一班车，必须满足 7≤x≤713，7≤y≤713；713≤x≤723，713 ≤y≤723；723≤x≤8,723≤y≤8， 即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内， 所以由几何概型的计算公式得，P＝1312×2 3＝13， 即甲、乙乘同一车的概率为13.
B.
2 2π
D.16π
答案：D
4．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大 于1的概率是________．
解析：区域 D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间 的长度分别为 5,2，故所求概率 P＝25. 答案：25
5．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中 取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________.
方法感悟
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识， 它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测 度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 2．两种常见的几何概型 (1)线型几何概型：基本事件只受一个连续的变量控制．
(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般 是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.
为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时看见的是
红灯的概率是( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选 B.以时间的长短进行度量，故 P＝3705＝25.
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，△EBC 为正三角形．若向 正方形 ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率 为( )
跟踪训练 2．(2012·高考湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A．1－2π B.12－1π
2 C.π D.1π
解析：选 A.法一：设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交 于点 C，OA 的中点为 D，如图，连接 OC，DC.不妨令 OA ＝OB＝2，则 OD＝DA＝DC＝1.在以 OA 为直径的半圆中，
第6课时 几何概型
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考纲展示
备考指南
1.了解随机数的意 义，能运用模拟方 法估计概率． 2.了解几何概型的 意义.
1.重点考查对几何概型的理 解，在复习时要注意与线 性规划、不等式的解集、 方程的根所在的区间等的 结合问题. 2.以选择题、填空题的形式 呈现，属中、低档题.
本节目录
思考探究 古典概型与几何概型的区别是什么？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是 相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要 求基本事件有无限个．
2．几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积
课前热身
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间
解析：P＝02.1＝210＝0.05. 答案：0.05
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/172022/1/172022/1/172022/1/17
考点3 几何概型的综合应用 例3 设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，
将线段AB分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可 以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可 以构成三角形的概率．
【解】 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条 线段的长度所有可能情况是 1,1,4；1,2,3；2,2,2，共 3 种情 况，其中只有三条线段长为 2,2,2 时，能构成三角形，故构
3 A. 2
3 B. 4
1
1
C.2
D.4
解析：选 B.正方形的面积为 4，S△EBC＝12×2×2×sin 60°＝ 3，
所以质点落在△EBC
内的概率为
3 4.
3．在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P，则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为( )Βιβλιοθήκη A.2 2C.16
【答案】 D 【感悟提高】 本题利用了转化思想，点到坐标原点的距 离大于2就是圆x2＋y2＝4外的点，从而把问题转化为平面 问题，利用面积比求其概率．
跟踪训练
4．(2012·高考辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，
现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形
面积大于 20 cm2 的概率为( )
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的_长__度__(_面__积__或__体__积__)__成比例，则称这样的概率模型为几 何概率模型，简称几何概型． (2)特点： ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 __无__限__多____个． ②等可能性：每个基本事件出现的可能性_相__等____．
跟踪训练 3．甲、乙两人约定上午7∶00到8∶00之间到某站乘公共汽 车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为 7∶20，7∶40,8∶00，如果他们约定，见车就乘，求甲、 乙乘同一车的概率． 解：设甲到达汽车站的时刻为x,乙到达汽车站的时刻为y， 则7≤x≤8,7≤y≤8,即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y) 所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正 方形.
y＋6－x－y>x
x＋y>3 即0<x<3 ，
0<y<3
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知，所求概率为 P＝SS△△DAEOFB＝14.
【题后感悟】 (1)解答此类问题，判断所求概率模型的类型 是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性． (2)对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部 结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时 常常与线性规划问题联系在一起．
成三角形的概率为 P＝13. (2)设其中两条线段长度分别为 x，y，则第三条线段长度为 6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为
0<x<6
0<x<6
0<y<6
，即0<y<6
，
0<6－x－y<6
0<x＋y<6
所表示的平面区域为△OAB.
若三条线段 x，y,6－x－y 能构成三角形，
x＋y>6－x－y 则还要满足x＋6－x－y>y ，
目录
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 与长度有关的几何概型 例1 在集合 A＝{m|关于 x 的方程 x2＋mx＋34m＋1＝0 无实根}中随机地取一元素 m，恰使式子 lg m 有意义的概 率为________．
【解析】 由 Δ＝m2－434m＋1＜0，得－1＜m＜4，
即 A＝{m|－1＜m＜4}． 由 lg m 有意义知 m＞0，即使 lg m 有意义的范围是(0,4)， 故所求概率为 P＝4－4－－01＝45.
边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则
点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A.14
B.13
C.12
D.23
【解析】
点
Q
取自△ ABE
内 部 的 概 率 为 S△ABE ＝ S矩形ABCD
12|·A|ABB|·||·A|ADD| |＝12.故选 C.
【答案】 C 【题后感悟】 几何概型的概率计算公式中的“测度”，既 包含面积，又包含线段的长度、几何体的体积等，而且这个 “测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
名师讲坛精彩呈现
数学思想 转化思想求解几何概型问题
例 (2012·高考北京卷)设不等式组00≤ ≤xy≤≤22 ，表示
的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐
标原点的距离大于 2 的概率是( )
π
π－2
A.4
B. 2
π
4－π
C.6
D. 4
【解析】 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示 的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4－π， 因此满足条件的概率是4－4 π.