平面向量中的数学思想方法

平面向量中的数学思想方法
平面向量是中学数学的重要内容，也是近年来高考命题的热点，因此我们应给予足够的重视，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以适应高考对平面向量的要求，现归纳总结如下：
一、数形结合思想
例１ 一架飞机向北飞行100千米，然后改变方向向西飞行100千米，求飞机飞行的路程及两次位移的和．
说明：本题主要是考察向量加法与实数加法的区别，路程为距离问
题，直接相加即可；位移为向量加法，应按向量知识解决．区别向量、数量是解决本题的关键．
解：如图１，飞机飞行的路程为：100100200AB BC +=+= （千
米）
；位移为：AC = ． 二、函数与方程思想
例2 已知点O 是ABC △内一点，150AOB ∠= ，90BOC ∠=
，设OA = a ，OB = b ， OC = c ，且213a b c ===，，，试用a 和b 表示c ．
说明：本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量．根据平面向量的基本定理有12c a b λλ=+，当a b c ，，的坐标已知时，该式实际上是一个关于12λλ，的二元一次方程组，由此可确定12λλ，，这是解决本题的一个重要思想，同时也有助于我们理解平
面向量的基本定理．
解：如图2所示，以点O 为原点，OA 为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角
函数的定义，得(cos150sin150)(3cos2403sin 240) ，，，B C ，
即1322B C ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，，，． 又知(20)a =，
，1322b c ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，，，．
设12c a b λλ=+12()λλ∈R ，，
从而有12122311(20)2222λλλλ⎛⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，
12232212λλ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，
解得123λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
3c a ∴=--．
三、转化与化归思想
转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法．
例3 求证：如果四边形，，，，ACPH AMBE AHBT BMXK CKXP 都是平行四边形（所有四边形的顶点按同一方向排列），那么四边形ABTE 也是平行四边形．
说明：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征———“对边平行且相等”进行转化，此题即可迎刃而解．
证明：由AMBE 得AE MB = ，由BMXK 得MB XK = ，由CKXP
得XK PC = ，由ACPH 得PC HA = ，由AHBT 得HA BT = ，所以AE BT = ，即四边形ABTE 是平行四边形．
四、分类讨论思想
例4 已知向量a b ，的模长分别是46==，a b ，求a b +的最大值和最小值．
说明：平面向量问题中含有向量方向相同，相反及不共线的问题是分类讨论的一大亮点，遇到这类问题利用分类讨论的思想不可忽视．
解：向量a b ，的模已确定，但方向不定，因此应分情况讨论a b ，的方向，作= OA a ，
AB = b ，OB = a b +．
（1）当a b ，不共线时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得 OA AB OB OA AB -<<+ ，即210<+<a b ．
（2）当向量a b ，共线时，要分同向与反向两种情况．
若向量a b ，同向，则4610=+=+= OB OA AB ，即10+=a b ．
若向量a b ，方向相反，则642=-=-= OB AB OA ，即2+=a b ．
故+a b 的最大值为10，最小值为2．。