三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题13等差与等比数列理含解析65.doc

专题13等差与等比数列
考纲解读明方向
分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求a n,S n为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5
分,属中低档题.
的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年理新课标I卷】设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
2．【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
详解：
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
3．【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到
，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
详解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以
，故答案是.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 4．【2018年浙江卷】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.
由（Ⅰ）可知，所以，故，
.设
，
所以，因此，
又，所以.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)
在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表
达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 5．【2018年理数全国卷II 】记为等差数列的前项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2
–8n ，最小值为–16．
【解析】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2
–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
2017年高考全景展示
1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C 【解析】
试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165
6615482
S a d a d ⨯=+=+=，联立11
2724
,61548a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C.
秒杀解析：因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若
m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.
2.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项
A．24
-B．3-C．3 D．8
【答案】A
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算
【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】
试题分析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数
列的求和公式有：
()7
12
381
12
x⨯-
=
-
，解得3
x=，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。

【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式
【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。

4.【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1–a3 = –3，则a4 = ___________. 【答案】8-
试题分析：设等比数列的公比为q ，很明显1q ≠- ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
()(
)1212
1311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①
，②，由 ②① 可得：2q =- ，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得：3
418a a q ==- .
【考点】 等比数列的通项公式
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ 。

【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，
由题意有：1123
43
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=, 裂项有：
()121
1211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，据此： 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢
⎥+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 。

【考点】 等差数列前n 项和公式；裂项求和。

【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。

数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

使用裂项法求和时，要注意正负项相
消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。

6.【2017北京，理10】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2
2
a b =_______. 【答案】1 【解析】
试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3
138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，
那么221312
a b -+== . 【考点】等差数列和等比数列
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】
试题分析：由已知,1193627
,98
a d a d +=⎧⎨
+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.
考点：等差数列及其运算
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
2. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *
，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．
【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．
3．【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若2
1253,S =10a a +=-，
则9a 的值是 . 【答案】20.
【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 考点：等差数列性质
【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如
*1()()
,(1,)22
n m t n n a a n a a S m t n m t n N ++=
=+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n m a a n m d =+- 【考点定位】等比数列的通项公式．
4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64 【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2
12
1(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩.所以2(1)
1712(1)
22212
1
18()22n n n n n n n
n a a a a q
--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12
n a a a 取得最大值6264=.
考点：等比数列及其应用
【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.。