联赛新高一秋季第7讲(函数的综合问题)

首先我们将对教材中较少提到的各类基本初等函数与绝对值函数相复合的问题做一些梳理，随后我们将一起探讨一些与前几章相比较为深入的函数综合问题.
当其它初等函数加上绝对值符号时，其图象中在x 轴下方的部分将翻折上来，从而造成函数图象与其它图象交点情况发生很大改变.一般来说，处理这种问题我们需要精确地确定函数图象在何处发生了翻折.一般来说，对于含绝对值的函数，只要耐心地分类讨论，最后总能得到结果. 【例1】 （1）求()1357f x x x x x =-+-+-+-的最小值.
（2）试将上问中的1,3,5,7改为a ,b ,c ,d (由小到大)再求最小值.
【例2】 解方程：2[1]10x -=.
【例3】 已知01k <<，试确定方程21x kx k -=+解的个数.
知识点睛
经典精讲
7.1含绝对值的函数
本讲概述
第7讲 函数的综合问
题
【例4】 设二次函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值min 5y >，试求实数a 的取值范围.
【例5】 已知函数1()lg
1x f x x +=-，若()1,()211y z y z f f yz yz +-==+-，其中1,1y z -<<，求(),()f y f z .
【例6】 设01,0,a x <<<求证：22ln(1)(1)log (1)x x a x x a x x ++<
++-.
经典精讲
7.2函数综合问题举例
【例7】求函数
2
2
2
21
x x
y
x x
++
=
-+
的极值.
【例8】求函数()
f x=.
【例9】求函数()
f x=.
【例10】 已知a ,b ,c 为实数，且a >2000，证明：至多存在两个整数x ,
使得21000ax bx c ++≤.
【演练1】已求函数2()log ()f x x x =⋅的单调递增区间.
实战演练
【演练2】求方程213x x -+=的根的个数.
【演练3】已知121992{,,...,}{1,2,...,1992}a a a =，求证：
12231991199219921...1984032a a a a a a a a -+-++-+-≤.
【演练4】解方程：2log (231)5x x +-=.
【演练5】已知函数2262
ax bx y x ++=+的最小最大值分别为2和6，求a ,b 之值.
【演练6】求
42
22
5
()
1
x x
f x
x
++
=
+
（）
的最小值.
【演练7】,,,0,0,0
a b c R a b c ab bc ca abc
∈++>++>>，求证：,,0
a b c>.
【演练8】试构造一个函数():
f x R R
→，使得()
f x不恒等于x，且满足((()))
f f f x x
=.。