《平方差公式》教学教案

冀教版七年级数学（下册）第十章第五节第一课时
《乘法公式----平方差公式》教案设计
●教学目标:
（一）知识目标
1.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算。

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。

3.体会符号运算对证明猜想的作用。

（二）能力目标
1.经历探索发现平方差公式的过程,发展数形结合的思想。

2.培养学生观察、归纳、概括等能力。

（三）情感与价值观目标
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣。

2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美。

3.乐于通过动手操作发现和学习数学知识。

（四）.教学重点,难点
教学重点:探索平方差公式的过程。

教学难点:理解平方差公式的特征。

●二.教材处理
1.突出重点:学生通过自主探究,剪纸拼图的方法发现和认识平方差公式。

2.突破难点:学生通过尝试对公式特征的语言叙述,认识和理解公式本质的内容。

●三.学法指导
1.由问题情境产生思考,激发对新知的求知欲。

2.通过动手剪纸拼图,认识和解释情境中的问题,同时,发现数学知识,感受知识的发生和发展过程。

3.通过交流辨析,进一步理解平方差公式
●四.教学具准备 大正方形纸板，剪刀。

●五.教学手段
根据教育直观性原则，采用动手操作与多媒体演示相结合，揭示知
识的发生发展过程。

●六.教学过程
（一）.创设问题情景，引入新课（幻灯片展示）
1、在一个边长为a 米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池， 改建后草坪的面积是 ?
2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试
看! 同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听。

(教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法。

)
3、可能拼出的情况：
（1） 可以拼成长方形 把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪
开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a －b),长是a;下面的
小长方形长是(a －b),宽是 b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图所示的图形(阴影部分)，
它的长和宽分别为(a+b),(a －b),面积为(a+b)(a －b)。

（2）：还可以拼成长方形
把剩下的图形(即阴影部分)沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，然后按右图拼接成大长方形，大长方形的长和宽分别为(a+b),(a －b),则其面积为(a+b)(a －b)。

（3）：可以拼成梯形
把剩下的图形(即阴影部分)沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为(a －b)，所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成梯形。

这个梯形的上底为2b ，下底为2a ，则其面积为1╱2（2a+2b ）(a －b)，化简为(a+b)(a －b)。

（4）：可以拼成平行四边形
把剩下的图形(即阴影部分)沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为(a －b)，所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成平行四边形。

由剪拼过程我们可以知道，这个平行四边形的边长为(a+b)，高为 (a －b)。

所以这个平行四边形的面积为(a+b)(a －b)。

师：“对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？计算你所拼出的几何图形的面积，你能发现什么？” ……
[学生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形给予充分的评价并鼓励学生从中发现知识，交流自己的观点]
▲ 设计意图：通过动手剪纸拼图,让学生经历平方差公式的探索，在认识和解释情境的过程中,发现数
学知识,感受知识的发生和发展过程。

4、你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？
设计意图：学生利用多项式乘多项式的法则计算(a+b)(a-b)，验证自己的猜想。

（二）得出概念
1、(a+b)(a-b)=a 2-b 2这个公式称为平方差公式
（1）你能用语言叙述这个公式吗？
▲设计意图：锻炼学生的总结能力及语言表达能力。

“两个数的和乘以两个数的差等于它们的平方差。

”
（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？
▲设计意图：体会数学的逻辑性及利用平方差公式计算的简洁性。

2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎样确定？
利用平方差公式计算的关键：确定a 和b 。

其中两个完全相同的项为a ，另两个只有符号不同的项为b ，其结果等于符号相同的数的平方减去符号不同数的平方。

▲注意：根据学生层次的不同，若学生在此不能观察出公式特征，教师可增加启发性的问题,如：“两个多项式有什么相同，有什么不同？”“两项的符号都不同吗？”“等于什么？”……学生由此观察发现公式的特征。

（三）例题教学
1、(1) (2x+y)(2x-y) (2) (½x+2)( ½x-2)
(3) (-5a+3b)(-5a-3b) (4) (m+n)(n-m)
[可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤。

]
2、活学活用：
例3.运用平方差公式计算：
1)59.8 ×60.2 2) 101 ×99[其中第1题师生共同分析式子特点，由教师给出规范步骤，第二题让同学板演或口答。

]
（四）实战演练
▲1、我问你答：请你为你的同桌出一道能用平方差公式计算的问题。

[在练习本上完成，先由同桌同学互查互纠，教师巡视过程中，如果有有争议的问题，提出来由老师解
决。

对共性的错误，教师展示给同学辨析，纠正错误。

]
▲2、小试牛刀：下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？[
对公式特征的巩固训练]
1) (x+4)(x-4)=x 2-4; （
）
2) (a+2b)(a-2b)=a 2-4b; （
）
3) (-2y+3)(2y+3)=4y 2–9.（ ）
▲3、应用拓展：运用平方差公式计算：[对公式特征的巩固训练] （1）(x+2y)(x-2y) （2）(2a-b)(b+2a)
（3）(4a+3b)(4a-3b) （4）(-3m+2n)(3m+2n)
▲4、请你支招
有一位狡猾的地主, 把一块边长为a 米正方形的土地。

租给
李老汉种植.今年,他对李老汉说:“我把你这块地一边增加4米,
另一边减少4米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李老汉
一听,觉得好象没有吃亏,就答应。

同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏?
[利用所学知识解决生活中的实际问题，使同学体会生活中处处有数学。

]
（五）、课堂小结： a
1、通过本节课的学习,你认为:
（1）、什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？
（2）、平方差公式中字母a、b可以是那些形式？
（3）、怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？
▲[给学生留出充分的时间考虑，讨论，交流，使学生在理解的基础上能够熟练应用平方差公式计算。

] 2、师生总结：
（1）、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2（2）、我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：
①公式中的字母a、b可以是任意代数式；
②利用平方差公式计算的关键是：准确确定a和b；
③完全相同的看作a，只有符号不同的看作b。

（六）、布置作业
1、必做题：课本P107，第
2、3题。

1、选做题：
1）填空：
3 ×3=9 5 ×5=25
2 ×4= 4 ×6= ；
13 ×13=169 20 ×20=400
12 ×14= 19 ×21= 。

2）比较上面四组算式，你发现了什么规律？请用含字母的式子表示出来。

（七）板书设计：
(½a+2b)(½a-2b)2、(1-3x)(3x+1)
3、(5x2-1)(5x2+1)
4、(2x2-y)(-2x2-y)
5、(2m-n)(m+2n)-(2m+n)(2m-n)
6、(a-b)(b+a)(a2+b2)
《乘法公式----平方差公式》
课后反思
河北省秦皇岛市昌黎县陈各庄初级中学郝辉
1、本节课完成了既定的教学目标：指导学生用语言描述，两数和与两数差的积等于它们的平方差，这就是平方差公式。

2、学生存在的问题：
在用几何的方法对平方差公式进行解释的时候，学生难以理解。

在用平方差公式进行计算的时
候学生对于a,b的找法仍然不熟练，在什么情况下应用这个公式不了解，导致不能用平方差公式进行
计算的也用它进行计算。

3、指导学生发现公式的特点：
（1）、左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。

右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。

（2）、公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。

提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，这两个数分别是什么，其次要区别相同的项和相反的项，表示两数平方差时要加括号。

平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合
公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什
么，公式中的字母a,b仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式。