人教A版数学必修四1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象能力提升(含答案解析)

1．将函数y ＝5sin3x 的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移π3
个单位，得到图象的解析式是( )
A ．y ＝5sin(3π2－32
x ) B ．y ＝sin(7π10－32
x ) C ．y ＝5sin(π6
－6x ) D ．y ＝－5cos 32
x
2．函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内当x ＝π6时有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.
解析：∵在一个周期内，x ＝π6
时有最大值， x ＝23
π时有最小值， ∴T 2＝23π－π6＝π2
， 即T ＝π，∴ω＝2.
答案：2
3．函数f (x )＝A sin(ωx －π6
)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2
. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，则f (α2
)＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，
∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2
， ∴最小正周期T ＝π，
∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6
)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12
， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3
， ∴α－π6＝π6，故α＝π3
. 4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2
)的一段图象如图所示． (1)求f (x )的解析式；
(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A ＝3，2πω＝43(4π－π4)＝5π，ω＝25
. 由f (x )＝3sin(25x ＋φ)过(π4，0)得sin(π10
＋φ)＝0， 又|φ|<π2，故φ＝－π10
， ∴f (x )＝3sin(25x －π10
)． (2)由f (x ＋m )＝3sin[25(x ＋m )－π10]＝3sin(25x ＋2m 5－π10
)为偶函数(m >0)， 知2m 5－π10＝π2＋k π，即m ＝3π2＋52
k π. ∵m >0，∴m min ＝3π2
. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2
个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．。