高等数学基础提高一

第一章 函数、极限、连续
§1.1 函数
甲）内容要点 一、函数的概念
1.函数的定义
设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集
{}|(),Z y y f x x D ==∈
称为函数的值域。

2.分段函数
如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如
2
1<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩
是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数
形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数
如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以
1
()x f
y -=。

有时也用1
()y f
x -=表示。

二、基本初等函数
1.常值函数 y ＝C （常数）
2.幂函数 y x α
=（α常数）
3.指数函数 x
y a =（a ＞0，a ≠1常数）
x
y e =（e ＝2.7182…，无理数）
4.对数函数 log a y x =（a ＞0，a ≠1常数）
常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==
5.三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x ===
cot ;sec ;csc .y x y x y x ===
6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==
arctan ;cot .y x y arc x ==
基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

例如以后经常会用
lim arctan x x →+∞
；lim arctan x x →-∞
；1
lim x x e +→；1
lim x x e -→；0
lim ln x x +
→等等，就需要对arctan y x =，x
y e =，ln y x =的图像很清晰。

三、复合函数与初等函数
1.复合函数
设()y f u = 定义域U
()u g x = 定义域X ，值域U*
如果*
U U ⊂，则[()]y f g x =是定义在X 上的一个复合函数，其中u 称为中间变量。

2.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四、函数的几种性质
1.有界性：设函数y =f (x )在X 内有定义，若存在正数M ，使x X ∈都有()f x M ≤，则称f (x )在X 上是有界的。

2. 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对x X ∈，都有()()f x f x -=-，则称()f x 在X 上是奇函数；若对x X ∈，都有()()f x f x -=，则称()f x 在X 上是偶函数。

奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。

3. 单调性：设()f x 在X 上有定义，若对任意1212x X x X x x ∈∈<，，都有()()12f x f x <()()12f x f x >⎡⎤⎣⎦，则称()f x 在X 上是单调增加的⎡
⎤⎣⎦单调减少的；若对任意1212x X x X x x ∈∈<，，都有()()()()1212f x f x f x f x ≤≥⎡⎤⎣⎦，则称()f x 在X 上是单调不减⎡⎤⎣⎦单调不增。

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。

）
4. 周期性：设()f x 在X 上有定义，如果存在常数0T ≠，使得任意x X ∈，
x T X +∈，都有()()f
x T f x +=，则称()f x 是周期函数，称T 为()f x 的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。

（乙）典型例题
一、求函数的定义域
提示：如【1.1函数 （乙）典型例题（1）】(前面的位置)，以下简写成【1.1函数（乙）典型例题（1） （前）】。

【例4】 设()102224x g x x ≤<⎧=⎨
≤≤⎩，，
求()()()21f x g x g x =+-的定义域，并求32f ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 解 ()g x 的定义域为[]04，，要求024x ≤≤，则02x ≤≤；要求014x ≤-≤，则15x ≤≤，于是()f x 的定义域为[]21，。

又()31321322f g g ⎛⎫⎛⎫
=+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、求函数的值域 【例1】 求1
331
x y -=
解 我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

3
3
3
3
1ln 1,ln 1
y x y
x =
-=
-
3
3
11,ln x y
=
+
它的定义域0y >，且1y ≠
所以原来函数的值域为(0,1)(1,)+∞ 。

三、求复合函数有关表达式
2.已知g (x )和f [g (x )]，求f (x ).
【例2】 已知()x x
f e xe -'=，且(1)0f =，求f (x ).
解 令,ln x
e t x t ==，因此ln ()()x t
f e f t t
''==
，
2
2
1
1
ln 11()(1)ln ln 2
2
x
x
t f x f dt t
x t
-=
=
=
⎰
∵(1)0f =，∴2
1()ln 2
f x x =
四、有关四种性质 【例2】 求152
1
[()ln(1)].x x
I x x e e
x x dx --=
+-++⎰
解 1()x x f x e e -=-是奇函数，∵2
112()(),()ln(1)
x x f x e e f x f x x x --=-=-=++是奇函数，
∵ 22
2
22
(1)()ln(1)ln
1
x x f x x x x x +--=-+
+=+
+
2
2ln 1ln(1)()x x f x =-+
+=-
因此2
()ln(1)x x x e e x x --++是奇函数。

于是 11
6
6
1
2027
I x dx x dx -=
+==
⎰
⎰。

【例4】 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当
a x
b <<时，下列结论成立的是（ ）
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >
解 ∵2
()1[()()()()]0()()f x f x g x f x g x g x g x '
⎡⎤''=-<⎢⎥⎣⎦
，∴()
()f x g x 单调减少 于是x <b ，则有()()()
()
f x f b
g x g b >
，故(A)成立。

§1.2 极限
（甲）内容要点
一、极限的概念与基本性质
1.极限的定义
（1）lim n n x A →∞
= （称数列{}n x 收敛于A ）
任给0ε>，存在正整数N ，当n>N 时，就有n x A ε-<. （2）lim ()x f x A →+∞
=
任给0ε>，存在正整数X ，当x>X 时，就有()f x A ε-<. （3）lim ()x f x A →-∞
=
任给0ε>，存在正整数X ，当x>－X 时，就有()f x A ε-<. （4）lim ()x f x A →∞
=
任给0ε>，存在正整数X ，当|x|>X 时，就有()f x A ε-<. （5）()0
lim x x f x A →=
任给0ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，就有()f x A ε-<。

（6）()0
lim x x f x A +
→=（用()00f x +表示）
任给0ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，就有()f x A ε-< （7）()0
lim x x f x A -
→=（用()00f x -表示）
任給0ε>，存在正数δ，当00x x δ-<-<时，就有()f x A ε-<。

其中()00f x +称为()f x 在0x 处右极限值，()00f x -称为()f x 在0x 处左极限值。

有时我们用()lim f x A =表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。

有时我们把()n x f n =，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

2. 极限的基本性质
定理1 （极限的惟一性）设()lim f x A =，()lim f x B =，則A B =。

定理2 （极限的不等式性质）设()lim f x A =，()lim g x B = 若x 变化一定以后，总有()()f x g x ≥，则A B ≥ 反之，A B >，则x 变化一定以后，有()()f x g x > （注：当()00g x B ≡=，情形也称为极限的保号性）
定理3 （极限的局部有界性）设()lim f x A =，则当x 变化一定以后，()f x 有界的。

定理4 设()lim f x A =，()lim g x B = 则 （1）()()lim f x g x A B +=+⎡⎤⎣⎦ （2）()()lim f x g x A B -=-⎡⎤⎣⎦
（3）()()lim f x g x A B =⎡⎤⎣⎦ （4）()()
lim
f x A
g x B
=
()0B ≠
（5）()()
lim g x B
f x A =⎡⎤⎣⎦ ()0A >
二、无穷小量
1. 无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量 （注：无穷小量与x 的变化过程有关，1lim 0x x
→∞
=，
当x →∞时1x
为无穷小量，而0
x x →或其他时，
1x
不是无穷小量）
2. 无穷大量定义：任給0M >，当x 变化一定以后，总有()f x M >，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞。

3. 无穷小量与无穷大量的关系：在x 的同一个变化过程中，若()f x 为无穷大量，则()
1f
x 为无穷小量，若()f x 为无穷小量且()0f x ≠，则
()
1f
x 为无穷大量。

4. 无穷小量与极限的关系
()()()lim f x A f x A a x =⇔=+ 其中()lim 0a x =
5. 两个无穷小量的比较
设()()lim 0lim 0f x g x ==，
，且()
()
lim f
x l g x =
(1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，记以()()f x o g x =⎡⎤⎣⎦ 称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量，
(2) 0l ≠，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量。

(3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记以()()f x g x 6. 常见的等价无穷小量 当0x →时
sin tan arcsin arctan x x x x x x x x ，，，
()()211cos 1ln 1112
a x
x x e x x x x ax --++- ，，，（a 为实常数）。

7. 无穷小量的重要性质
有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法
1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2. 两个准则
准则1 单调有界数列极限一定存在。

（1）若1n n x x +≤（n 为正整数），又n x m ≥（n 为正整数） 则lim n n x A →∞
=存在且A m ≥
（2）若1n n x x +≥（n 为正整数），又n x m ≤（n 为正整数） 则lim n n x A →∞
=存在且A m ≤
准则2 （夹逼定理）设()()()g x f x h x ≤≤ 若()()lim lim g x A h x A ==，，则()lim f x A = 3. 两个重要公式 公式1 0
sin lim
1x x x
→=
公式2 1lim 1n
n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭；1lim 1u
u e u →∞⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭；()1
0lim 1v v v e →+=
4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换
5. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻） 当0x →时()2
12!
!
n
x
n
x
x
e x o x
n =++
++
+
()
()()3
5
21
21
sin 13!5!21!
n n
n x
x
x
x x o x n ++=-
+
++-++
()
()()2
4
22cos 112!
4!2!
n
n
n
x
x
x
x o x
n =-
+
-+-+
()()
()2
3
1
ln 1123n
n n
x
x
x
x x o x n ++=-
+
-+-+
()
()3
5
21
21
arctan 13
5
21
n n
n x
x
x
x x o x n ++=-
+
-+-++
()
()()()()2
111112!
!
n
n
n x x x x o x n α
αααααα---⎡⎤-⎣⎦
+=++
++
+ （α为实常
数）
6.洛必达法则
法则1 0
0⎛⎫
⎪⎝⎭
型设（1）()lim 0f x =，()lim 0g x = （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在
（3）()()
lim f x A g x '=' （或∞）
则 ()
()
lim
f
x A g x = （或∞）
(注：如果()()
lim f x g x ''不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()
()
lim
f
x g x 不存在且不是无穷大量情形)
法则2 ∞
⎛⎫
⎪∞⎝⎭
型设（1）()lim f x =∞，()lim g x =∞ （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在
（3）()()
lim f x A g x '=' （或∞）
则 ()()
lim
f
x A g x = （或∞）
7.利用导数定义求极限 基本公式：()()
()0000
lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ ⎡⎤⎣⎦如果存在
8.利用定积分定义求极限 基本公式：()1
11
lim
0n
n k k f f
x dx n
n →∞
=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑⎰
⎡⎤⎣⎦如果存在
9.其他综合方法
10.求极限的反问题有关方法 （乙）典型例题
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
【例1】 设n 0 b 0m a ≠≠，
，求1
1101
110
lim m
m m m n n x n n a x a x a x a b x b x
b x b ---→∞
-++++++++
解 1
11
1
11
l i m m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++
1111011110lim
m n
m m m m n n
x n n x
a a x a x a x
b b x b x b x
--------→∞
-⎡⎤++++⎣⎦
=++++ 0 m n
m n a
m n b m n ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪∞>⎩
当时＝ 当时 当时 【例7】 求下列各极限
（2）3
30
11lim
x x x
x
→+-
（2）解一 原式＝()()
2
2
3
3
3
3
112lim
3
1111x x x x x
x
x x
→+--=
⎡
⎤
+++-+
-⎢⎥⎣
⎦
解二 类似（1）中解二用等价无穷小量代换
解三 类似（1）中解三用洛必达法则 【例8】 求下列极限
（1）设1r <，22
lim (1)(1)(1)n
n r r r →∞
+++
（2）222111lim 11123n n →∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解 （1）分子分母都乘1-r ，则原式＝1
2
11lim
11n n r
r
r
+→∞
-=
--
（2）原式＝111111lim 1111112233n n n →∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝13241111lim
lim 223322
n n n n n n n n →∞
→∞-++==
二、用两个重要公式
【例2】 求下列极限
（2）1
01lim 1x
x x x →-⎛⎫ ⎪+⎝⎭
解
（2）解一 ()()[]1
1
1
(1)1
2
01
00
lim 1lim 1()1lim 1lim 1x
x
x x x x x
x x x x e
e
x e e
x ⎛⎫
-- ⎪-⎝⎭
-→→→→-+--⎛⎫===
= ⎪+⎝⎭+
解二 1211
212
000
1122lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x
e
x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭
-→→→-+-⎡-⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【例3】 求下列极限 （1）cot 0
lim (1tan )
x
x x →+
（2）4
1
1
lim x x x
-→
解 （1）令 tan x t =则1cot x t
=，当0x →时0t →
于是 1
c o t
lim (1tan )
lim (1)x t x t x t e →→+=+=
（2）令1x t -=则1x t =+，当1x →时，0t →
于是 ()4
4
4
1
41
1
00
lim lim (1)lim 1x t
t x t t x t t e -→→→⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦
三、用夹逼定理求极限 【例1】 求13521
lim ()2462n n n
→∞
-
.
解 令13521
2462n n x n
-= ， 2423521n n y n =+ ，
则 0<x n <y n ，于是 2
1021
n n n x x y n <<=
+
由夹逼定理可知 2
lim 0n x x →∞
=，于是原极限为0.
【例2】 求下列极限
（1）2
1
lim
n
n k n k →∞
=+∑
（2）2
1
lim
n
n k k n n k
→∞
=++∑
解 （122
2
1
1
n
k n n
n k n =≤
≤
+++∑
而 2
l i m
l i m 1
11n n n n
n
→∞
→∞
=
=++
2
2
lim
lim
111
1n n n n
→∞
→∞
==++
由夹逼定理可知 2
1
1lim
1n
n k n k
→∞
==+∑
（2）∵
2
2
2
1
12121
n
k n k n n n n
n n k
n n =++++++≤
≤
++++++∑
而 21
(1)
121
2l i m l i m 2(2)
2
n n n n n
n n
n n →∞→∞++++=
=++
2
21(1)
121
2lim
lim 1
12
n n n n n n n n n →∞
→∞++++==++++ 则夹逼定理可知 2
1
1lim
2
n
n k k
n
n k
→∞
==++∑
四、用定积分定义求数列的极限
【例1】 求2
2
1
lim
n
n k n n k
→∞
=+∑
.
分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
n
k n
n n
n n
n k
n =≤
≤
+++∑
而2
2
2
1lim
2
n n
n n
→∞
=
+，2
2
2
lim
11
n n
n →∞
=+
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.
解 2
2
2
1
1
1
1lim
lim
1n
n
n n k k n n k
n
k n →∞
→∞
===+⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
∑
∑
＝112
arctan 14
dx x
x
π
==
+⎰
五、用洛必达法则求极限 1.“
00
”型和“
∞∞
”型.
【例2】 求2
1
10
lim
x
x e x
-→.
解 若直接用“00”型洛必达法则1，则得221
1
3912
002lim lim 105x x x x e e x x
x --→→⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（不好办了，分母x 的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令
2
1t x
=，
于是 2
15
1
50l i m l i m l i m t
x
t
x t t
e
e
t x
t e -
--→→
+∞
→+∞== (“∞∞
”型) ＝4
55!lim
lim
0t
t
t t t e
e
→+∞
→+∞
===
2. “∞-∞”型和“0·∞”型. 【例3】 求2
lim sin ln x x x +→.
解 原式＝22
ln lim ln lim
x x x x x x
+
+
-→→= (“
∞∞
”型)
＝13
lim 02x x
x
+
--→=-
3. “1∞”型，“00”型和“∞0”型 【例2】 求()
2
cot 0
lim cos x
x x →（前面已用重要公式的方法）. 解 令()
2
cot cos x
y x =，2ln cot ln cos y x x =
2
2
2
ln cos ln cos lim ln lim cot ln cos lim
lim
tan x x x x x x y x x x
x
→→→→===
（“
00
”型）＝0
tan 1lim
22
x x x
→-=-
，∴12
lim x y e
-
→=
【例3】 求11lim sin cos x
x x x →∞⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭.
解 令11sin cos x
y x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
011ln sin cos ln(sin cos )lim ln lim lim 1x x t t t x x y t
x
→∞→∞→⎛
⎫+ ⎪
+⎝
⎭== ＝0
cos sin lim
1sin cos t t t t t
→-=+
∴lim x y e →∞
=
六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换
【例1】 求3
2
2
1lim
131
n n n n n →∞
++++
解 ∵3
3
2
2
3
1111lim
lim
031
3n n n n n
n
n
n n
→∞
→∞
+
+
++==++
，2
sin 11n +≤
根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，可知原式＝0.
【例3】 求2
1
3sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++.
解 这个极限虽是“00
”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛
必达法则.
原式＝0sin 13cos 13lim ln(1)1cos 2
x x
x x x x x x →⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
七、用泰勒公式求极限
【例1】 求3
5
1sin 6lim
x x x x
x
→-+
.
解 ∵3
5
5
sin ()3!
5!
x
x
x x o x =-+
+ （当0x →时）
∴原式＝5
5
5
()115!
lim 5!
120
x x
o x x
→+=
=
八、用导数定义求极限
【例2】 设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，求2
lim ()n nf n
→∞
.
解 由题设可知(0)0f =，0
(0)(sin )1x f x =''
==
于是 2(0)
2lim lim 22(0)220
n n f f n nf f n n
→∞→∞⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭
'=== ⎪⎝⎭-
十、求分段函数的极限
【例2】 求1
402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪
+ ⎪ ⎪
+⎝⎭
.
解 1
402sin lim 211()1x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭ 43
402sin lim 0111
x x
x x e e x x e +--→-⎛⎫+ ⎪+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭ ∴1402sin lim 11x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭
十一、求极限的反问题 【例2】 设2
1lim
1sin x x t
dt bx x
a t
→=-+⎰
，求a 和b.
解 把极限用洛必达法则 原式左边＝2
lim
cos x x
a x
b x
→+-1b ≠，则极限值为0，今极限为1，则1b =
因此 原式左边＝2
0lim
lim
1cos x x x
x a x
a x
a
→→==
-++
1a
=，得出a =4.
§1.3 连续
（甲）内容要点 一、函数连续的概念 1.函数在点0x 处连续
定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量x ∆（初值为0x ）趋近于0时，相应的函数改变量y ∆也趋近于0，即
lim 0x y ∆→∆=
或 ()()000lim 0x f x x f x ∆→+∆-=⎡⎤⎣
⎦ 则称函数()y f x =在点0x 处连续。

函数()y f x =在点0x 处连续也可作如下定义。

定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当0x x →时，函数()f x 的极限值存在，且等于0x 处的函数值()0f x ，即
()()0
0lim x x f
x f
x →=
则称函数()y f x =在点0x 处连续，此时有()()()0
0lim lim x x x x f x f x f x -
+
→→==
并且有 ()()0
00lim lim x x x x f x f x f x →→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
即如果函数在点0x 处连续，则在点0x 处可以交换极限号和函数号的顺序。

定义3 设函数()y f x =，如果()()0
0lim x x f x f x -
→=，则函数()f x 在点0x 处左连续；
如果()()0
0lim x x f x f x +
→=，则称函数()f x 在点0x 处右连续。

由上述定义2可知，如果函数()y f x =在点0x 处连续，则()f x 在0x 处既左连续也右连续。

2.函数在区间内（上）连续的定义
如果函数()y f x =在开区间()a b ，内的每一点都连续，则称()f x 在()a b ，内连续。

如果()y f x =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()f x 在闭区间[]a b ，上连续。

二、函数的间断点及其分类 1. 函数的间断点的定义
如果函数()y f x =在点0x 不连续，则称0x 为()f x 的间断点。

2.函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点
设0x 是函数()y f x =的间断点，如果()f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称
0x 是()f
x 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

例如0x =是()sin x f x x
=
的可去间断点，是()x f x x
=
的跳跃间断点，是()1f x x
=
的
无穷间断点，是()1sin
f x x
=的振荡间断点。

三、初等函数的连续性
1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间I 仍是连续的。

2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。

3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。

4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。

5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[]a b ，上连续的函数()f x ，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1 （有界定理）如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续，则()f x 必在[]a b ，上有界。

定理2 （最大值和最小值定理）如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：
定义 设()0f x M =是区间[]a b ，上某点0x 处的函数值，如果对于区间[]a b ，上的任一点x ，总有()f x M ≤，则称M 为函数()f x 在[]a b ，上的最大值，同样可以定义最小值m 。

定理3 （介值定理）如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数C ，在[]a b ，上至少存在一个ξ，使得
()f C ξ=
推论 如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续，且()f a 与()f b 异号，则在()a b ，内至少存在一个点ξ，使得
()0f ξ=
这个推论也称为零点定理。

思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是惟一的？ (乙)典型例题
二、已知函数的连续性求未知参数
【例1】 设sin 0
()0x x f x x
k x ìïï¹ï=íï
ï=ïî
在0x =处连续，求常数k .
解 ∵()0
sin lim lim
1x x x f x x
→→==
()0f k =，由连续性可知 1k = 【例2】如果函数1sin 0
()01sin
x x x
f x p x x q x x
ìïï<ïïïï
==í
ïïïï+>ïïïî
，在0x =处连续，求常数p 和q . 解 ∵()0
1lim lim
sin 1,(0)x x f x x f p x
-
-
→→==＝
由()f x 在0x =处连续性可知 1p = 又 ()00
1
lim lim sin
,(0)1x x f x x q q f x +
+
→→⎛⎫
+== ⎪⎝
⎭
＝ 由()f x 在0x =处连续性可知 1q =. 三、求函数的间断点并确定其类型 【例2】 求函数()
2
22()4x x f x x x -=
-的间断点，并确定其类型.
解 所给函数在点0x =，-2，2没有定义，因此0x =，-2，2是所给函数的间断点.
下面确定它们的类型.
对于0x =，由于 0
(2)1(00)lim (2)(2)
2
x x x f x x x -
→--==-
--+，0
(2)1(00)lim (2)(2)
2
x x x f x x x +
→-+==
-+
故0x =是第一类间断点，且为跳跃间断点. 对于2x =-，由于
2
(2)(20)(20)lim
(2)(2)
x x x f f x x x →----=-+==∞-+
故2x =-是第二类间断点，且为无穷间断点. 对于2x =，由于
2
(2)1(20)(20)lim (2)(2)
4
x x x f f x x x →--=+==
=
-+
故2x =是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义1(2)4
f =，则()f x 在2x =连
续.
【例3】 设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞
=
10
()0 0f x g x x x ⎧⎛⎫
≠⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪=⎩
则下列结论中正确的是（ ） (A) 0x =必是()g x 的第一类间断点 (B) 0x =必是()g x 的第二类间断点 (C) 0x =必是()g x 的连续点
(D) ()g x 在0x =处的连续性与a 的取值有关
解 00
1lim ()lim lim ()x x t g x f f t a x →→→∞
⎛⎫
===
⎪⎝⎭ ∴0a =时0x =是()g x 的连续点，0a ≠时，0x =是()g x 的可去间断点故选D. 【例4】 设()f x ，()g x 在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，()g x 有间断点，则下列函数中必有间断点为（ ）
(A) [()]g f x (B) 2[()]g x (C) [()]f g x (D)
()()
g x f x
解 (A) 不一定有间断点例1 (0)() 1 (<0)x g x x ≥⎧=⎨-⎩
，()1f x ≡，则[()]1g f x ≡为连续
(B) 不一定有间断点例()g x 同上，则2[()]1g x ≡连续
(C) 不一定有间断点，如(A)中()f x 和()g x ，则[()]1f g x ≡连续
(D) 一定有间断点，反证法，若()()()
g x h x f x =连续，则()()()g x h x f x =连续，与假设
矛盾
∴()()
g x f x 一定有间断点
四、求连续函数的极限 分两种情形：
1.如果()f x 是初等函数，0x 是()f x 定义区间内的一点，则()0
0lim ()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即只需在函数的表达式中把自变量x 换成它的极限值0
x
就行了.
【例2】 设()f x 在x =2处连续，且(2)3f =，求2
2
1
4
lim ()
2
4x f x x x →⎡⎤-
⎢
⎥--⎣⎦
. 解 由于()f x 在x =2处连续，且(2)3f =，所以2
lim ()3x f x →=
则222
221
4
(2)41lim ()
lim ()lim ()2
244x x x x f x f x f x x x x x →→→+-⎡⎤
-=⎢
⎥-+--⎣⎦ = ＝2
2
1
3lim ()lim
2
4
x x f x x →→=+
五、利用介值定理的推论判断方程的根
【例1】 设()f x 在[]a b ，上连续，且()f a a <，()f b b >，证明：()f x x =在()a b ，内至少有一个根.
证 令()()g x f x x =-，可知()g x 在[]a b ，上连续，
()()0g a f a a =-< ()()0g b f b b =->
由介值定理的推论，可知()g x 在()a b ，内至少有一个零点，即()f x x =在()a b ，内至少有一个根.
第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
（甲）内容要点
一、导数与微分概念
1. 导数的定义
设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限
()()
000
lim lim x x f x x f x y x
x
∆→∆→+∆-∆=∆∆
存在，则称此极限为函数()f x 在0x 处的导数（也称微商），记作()0f x '或 ()00
x x x x df x dy y x x dx
dx =='= ，
，
等，并称函数()y f x =在点0x 处可导，如果上面的极
限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令0x x x =+∆，0x x x ∆=-，则
()()()
000
lim
x x f
x f x f x x x →-'=-
我们也引进单侧导数概念。

右导数：()()()
()()
00000
lim
lim x x x f
x f x f
x x f x f x x x x
+
+
+→∆→-+∆-'==-∆
左导数：()()()
()()
00000
lim
lim x x x f
x f x f
x x f x f x x x x
-
-
-→∆→-+∆-'==-∆
则有
()f x 在点0x 处可导()f x ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2. 导数的几何意义与物理意义
如果函数()y f x =在点0x 处导数()0f x '存在，则在几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率。

切线方程()()()000y f x f x x x '-=- 法线方程：()()
()()()000010y f x x x f x f x '-=-
-≠'
设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()S f t =，如果()0f t '存在，则()0f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3. 函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()y f x =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导，例如，()y f x x ==，在00x =处连
续却不可导。

4. 微分的定义
设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-有下面的表达式()()()00y A x x o x x ∆=∆+∆∆→
其中()0A x 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处
可微，并把y ∆中的主要线性部分()0A x x ∆称为()f x 在0x 处的微分，记以0
|x x dy =或
()0
x x df
x =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。

5. 微分的几何意义
()()00y f x x f x ∆=+∆-是曲线()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的纵坐标()0f x 的增量，微分0
|x x dy =是与曲线()y f x =在点()()000M x f x ，处切线的纵坐标相应
的增量（见图）
6.可微与可导的关系
()f x 在0x 处可微()f x ⇔在0x 处可导，且()()000|x x dy A x x f x dx ='=∆=.
一般地，()y f x =，则()dy f x dx '=， 所以导数()dy f x dx
'=也称为微商，就是微分之商的含义。

7.高阶导数的概念
如果函数()y f x =的导数()y f x ''=在0x 处仍是可导的，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为()y f
x =在点0x 处的二阶导数，记以0
x x
y =''或()0y x ''或
2
2
x x d y dx
=等，也称
()f x 在点0x 处二阶可导。

如果()y f x =的()1n -阶导数的导数，称为()y f x =的n 阶导数，记以
()
()
()n
n n n d y
y f
x dx
，，等，这时也称()y f
x =是n 阶可导。

二、导数与微分计算 1. 导数与微分表
()0c '
=　
()0d c =
()()1
a
a x ax
a -'= 实常数
()1
a a dx ax
dx a -= 实常数
()sin cos x x '= sin cos d x xdx =
()cos sin x x '=- cos sin d x xdx =-
()2
tan sec x x '= 2
tan sec d x dx =
()2cot csc x x '= 2
cot csc d x xdx =- ()sec sec tan x x x '= sec sec tan d x x xdx = ()csc csc cot x x x '
=-
csc csc cot d x x xdx =- ()()1log 01ln a x a a x a
'=>≠ ，
()log 01ln a dx d x a a x a =>≠ ，
()1ln x x
'
=
1ln d x dx x
=
()()ln 01x
x
a a a a a '=>≠ ，
()ln 01x
x
da a adx a a =>≠ ，
()x
x
e e
'=
x
x
de e dx =
()2
arcsin 1x x '
=
-
2
arcsin 1d x x
=
-
()2
arccos 1x x
'=-
-2
arccos 1d x x
=-
-
()2
1arctan 1x x
'
=+
2
1arctan 1d x dx x
=
+
(2
2
2
2
ln x x a
x a '
⎡⎤+
+=⎢⎥⎣⎦+ (
2
2
2
2
ln d x x a
x a
+
+=
+
(
22
2
2
ln x x a
x a
'⎡⎤+-=⎢⎥⎣
⎦
- (
22
2
2
ln d x x a
x a
+
-=
-
2.四则运算法则
()()()()f x g x f x g x '
''±=±⎡⎤⎣⎦
()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+⎡⎤⎣⎦
()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '
⎡⎤''-=≠⎢⎥⎣⎦
()()()()d f
x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦
()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x =+⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()
()
()()2
0f x g x df
x f x dg x d g x g x g x ⎡⎤-=
≠⎢⎥⎣⎦
3.复合函数运算法则
设()()y f u u x ϕ==，，如果()x ϕ在x 处可导，()f u 在对应点u 处可导，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在x 处可导，且有
()()dy dy du f x x dx
du dx
ϕϕ''==⎡⎤⎣⎦
对应地 ()()()dy f u du f x x dx ϕϕ'''==⎡⎤⎣⎦
由于公式()dy f u du '=不管u 是自变量或中间变量都成立，因此称为一阶微分形式不变性。

4.由参数方程确定函数的运算法则
设()()x t y t ϕψ==，确定函数()()()y y x t t ϕψ''=，，存在()0t ϕ'≠，则
()()
()()0t dy t dx
t ψϕϕ''=
≠'
二阶导数
()()()()()2
3
2
1dy dy d d
t t t t d y dx dx dx dx
dx dt t dt
ψϕψϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥''''''-⎣⎦⎣⎦
=
='⎡⎤⎣⎦ = 5.反函数求导法则
设()y f x =的反函数()x g y =，两者皆可导，且()0f x '≠ 则 ()()
()()()110g y f x f x f g y ''=
=
≠''⎡⎤⎣⎦
二阶导数 ()()()1
d d g y f x g y dy dy
dx dx
⎡
⎤⎢⎥
''⎡⎤⎣
⎦
⎣
⎦''=
=
1
()()()(){}
()()3
3
0f g y f x f x f x f g y ''⎡⎤''⎣⎦
'=-
=-
≠'⎡⎤'⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
6.隐函数运算法则
设()y y x =是由方程()0F x y =，所确定，求y '的方法如下：把()0F x y =，两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y '的表达式（允许出现y 变量）。

例 ()2212200x x y x y y y y y
''+=+==-≠ ， ，　
7.对数求导法则
先对所給函数式的两边取对数，然后用隐函数求导方法得出导数y '。

对数求导法主要用于：
① 幂指函数求导数
② 多个函数连乘除或开方求导数 利用幂指函数()()
g x y f x =⎡⎤⎣⎦常用的一种方法()()
ln g x f x y e
=，这样就可以直接用复合函
数运算法则进行。

关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。

（乙）典型例题
一、用导数定义求导数
【例2】 设()()n n f x x a x a =--（n 为正整数），求()f a '。

解 x a -在点a 处连续而不可导，
()()()
()0
lim
lim
n
n
x a
x a
x
a
x a
f
x f a f a x a
x a
→→----'==--
()1
2
1
l i m 0
n n n x a
x
ax
a
x a
---→=+++-=
二、分段函数在分段点处可导性 【例1】 讨论函数
()00
x x y f
x x x x -<⎧==
=⎨≥⎩
在00x =处连续性与可导性。

解 函数()y f x x ==在00x =处连续，因为()00f = ()()0
lim lim 0x x f x f x --→→=-=
()0
lim lim 0x x f x x ++→→==
则 ()0
l i m
00
x x f →==
但是，在00x =处()f x 没有导数，因为 ()0
00
0lim lim x x x y f x
x -
-
-∆→∆→+∆-∆'==∆∆
lim lim 1x x x x x
x
-
-
∆→∆→∆-∆===-∆∆
()0
00
0lim lim x x x y f x
x
+
+
+∆→∆→+∆-∆'==∆∆
lim lim 1x x x x x
x
+
+
∆→∆→∆∆===∆∆
()()00f f -+''≠曲线y x =在原点的切线不存在（见上图）。

三、用各种运算法则求导数
1.运用四则运算和复合函数求导法则 【例1】 求下列函数的导数：
（1）2211y x x x =+++ （2）22cot arccos 1y x x =--
解 （1）(()2
2
2
2
1ln 11ln 1y x
x x
x
x x
'
'
'=
++
++
++
+
(
2
22
2
2
111111x x
x x
x x
x
⎤⎛
⎫+
++
++⎥ ⎥++++⎝
⎦
(
2
2
111x x
x
+
+++
（2）(
)
(2
2
cot arccos 1y x
x
'
'
'=--
＝22
2
2cot csc 111x x x
x
-+
-+-
＝3
2
2cos sin 1x x x x
⎛
⎫
-+ -⎝
【例4】 设()f x 可微，()(ln )f x y f x e =，求dy . 解 ()
()
(l n )(l n )f x f x d y f x d e
e d
f x
=
+ ＝()()
1()(ln )(ln )f x f x f x e f x dx f x e dx x
''+
＝()
1()(ln )(ln )f x e f x f x f x dx x ⎡⎤
''+⎢⎥⎣⎦
3.运用对数求导法则 【例1】 求3
2
(1)(2)(1)()
x
x x x y x e x ++=
++y '.
解 2
1l n l n l n (
1)l n (2)
l n (1)
l n ()
3x
y x x x x e x ⎡⎤=+
+++-+-+⎣
⎦
对x 求导，得
21
1111213121x
x x e y y x x x x e x ⎡⎤+'=++--⎢⎥++++⎣⎦
因此，3
221(1)(2)111213
12(1)()1x
x
x x x x x e y x x x x e x x e x ⎤
+++'=
++--⎥++++++⎦
四、有关切线方程和法线方程 【例1】 证明曲线1
(0)y x x =>上任一点001,x x ⎛⎫
⎪⎝
⎭处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为2.
证 所求切线方程为()020
11
y x x x x --
=-
令0y =，得切线截x 轴的截距02X x =， 令0x =，得切线截y 轴的截距0
2Y x =
，
直角三角形面积 001
1
2(2)222S XY x x ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
【例2】 求曲线2
31x t y t ìï=+ïí
ï=ïî
在2t =处的切线方程. 解 20125x =+=，3
028y ==.2
3322
dy t
t dx
t
=
=
2
3t dy dx
==，故切线方程为83(5)y x -=-
即 370x y --= 五、高阶导数 1.求二阶导数
【例2】 设2arctan ln(1)x t y t ì=ïïíï=+ïî
，求22d y
dx . 解 2
2
21211t
dy dy
t dt t dx dx
dt t
+===+
2
2
2
2
22(1)11dy dy d d d y dx dx dx t dt
dt
dx
dx
t
骣骣÷
÷
çç÷÷çç÷÷çç桫桫=
=
=
=++
【例3】 设()y y x =由方程221x y +=所确定，求y ⅱ.
解 220x y y ¢+=
，x y y
¢=-
2
2
2
1x
y y
xy y
y y
y
+¢
?ⅱ=-
=-
2
2
3
3
1y x y
y
+=-
=-
2. 求n 阶导数（n ≥2，正整数）
先求出y ¢，y ⅱ，…，总结出规律性，然后写出()
n y ，最后用归纳法证明.
有一些常用的初等函数的n 阶导数公式
（1）x y e =
()
n x y
e =
（2）(0,1)x y a a a => ()
(ln )n x n y
a a =
（3）sin y x =
()
sin 2n n y
x p
骣÷ç=+÷ç÷ç桫 （4）cos y x =
()
cos 2n n y
x p 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 （5）ln y x = ()
1
(1)
(1)!n n n
y
n x
--=--
【例1】 设k y x =（k 正整数），求()n y （n 正整数）.
解 ()
(1)(1) 0 k n n k k k n x n k y
n k
　-ìï--+ ï=í
ï>ïîL 【例2】 设1n
x
y x
=
-，求()n y （n 正整数）.
解 ()()
12
11
1111n n n x y x x
x x
x
---+=
=
-
+
+++--L
()
()
1
1
!
(1)(1)
n n n n y
x x -+轾=-=
犏臌
-
【例3】 设2
132
y x x =
-+，求()n y （n 正整数）.
解 ()()
()
()
1
1
1
1121122
1
y x x x x x x --=
=
-
=-------
2
2
(2)(1)
y x x --轾¢=----犏臌
3
3
(1)(2)(2)(1)y x x --轾ⅱ=-----犏臌
…
()
(1)
(1)
(1)!(2)(1)
n n n n y
n x x -+-+轾=----犏臌
§2.2 微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）.
这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细.
(甲) 内容要点 一、罗尔定理 设函数()f x 满足
（1）在闭区间［a ,b ］上连续； （2）在开区间（a ,b ）内可导； （3）()()f a f b =. 则存在()a b x
Î，，使得()0
f x ¢=
.
几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］.
条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］
条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。

结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。

二、拉格朗日中值定理
设函数()f x 满足
（1）在闭区间[]a b ，上连续；
（2）在开区间()a b ，内可导。

则存在()a b ξ∈，，使得 ()()()f b f a f b a
ξ-'=-
或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<<
有时也写成()()()()00001f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆<< 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。

几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在点()()A a f a ，和点()()B f b b ，之间［包括点A 和点B ］是连续曲线。

条件（2）说明曲线()y f x =［不包括点A 和点B ］是光滑曲线。

结论说明曲线()y f x =在A 、B 之间［不包括点A 和点B ］至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。

推论1 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数。

推论 2 若()()f x g x ，在()a b ，内皆可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内()()f x g x c =+，其中c 为一个常数。

（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当()()f a f b =时的特殊情形，就是罗尔定理）
三、柯西中值定理
设函数()f x 和()g x 满足： （1）在闭区间[]a b ，上皆连续；
（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠。

则存在()a b ξ∈，使得 ()()()()
()
()
()f b f a f a b g b g a g ξ
ξξ'-=
<<'-
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()g x x =时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）
几何意义：考虑曲线 AB 的参数方程()()
[]x g t t a b y f t =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，，点()()()A g a f a ，，点()()()B g b f b ，曲线 AB 上是连续曲线，
除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB 。

值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。

罗
尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。

在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。