例谈概率、统计综合题的求解策略
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解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年6月
例谈概率、统计综合题的求解策略
■安徽省利辛高级中学 胡 彬
概率考题主要考查 古 典 概 型、几 何 概 型、 (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
互斥事件的概率、对立事 件 的 概 率、相 互 独 立
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
的核心素养是逻辑推理、数据分析和数学运算。
三、线性回归方程
例 3 (2019 年 四 省 八 校 联 考 )越 接 近
高考学生 焦 虑 程 度 越 强,4 个 高 三 学 生 中 大 约有1个学生有焦虑症,经 有 关 机 构 调 查,得 出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变
化 情 况 ,如 表 1。
[13,14),[14,15),
图1
[15,16),[16,17],将其按 从 左 到 右 的 顺 序 分
别编号为第一组,第二组,…,第五组。如图1,根
据试验数据制成的频率分布直方图。已知第
一组与第二组共有20人,第 三 组 中 没 有 疗 效
的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )。
A.6 B.8 C.12 D.18
下 面 撷 取 几 例 ,供 同 学 们 赏 析 。
乙两组的研发水平;
一、统计图表
(2)若该企业安排甲、乙 两 组 各 自 研 发 一
例1 (山 东 卷)
为了研究某药品的疗
效,选 取 若 干 名 志 愿
者进 行 临 床 试 验,所
有志愿者的舒张压数
据 (单 位:kPa)的 分
组 区 间 为 [12,13),
表1Biblioteka 周数x 6 5 4 3 2 1 正常值y 55 63 72 80 90 99
(1)在 图 2 中 作 出 散 点 图 ;
(2)根 据 上 表 数
据用 最 小 二 乘 法 求 出
y 关于x 的线性回归 方程^ y=^ bx+^ a(精 确
到 0.01);
(3)根 据 经 验 观
测值为正常 值 的 0.85
评注:本题由已知条件分别求出甲、乙两个
小组的研发成绩,利用平均数、方差公式求解;用
发小组,为了比较他们的 研 发 水 平,现 随 机 抽
古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率。
取这两个 小 组 往 年 研 发 新 产 品 的 结 果 如 下: 考查同学们的逻辑思维能力、运算求解能力,考查
38
解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年6月
解析:由题图可知,第 一 组 与 第 二 组 的 频
种 新 产 品 ,试 估 计 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 概 率 。
解析:(1)甲 组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1, 1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1。
其
平
均
数
为
x甲
10 =15=
2 3
。
方差 为
s2甲
1 = 15 ×
成功和失败。
茎叶图、频 率 分 布 直 方 图 的 理 解,考 查 平 均
(1)若某组成功研发 一 种 新 产 品,则 给 该
数、方差的 计 算,也 考 查 同 学 们 对 正 态 分 布、 组记1 分,否 则 记 0 分,试 计 算 甲、乙 两 组 研
变量的相关性、独立性检 验 的 理 解 以 及 应 用。 发新产品的成绩的平均 数 和 方 差,并 比 较 甲、
事件的概率、独立重复试 验、条 件 概 率 的 基 本
(a,b),(a,b),(a,b)。其中a,a 分 别 表 示 甲
概率公式,以 及 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 和
组研发成 功 和 失 败;b,b 分 别 表 示 乙 组 研 发
数学期望、方差等知识;统 计 考 题 主 要 考 查 对
图2
~1.06为正常,若 1.06~1.12 为 轻 度 焦 虑,
1.12~1.20为 中 度 焦 虑,1.20 及 以 上 为 重 度
焦虑,若为中度焦虑或重 度 焦 虑,则 要 进 行 心
理疏导,若 一 个 学 生 在 距 高 考 第 二 周 时 观 测
值为103,则该学生是否需要进行心理疏导?
n
评注:本题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 意 义 以及同学 们 的 识 图、用 图 能 力。 考 查 的 核 心 素 养 是 直 观 想 象 、数 据 分 析 和 数 学 运 算 。
二、样本的数字特征
例 2 (湖南 卷)某 企 业 有 甲、乙 两 个 研
因 为 x甲 >x乙 ,s2甲 <s2乙 ,所 以 甲 组 的 研 发 水平优于乙组。
2 1- 3
2
2
×10+ 0-3
2
×5
=
2 9
。
乙组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1,0,1,1,0,
1,1,0,1,0,0,1,0,1,1。
其
平
均
数
为
x乙
9 =15=
3 5
。
方差 为
s2乙
1 = 15 ×
3 1- 5
2
3
×9+ 0-5
2
×6
=265。
率之和为(0.24+0.16)×1=0.4。 因 为 第 一 组与第二组共有20人,所 以 该 试 验 共 选 取 志 愿者020 .4=50(人 ),故 第 三 组 共 有 50×0.36 =18(人 )。 因 此,第 三 组 中 有 疗 效 的 人 数 为 18-6=12(人),选 C。
=76.5。
图3
x y =267.75,
^ b=149 51 2- -6 6× ×3 26.5 72.75≈ -8.83,^ a=76.5+ 8.83×3.5≈107.41。
线 性 回 归 方 程 为 y= -8.83x+107.41。
(3)当 x=2时,y=89.75,81 90.3 75≈1.15
注 :^ b=i∑=1∑ x n x iyi2i--nnxx2y,i∑=61xiyi =1452, i=1
6
∑xi2
=91,^ a=y-^ bx。
i=1
解 析 :(1)散 点 图 ,如 图 3 所 示 。
(2)x=
1 6
×
(6+
5+4+3+2+1)=
3.5,y=
1 6
×
(55+63
+72+80+90+99)
(2)记 E= 恰有一组研发成功 ,在 所 抽 得的15个结果中,恰有一 组 研 发 成 功 的 结 果
是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a, b),(a,b)共 7 个。 故 事 件 E 发 生 的 概 率 为
7 ,将 15
频
率
视
为概
率
,即
得
所
求
概
率
为
P(E)
=175。
例谈概率、统计综合题的求解策略
■安徽省利辛高级中学 胡 彬
概率考题主要考查 古 典 概 型、几 何 概 型、 (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
互斥事件的概率、对立事 件 的 概 率、相 互 独 立
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
的核心素养是逻辑推理、数据分析和数学运算。
三、线性回归方程
例 3 (2019 年 四 省 八 校 联 考 )越 接 近
高考学生 焦 虑 程 度 越 强,4 个 高 三 学 生 中 大 约有1个学生有焦虑症,经 有 关 机 构 调 查,得 出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变
化 情 况 ,如 表 1。
[13,14),[14,15),
图1
[15,16),[16,17],将其按 从 左 到 右 的 顺 序 分
别编号为第一组,第二组,…,第五组。如图1,根
据试验数据制成的频率分布直方图。已知第
一组与第二组共有20人,第 三 组 中 没 有 疗 效
的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )。
A.6 B.8 C.12 D.18
下 面 撷 取 几 例 ,供 同 学 们 赏 析 。
乙两组的研发水平;
一、统计图表
(2)若该企业安排甲、乙 两 组 各 自 研 发 一
例1 (山 东 卷)
为了研究某药品的疗
效,选 取 若 干 名 志 愿
者进 行 临 床 试 验,所
有志愿者的舒张压数
据 (单 位:kPa)的 分
组 区 间 为 [12,13),
表1Biblioteka 周数x 6 5 4 3 2 1 正常值y 55 63 72 80 90 99
(1)在 图 2 中 作 出 散 点 图 ;
(2)根 据 上 表 数
据用 最 小 二 乘 法 求 出
y 关于x 的线性回归 方程^ y=^ bx+^ a(精 确
到 0.01);
(3)根 据 经 验 观
测值为正常 值 的 0.85
评注:本题由已知条件分别求出甲、乙两个
小组的研发成绩,利用平均数、方差公式求解;用
发小组,为了比较他们的 研 发 水 平,现 随 机 抽
古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率。
取这两个 小 组 往 年 研 发 新 产 品 的 结 果 如 下: 考查同学们的逻辑思维能力、运算求解能力,考查
38
解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年6月
解析:由题图可知,第 一 组 与 第 二 组 的 频
种 新 产 品 ,试 估 计 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 概 率 。
解析:(1)甲 组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1, 1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1。
其
平
均
数
为
x甲
10 =15=
2 3
。
方差 为
s2甲
1 = 15 ×
成功和失败。
茎叶图、频 率 分 布 直 方 图 的 理 解,考 查 平 均
(1)若某组成功研发 一 种 新 产 品,则 给 该
数、方差的 计 算,也 考 查 同 学 们 对 正 态 分 布、 组记1 分,否 则 记 0 分,试 计 算 甲、乙 两 组 研
变量的相关性、独立性检 验 的 理 解 以 及 应 用。 发新产品的成绩的平均 数 和 方 差,并 比 较 甲、
事件的概率、独立重复试 验、条 件 概 率 的 基 本
(a,b),(a,b),(a,b)。其中a,a 分 别 表 示 甲
概率公式,以 及 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 和
组研发成 功 和 失 败;b,b 分 别 表 示 乙 组 研 发
数学期望、方差等知识;统 计 考 题 主 要 考 查 对
图2
~1.06为正常,若 1.06~1.12 为 轻 度 焦 虑,
1.12~1.20为 中 度 焦 虑,1.20 及 以 上 为 重 度
焦虑,若为中度焦虑或重 度 焦 虑,则 要 进 行 心
理疏导,若 一 个 学 生 在 距 高 考 第 二 周 时 观 测
值为103,则该学生是否需要进行心理疏导?
n
评注:本题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 意 义 以及同学 们 的 识 图、用 图 能 力。 考 查 的 核 心 素 养 是 直 观 想 象 、数 据 分 析 和 数 学 运 算 。
二、样本的数字特征
例 2 (湖南 卷)某 企 业 有 甲、乙 两 个 研
因 为 x甲 >x乙 ,s2甲 <s2乙 ,所 以 甲 组 的 研 发 水平优于乙组。
2 1- 3
2
2
×10+ 0-3
2
×5
=
2 9
。
乙组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1,0,1,1,0,
1,1,0,1,0,0,1,0,1,1。
其
平
均
数
为
x乙
9 =15=
3 5
。
方差 为
s2乙
1 = 15 ×
3 1- 5
2
3
×9+ 0-5
2
×6
=265。
率之和为(0.24+0.16)×1=0.4。 因 为 第 一 组与第二组共有20人,所 以 该 试 验 共 选 取 志 愿者020 .4=50(人 ),故 第 三 组 共 有 50×0.36 =18(人 )。 因 此,第 三 组 中 有 疗 效 的 人 数 为 18-6=12(人),选 C。
=76.5。
图3
x y =267.75,
^ b=149 51 2- -6 6× ×3 26.5 72.75≈ -8.83,^ a=76.5+ 8.83×3.5≈107.41。
线 性 回 归 方 程 为 y= -8.83x+107.41。
(3)当 x=2时,y=89.75,81 90.3 75≈1.15
注 :^ b=i∑=1∑ x n x iyi2i--nnxx2y,i∑=61xiyi =1452, i=1
6
∑xi2
=91,^ a=y-^ bx。
i=1
解 析 :(1)散 点 图 ,如 图 3 所 示 。
(2)x=
1 6
×
(6+
5+4+3+2+1)=
3.5,y=
1 6
×
(55+63
+72+80+90+99)
(2)记 E= 恰有一组研发成功 ,在 所 抽 得的15个结果中,恰有一 组 研 发 成 功 的 结 果
是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a, b),(a,b)共 7 个。 故 事 件 E 发 生 的 概 率 为
7 ,将 15
频
率
视
为概
率
,即
得
所
求
概
率
为
P(E)
=175。