指数函数图像的变换采用
指数函数的图像和性质教案设计
指数函数的图像和性质教案设计第一章：指数函数的引入1.1 生活中的实例引入通过生活中的实例，如细胞分裂、放射性衰变等，引入指数函数的概念。
引导学生观察实例中的规律，引发对指数函数的好奇心。
1.2 指数函数的定义给出指数函数的数学定义：形如f(x) = a^x 的函数，其中a 是正常数。
解释指数函数与幂函数的关系。
1.3 指数函数的图像利用数学软件或图形计算器，绘制几个简单的指数函数图像。
引导学生观察图像的形状和特点，如随着x 的增大，函数值增大或减小等。
第二章：指数函数的性质2.1 指数函数的单调性探讨指数函数的单调性，即随着x 的增大，函数值是增大还是减小。
引导学生通过观察图像或数学推理来得出结论。
2.2 指数函数的渐近行为分析指数函数在x 趋向于正无穷和负无穷时的渐近行为。
引导学生理解指数函数的快速增长和减趋行为。
2.3 指数函数的零点和极限探讨指数函数的零点，即函数值为零的x 值。
引导学生理解指数函数的极限概念，如x 趋向于某个值时函数的极限。
第三章：指数函数的应用3.1 人口增长模型利用指数函数模型描述人口增长，介绍人口增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测人口变化。
3.2 放射性衰变模型利用指数函数模型描述放射性物质的衰变过程，介绍放射性衰变的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测放射性物质的变化。
3.3 投资增长模型利用指数函数模型描述投资的复利增长，介绍投资增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测投资的变化。
第四章：指数函数的图像和性质的综合应用4.1 指数函数图像的变换探讨指数函数图像的平移、缩放等变换规律。
引导学生通过变换规律来理解和绘制更复杂的指数函数图像。
4.2 指数函数性质的综合应用结合前面的学习，解决一些综合性的问题，如求指数函数的零点、极值等。
引导学生运用指数函数的性质来解决实际问题。
第五章：复习和拓展5.1 复习指数函数的图像和性质通过复习题和小测验，巩固学生对指数函数图像和性质的理解。
指数函数的拉普拉斯变换
指数函数的拉普拉斯变换【知识文章】指数函数的拉普拉斯变换引言：指数函数是数学中常见的一类函数，其具有独特的性质和广泛的应用。
为了更深入地理解指数函数及其变换，本文将通过介绍和探讨指数函数的拉普拉斯变换来详细解析其特点和应用。
希望通过本文的阐述，读者能够对指数函数及其拉普拉斯变换有一个全面的理解，为后续的学习和应用打下基础。
一、指数函数的定义与性质：1. 指数函数的基本形式：指数函数一般可以表示为 f(x) = e^x，其中e 是自然对数的底数。
2. 指数函数的特点：指数函数具有快速增长和单调递增的特性，其曲线呈现出与 x 轴正向无穷大趋近的趋势。
3. 指数函数的应用：指数函数在自然科学、工程技术、经济学等领域有广泛的应用，如描述物质衰变、电路充电等过程。
二、拉普拉斯变换的基本概念：1. 拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是对函数进行积分变换的一种方法，可以将一个函数从时域表示转换为复频域表示。
2. 拉普拉斯变换的表达式：指数函数的拉普拉斯变换为F(s) = ∫[0,+∞]e^(-st)f(t)dt，其中 s 是复变量，F(s) 是拉普拉斯变换后的函数。
3. 拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性和积分性等基本性质，利用这些性质可以简化变换的计算过程。
三、指数函数的拉普拉斯变换及应用：1. 指数函数的拉普拉斯变换：对指数函数 f(x) = e^x 进行拉普拉斯变换，根据变换的定义，可得F(s) = ∫[0, +∞]e^(-st)e^x dx。
2. 解析过程与结果：通过对指数函数的拉普拉斯变换的详细计算和求解，可以得到 F(s) = 1 / (s-1) 的结果。
3. 应用举例：基于指数函数的拉普拉斯变换结果，我们可以在电路充电问题、衰减过程的模拟等实际应用中，利用拉普拉斯变换的特性进行计算和分析。
个人观点与理解：指数函数的拉普拉斯变换在数学和工程领域具有重要意义。
通过将指数函数从时域转换到频域，我们可以更加灵活地处理指数函数相关问题和应用。
高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质
对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于 原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的 位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的 图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等 于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算 复利问题。通过给定本金、年利 率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数 函数可用于描述连续增长的模型 。通过分析历史数据，可以估算 出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述 化学反应的动力学过程。通过分 析反应速率与反应物浓度的关系 ，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01
指数函数的z变换表达式
指数函数的z变换表达式篇一：指数函数是一种重要的数学函数,它在各个领域都有广泛的应用。
在数学中,指数函数可以通过z变换表达式进行转换。
本文将介绍指数函数的z变换表达式,并对其进行拓展。
一、指数函数的z变换表达式指数函数可以表示为f(z)=a exp(b z),其中a和b是常数,z是实数。
通过z变换,可以将指数函数转换为另一种函数。
具体来说,我们可以使用以下公式将指数函数转换为其对应的对数函数:f(z) = c exp(d z)其中,c和d是常数,a和b可以通过以下公式进行计算:a = d/b因此,我们可以使用这些公式来将指数函数转换为对应的对数函数。
具体来说,我们可以使用以下公式进行转换:exp(z) = exp((d/b) * z)其中,(d/b) * z是指数函数的z变换表达式。
二、指数函数的应用场景指数函数在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中,指数函数可以用来描述指数函数的性质和规律。
例如,指数函数可以用于描述指数对数函数的性质和规律。
在物理学中,指数函数可以用来描述各种物理现象,例如电子的电荷和速度、牛顿定律等。
三、指数函数的拓展除了指数函数本身,还有许多其他的指数函数。
例如,正弦函数可以表示为sin(z),余弦函数可以表示为cos(z)。
这些函数也都可以通过z变换表达式进行转换。
此外,还有许多其他的指数函数,例如幂函数、指数对数函数等。
指数函数是一种重要的数学函数,它在各个领域都有广泛的应用。
通过z变换,可以将指数函数转换为另一种函数,从而满足不同的应用场景。
本文介绍了指数函数的z变换表达式,并对其进行拓展。
篇二：指数函数的z变换表达式是指将指数函数的图像通过z变换的方式呈现出来的一种数学方法。
下面我们来介绍一下指数函数的z变换表达式以及如何进行z 变换。
正文:指数函数的z变换表达式是指将指数函数的图像通过z变换的方式呈现出来的一种数学方法。
具体来说,指数函数的z变换表达式可以表示为:f(z) = aexp(z)其中,a是函数的常数,exp(z)是指数函数的图像,z是z变换的参数。
指数函数图像的变换(采用)ppt课件
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。
本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。
一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。
1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。
例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。
这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。
2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。
例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。
这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。
3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。
无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。
这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。
通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。
二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。
1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。
2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。
3. 指数函数具有幂运算的性质。
即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。
指数函数与对数函数的像与变换了解指数函数与对数函数的像及其变换规律
指数函数与对数函数的像与变换了解指数函数与对数函数的像及其变换规律指数函数和对数函数是高中数学中常见的两类函数。
它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将探讨指数函数和对数函数的像以及它们的变换规律，并说明它们之间的关系。
一、指数函数的像及其变换规律1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数的自变量来表示的函数，常见的指数函数形式可以写作y=a^x，其中a为底数，x为自变量。
指数函数在实数范围内都有定义。
2. 指数函数的像指数函数的像是指函数图像上的所有纵坐标的值。
根据指数函数的特性，当自变量趋近于负无穷大时，函数的值趋近于0；当自变量趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大。
3. 指数函数的变换规律指数函数的变换可以通过更改底数、指数或者两者同时变化来实现。
当底数a大于1时，函数图像呈现逐渐增大的趋势；当0<a<1时，函数图像呈现逐渐减小的趋势。
指数函数的图像可以通过平移、压缩或拉伸来进行变换，其中平移是指整体向左或向右移动，压缩是指图像变窄，拉伸是指图像变宽。
二、对数函数的像及其变换规律1. 对数函数的定义对数函数是指以一个正实数为底，将正实数x映射为满足a^y=x的实数y。
对数函数的常见表示形式为y=logₐ(x)，其中a为底数，x为正实数。
2. 对数函数的像对数函数的像是指函数图像上的所有纵坐标的值。
根据对数函数的定义，当自变量x为1时，函数的值为0；当自变量x为正无穷大时，函数的值也趋近于正无穷大。
3. 对数函数的变换规律对数函数的变换可以通过更改底数、自变量或者两者同时变化来实现。
当底数a大于1时，函数图像呈现逐渐增大的趋势；当0<a<1时，函数图像呈现逐渐减小的趋势。
对数函数的图像可以进行平移、压缩或拉伸的变换，其中平移可以实现整体向左或向右移动，压缩可以使图像变窄，拉伸可以使图像变宽。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
即如果y=a^x，则x=logₐ(y)。
指数函数像变换
指数函数像变换指数函数是数学中一种重要的函数类型，广泛应用于各个领域中，如科学、工程、经济等。
它具有很多特殊的性质和变换规律，本文将详细介绍指数函数的变换规律。
一、指数函数的基本形式指数函数的一般形式可以表示为 f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，可以是实数或复数。
指数函数的图像呈现出明显的特征，随着x 值的增大或减小，函数值也相应地增大或减小。
二、指数函数的变换指数函数的变换主要包括平移、伸缩和翻折等操作。
下面将分别介绍这些变换规律。
1. 平移变换当指数函数的x值增加或减小一个常数时，函数的图像将在横坐标上发生平移。
设原函数为f(x)，平移量为h，则平移后的函数可以表示为f(x - h)。
平移量为正数时，图像向右平移；平移量为负数时，图像向左平移。
2. 伸缩变换指数函数的伸缩变换需要考虑到底数a的值。
当底数a的绝对值大于1时，函数图像呈现出纵向的伸缩；当底数a的绝对值在0和1之间时，函数图像呈现出纵向的压缩。
具体而言，伸缩因子为k时，函数可以表示为f(kx)。
当k大于1时，函数图像纵向拉伸；当k在0和1之间时，函数图像纵向压缩。
3. 翻折变换指数函数的翻折变换可以通过改变底数的正负值来实现。
当底数a为正时，函数图像在x轴上方；而当底数a为负时，函数图像在x轴下方。
三、指数函数变换的实例为了更好地理解指数函数的变换规律，下面将给出一些实际的例子。
1. 平移变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，在横坐标上平移2个单位，则平移后的函数为f(x - 2)。
2. 伸缩变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，对函数进行纵向拉伸，伸缩因子为2，则变换后的函数为f(2x)。
3. 翻折变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，通过改变底数的正负值实现翻折变换。
当底数a为正时，函数在x轴上方；当底数a为负时，函数在x轴下方。
例如，取负底数进行翻折变换后的函数为f(x) = (-2)^x。
通过以上的例子，我们可以看到不同的变换方式对指数函数图像的影响。
对数函数与指数函数的函数变换
对数函数与指数函数的函数变换函数变换是数学中非常重要的一部分内容，它描述了一个函数如何通过改变自变量或者函数表达式来得到新的函数形式。
在函数变换的研究中，对数函数与指数函数是两个非常重要的函数类型。
它们在不同的领域和应用中都具有重要的作用，而它们之间的函数变换关系也有很多值得探讨的地方。
一、指数函数的函数变换指数函数是以指数为自变量的函数，通常的形式可以表示为f(x) =a^x，其中a为常数。
指数函数具有许多特殊的性质和变换规律，下面我们将针对指数函数的几种常见变换进行详细讨论。
1. 平移变换平移变换是一种常见的函数变换方式，它可以将函数图像在横轴或纵轴方向上平移一定的距离。
对于指数函数而言，平移变换可以表示为f(x) = a^(x-h) + k，其中h和k分别表示横轴和纵轴方向上的平移距离。
当h和k为正值时，函数图像向右平移h个单位，向上平移k个单位；当h和k为负值时，函数图像向左平移|h|个单位，向下平移|k|个单位。
2. 缩放变换缩放变换是一种改变函数图像尺寸的变换方式。
对于指数函数而言，缩放变换可以表示为f(x) = b*a^x，其中a为常数，b为比例系数。
当b大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸，当0<b<1时，函数图像在纵轴方向上被压缩；当a大于1时，函数图像在横轴方向上被压缩，当0<a<1时，函数图像在横轴方向上被拉伸。
3. 翻转变换翻转变换是一种改变函数图像方向的变换方式。
对于指数函数而言，翻转变换可以表示为f(x) = a^(-x)，即以y轴为对称轴进行翻转。
翻转变换后，函数图像关于y轴对称，即对于任意的x值，f(-x) = f(x)。
二、对数函数的函数变换对数函数是以对数为自变量的函数，通常的形式可以表示为f(x) = logₐx，其中a为底数。
对数函数也具有许多特殊的性质和变换规律，下面我们将针对对数函数的几种常见变换进行详细讨论。
1. 平移变换对数函数的平移变换可以表示为f(x) = logₐ(x-h) + k，其中h和k表示横轴和纵轴方向上的平移距离。
指数函数图像的变换
y
y 1 x 2
底 大 图 低
y 1 x 3
在第一象限沿 箭头方向底增
大
y 3x y 2x
底 大 图 高
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
函数图象的变换
本节课主要研究函数图象的变换，得出y=f(x)与 y=f(-x), y=-f(x), y=f(|x|), y=|f(x)|的图象关系；并能 够通过y=f(x)图象的对称和翻折得出其余四个函数 图象。
（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=2x-2
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
x
y=a(a=0) 有两个交点
-4
课堂训练
f ( x) x2 4x 3 函数的单调增区间 为
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函
数的图象？
y y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2
（3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(|x|) y=|f(x)|
f
(|
x
|)
f (x),(x 0) f (x),(x 0)
y
f (x)
f
(x), f (x) f (x), f (x)
0； 0.
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
翻折变换
小结：
1、y=f(x)y=f(|x|)，将y=f(x)图象 在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左 侧，并保留y轴右侧部分。 2、 y=f(x)y=|f(x)|，将y=f(x)图象 在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上 侧，并保留x轴上侧部分。
指数函数的图像与性质教案
指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。
2. 能够绘制和分析指数函数的图像。
3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。
2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。
(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。
(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。
3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。
(2) 指数函数的值域为正实数。
(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。
2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。
3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。
四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。
2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。
3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。
五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。
2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。
3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。
六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。
2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。
3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是高中数学中的重要概念，是实数范围内的一类特殊函数。
指数函数的图像和性质对于深入理解数学和应用到实际问题中都有很大帮助。
在本文中，我们将讨论指数函数的图像和性质，以便读者能够更好地理解这一概念。
一、指数函数的定义指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0，x为自变量，y为因变量。
其中，a被称为底数，x被称为指数，a和x可以是正数、负数或零。
在指数函数中，底数为正数时，函数值随着指数的增大而变得非常大，函数图像呈指数增长趋势。
底数为1时，函数值始终为1。
底数为小于1的正数时，函数值随着指数的增大而逐渐变小，函数图像呈指数衰减趋势。
底数为负数时，函数图像具有各种特殊性质，需要进行特殊的讨论。
因此，在指数函数的图像和性质中，底数的符号和大小都是重要的因素。
二、指数函数的图像为了更好地理解指数函数的图像，我们可以分别讨论不同底数的指数函数。
1.底数a>1的指数函数当底数a>1时，指数函数呈现指数增长趋势。
例如，y=2^x的函数图像如下所示：（插入一张y=2^x的函数图像）当x等于0时，函数值为1。
随着x的增大，函数的值也增大，但增长速度越来越快。
当x趋近于正无穷小和负无穷时，函数值逐渐趋近于0。
2.底数a=1的指数函数当底数为1时，函数值始终为1，函数图像是一条直线。
例如，y=1^x的函数图像如下所示：（插入一张y=1^x的函数图像）3.底数0<a<1的指数函数当底数0<a<1时，指数函数呈现指数衰减趋势。
例如，y=(1/2)^x的函数图像如下所示：（插入一张y=(1/2)^x的函数图像）当x等于0时，函数值为1。
随着x的增大，函数的值也减小，但衰减速度越来越慢。
当x趋近于正无穷时，函数值逐渐趋近于0。
4.底数a<0的指数函数当底数为负数时，函数图像具有各种特殊性质，需要进行特殊的讨论。
例如，y=(-2)^x的函数图像如下所示：（插入一张y=(-2)^x的函数图像）可以看出，当x为奇数时，函数值为负数，当x为偶数时，函数值为正数。
高中数学中的指数函数与对数函数的图像
高中数学中的指数函数与对数函数的图像在高中数学中，指数函数和对数函数是非常重要的概念。
它们在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数和对数函数的图像特点及其应用。
指数函数是一种以指数为变量的函数，其一般形式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像特点如下：1. 当a>1时，指数函数的图像呈现递增趋势。
随着x的增大，y的值也会增大，增长速度越来越快。
2. 当0<a<1时，指数函数的图像呈现递减趋势。
随着x的增大，y的值会减小，但减小速度逐渐变慢。
3. 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线，y的值始终为1。
4. 当x=0时，指数函数的值始终为1。
指数函数在实际应用中有着广泛的应用，例如在生物学中，指数函数可以用来模拟生物种群的增长；在物理学中，指数函数可以用来描述放射性衰变的过程。
与指数函数相对应的是对数函数。
对数函数是指数函数的逆运算，其一般形式为y=loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
对数函数的图像特点如下：1. 当x>1时，对数函数的图像呈现递增趋势。
随着x的增大，y的值也会增大，但增长速度逐渐变慢。
2. 当0<x<1时，对数函数的图像呈现递减趋势。
随着x的增大，y的值会减小，但减小速度越来越慢。
3. 当x=1时，对数函数的值始终为0。
4. 当x=0时，对数函数无定义。
对数函数在实际应用中也有着广泛的应用，例如在经济学中，对数函数可以用来描述货币贬值的过程；在计算机科学中，对数函数可以用来衡量算法的复杂度。
指数函数和对数函数有着密切的关系。
它们是互为反函数的关系，即指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。
这意味着，如果我们知道了指数函数的图像，就可以通过对数函数得到相应的值；反之亦然。
在绘制指数函数和对数函数的图像时，我们可以利用计算机软件或者计算器来辅助完成。
通过输入函数的表达式和一组x的取值范围，我们可以得到相应的y值，并将这些点连成曲线，从而得到函数的图像。
高中数学指数函数与对数函数的图像分析与变换
高中数学指数函数与对数函数的图像分析与变换一、指数函数的图像分析与变换指数函数是高中数学中的重要概念，其图像具有特殊的特点和变化规律。
在学习指数函数的图像分析与变换时，我们需要掌握以下几个关键点。
1. 基本指数函数的图像特点基本指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的实数。
当a>1时，函数呈现递增趋势；当0<a<1时，函数呈现递减趋势。
此外，指数函数的图像都经过点(0,1)，且在x轴的左侧无限趋近于0，而在x轴的右侧无限趋近于正无穷或负无穷。
2. 指数函数的平移与伸缩指数函数的平移与伸缩是指在基本指数函数的图像上进行的变换。
对于平移变换，我们可以通过改变指数函数的表达式中的常数项来实现。
例如，对于函数f(x) = 2^x，若将其平移2个单位向左，则变为f(x+2) = 2^(x+2)；若将其平移3个单位向上，则变为f(x) + 3 = 2^x + 3。
对于伸缩变换，我们可以通过改变指数函数的表达式中的系数来实现。
例如，对于函数f(x) = 2^x，若将其沿x轴方向伸缩为原来的一半，则变为f(x) = (1/2)^x；若将其沿y轴方向伸缩为原来的两倍，则变为f(x)= 2^(2x)。
3. 指数函数的反函数与对称轴指数函数与对数函数是互为反函数的关系。
指数函数的反函数即对数函数，对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于0且不等于1的实数。
指数函数与对数函数的图像关于直线y = x对称，即指数函数的图像在对数函数的图像上翻转。
二、对数函数的图像分析与变换对数函数是高中数学中的另一个重要概念，其图像也具有特殊的特点和变化规律。
在学习对数函数的图像分析与变换时，我们需要掌握以下几个关键点。
1. 基本对数函数的图像特点基本对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于0且不等于1的实数。
对数函数的图像都经过点(1,0)，且在x轴的左侧无定义，而在x轴的右侧无限趋近于正无穷。
高一数学必修一 - 函数图像知识点总结
高一数学必修一 - 函数图像知识点总结函数图像是数学中的重要概念，它能帮助我们更直观地理解数学函数的特点和行为。
以下是高一数学必修一中与函数图像相关的知识点总结。
1. 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数通常用符号表示为“y = f(x)”，其中x是自变量，y是因变量。
函数图像是函数在平面直角坐标系上的图形表示。
2. 函数图像的基本性质函数图像的基本性质包括定义域、值域、奇偶性和周期性。
- 定义域：函数的自变量取值范围。
- 值域：函数的因变量取值范围。
- 奇偶性：函数关于y轴对称或关于原点对称。
- 周期性：函数图像在横轴方向上的重复性。
3. 常见函数图像高一数学必修一中常见的函数图像有直线、二次函数、指数函数和对数函数。
- 直线：线性函数图像为一条直线，表达式一般为“y = kx + b”，其中k为斜率，b为截距。
- 二次函数：二次函数图像为抛物线，表达式一般为“y = ax^2+ bx + c”，其中a、b、c为常数。
- 指数函数：指数函数图像是以底数大于1的指数为自变量的函数图像。
- 对数函数：对数函数图像是指数函数的反函数，用于解指数方程和指数不等式。
4. 函数图像的变换函数图像可以通过平移、伸缩和翻转等变换得到新的函数图像。
- 平移：将函数图像沿着横轴或纵轴平行地移动。
- 伸缩：将函数图像在横轴或纵轴上进行拉伸或压缩。
- 翻转：将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。
5. 函数图像的应用函数图像在实际应用中有广泛的应用，例如经济学中的需求曲线、物理学中的运动曲线等。
以上是高一数学必修一中与函数图像相关的知识点总结。
希望这份总结能够帮助你更好地理解和应用函数图像。
指数函数的图像及性质的应用
例4.讨论函数 的单调性,并求其值域.
任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
解:
则
复合函数的单调性
所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
解：
例7.求证函数 是奇函数
证明：函数的定义域为R,
所以f(x)在R上是奇函数.
01
02
03
指数形式的复合函数的奇偶性
利用 f(0)= 0
1
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
2
设a是实数, (2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
02
复合函数：
复合函数的单调性
内u=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
外y=f(u)
增函数
减函数
减函数
增函数
复y=f[g(x)]
规律： 当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减”
增函数
增函数
减函数
减函数
“异”“同” 指内外函数单调性的异同
3
∴ a = 1.
4
变式练习
练习：
的定义域均为R
变式 1 、 函数 的单调增区间是
2、函数 的增区间为 ________. 值域为_________.
(－∞,1]
(0,81]
B
指数形式的复合函数的定义域与值域
2
O
x
y
7
6
5
4
3
2
指数函数的像转换
指数函数的像转换指数函数（Exponential Function）是数学中一种重要的特殊函数。
它具有广泛的应用范围，涵盖了许多领域，如自然科学、工程技术、经济学等。
指数函数的像转换是指在指数函数的图像上，通过对函数进行变换，改变原始函数图像的特征和形态。
本文将详细探讨指数函数的像转换的相关内容。
一、指数函数的基本形式和特点首先，我们来回顾指数函数的基本形式。
一般而言，指数函数的形式可以表示为：f(x) = a^x其中，a为常数，称为底数(base)，x为自变量。
指数函数的图像一般是一个在y轴正半轴上递增或递减的曲线，具体形态和特点取决于底数a的取值。
1. 当底数a大于1时，指数函数的图像是递增的。
随着自变量x的增大，函数值也不断增大，形成从左下到右上的曲线。
2. 当底数a等于1时，指数函数的图像是水平直线y=1。
这是因为任何数的1次方均为1，所以函数值始终保持不变。
3. 当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像是递减的。
随着自变量x的增大，函数值不断减小，形成从左上到右下的曲线。
基于以上基本形式和特点，我们可以进行指数函数的像转换。
二、指数函数图像的平移指数函数图像的平移主要包括横向平移和纵向平移两种情况。
在进行平移时，我们可以利用函数中的变量进行调整，从而改变函数图像的位置。
1. 横向平移横向平移是通过改变自变量x来实现的。
当指数函数的自变量x加上常数h时，函数的图像将向左移动h个单位；当自变量x减去常数h 时，函数的图像将向右移动h个单位。
这里的常数h称为横向平移量。
例如对于指数函数f(x) = 3^x，若我们将自变量x加上2，则指数函数变为f(x+2) = 3^(x+2)。
这样，原来的函数图像将向左平移2个单位。
2. 纵向平移纵向平移是通过改变函数值来实现的。
当指数函数的函数值加上常数k时，函数的图像将向上移动k个单位；当函数值减去常数k时，函数的图像将向下移动k个单位。
这里的常数k称为纵向平移量。
指数函数的图像及应用教案
指数函数的图像及应用教案指数函数是数学中的一种重要的函数类型，其函数表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，x为自变量，y为函数的值。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数的值也会呈现出快速增长或快速减小的情况。
在本文中，我们将重点介绍指数函数的图像和应用。
一、指数函数的图像1. 当a大于1时，指数函数的图像呈现出递增的趋势。
例如，当a=2时，指数函数y = 2^x的图像如下：x -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4从图中可以看出，随着自变量x的增大，函数的值y也会呈现出较快的增长，形成一个逐渐向上的曲线。
2. 当a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现出递减的趋势。
例如，当a=1/2时，指数函数y = (1/2)^x的图像如下：x -2 -1 0 1 2y 4 2 1 1/2 1/4从图中可以看出，随着自变量x的增大，函数的值y会呈现出较快的减小，形成一个逐渐向下的曲线。
3. 当a等于1时，指数函数的图像为一条水平直线y=1，因为任何数的1次方都等于1，所以函数的值始终为1。
二、指数函数的应用指数函数在数学中有许多重要的应用，以下是其中一些常见的应用示例：1. 经济增长模型在经济学中，指数函数常被用于描述经济增长的过程。
例如，人口增长模型中经常使用指数函数来描述人口随时间的增长。
指数函数的特性使得人口在某些情况下会呈现出爆炸式增长，这对于制定政府的人口政策和规划社会资源分配具有重要的指导意义。
2. 化学反应速率模型在化学中，许多反应速率都符合指数函数的模型。
指数函数可以描述反应物浓度与反应速率之间的关系。
例如，放射性衰变过程中的半衰期可以通过指数函数来描述。
3. 财务管理与复利计算复利是指每期的利息还会产生新的利息，所以总金额并不是简单地原始金额加上利息，而是以指数函数的形式增长。
复利计算在财务管理中十分常见，可以用来计算投资的回报率、贷款的利息等。
4. 生物学模型在生物学中，指数函数可以用来描述生物种群的生长模式。
指数函数与对数函数的像变换
指数函数与对数函数的像变换在数学的奇妙世界里，指数函数与对数函数是一对重要的“伙伴”，它们的像变换更是蕴含着丰富的知识和规律。
让我们先来认识一下指数函数。
指数函数的一般形式为＄y ＝a^x$（＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
当＄a ＞ 1$ 时，函数单调递增，图像从左至右逐渐上升；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，函数单调递减，图像从左至右逐渐下降。
指数函数的图像恒过点＄（0,1)＄，这是一个非常关键的特征点。
接下来看看对数函数，它的一般形式为＄y ＝＼log_a x$（＄a ＞0$ 且＄a ≠ 1$）。
对数函数是指数函数的反函数，它们的图像关于直线＄y ＝ x$ 对称。
当＄a ＞ 1$ 时，对数函数单调递增；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，对数函数单调递减。
对数函数的定义域为＄（0, ＋＼infty)＄，值域为＄R$，它的图像恒过点＄（1,0)＄。
那么，指数函数与对数函数的像变换究竟是怎么回事呢？先说说平移变换。
对于指数函数＄y ＝ a^｛x ＋ h} ＋ k$ （＄h$，＄k$ 为常数），当＄h ＞ 0$ 时，图像向左平移＄h$ 个单位；当＄h ＜ 0$ 时，图像向右平移＄｜h|＄个单位。
当＄k ＞ 0$ 时，图像向上平移＄k$ 个单位；当＄k ＜ 0$ 时，图像向下平移＄｜k|＄个单位。
同样地，对于对数函数＄y ＝＼log_a （x ＋ h) ＋ k$ ，平移规律也是类似的。
再看看伸缩变换。
对于指数函数＄y ＝ b ＼cdot a^x$ （＄b ＞ 0$），当＄b ＞ 1$ 时，图像沿＄y$ 轴方向伸长为原来的＄b$ 倍；当＄0 ＜b ＜ 1$ 时，图像沿＄y$ 轴方向压缩为原来的＄b$ 倍。
对于对数函数＄y ＝ b ＼cdot ＼log_a x$ ，伸缩规律也是如此。
反射变换在像变换中也很常见。
对于指数函数＄y ＝ a^x$ ，其图像是将原指数函数的图像沿＄x$ 轴翻转得到的。
而对于对数函数＄y＝＼log_a x$ ，也是将原对数函数的图像沿＄x$ 轴翻转。
例析指数函数的图像与性质问题
ʏ欧阳亮指数函数是高中数学的重要内容,也是高考的考查重点㊂下面举例分析指数函数的图像与性质的常见题型,供大家学习与提高㊂题型1:根据函数判断图像例1已知1>n>m>0,则指数函数:①y=m x,②y=n x的图像为()㊂解:由0<m<n<1,可知y=m x与y= n x都是减函数,排除A,B㊂对于C,D,作直线x=1与两个图像相交,交点在下面的是函数y=m x的图像㊂应选C㊂评注:识别函数图像可从以下几个方面入手:(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置,从函数的值域,判断图像的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性;(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复;(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像㊂题型2:函数的图像恒过定点例2函数f(x)=a x-2021+2022(a> 0,且aʂ1)恒过的定点为㊂解:函数y=a x(a>0,且aʂ1)的图像恒过定点(0,1)㊂令x-2021=0得x= 2021,所以f(2021)=1+2022=2023㊂故函数f(x)=a x-2021+2022(a>0,且aʂ1)恒过定点为(2021,2023)㊂评注:本题也可令a=2和a=4,得到两个关于x,y的方程,解出方程组可得图像经过的定点坐标㊂题型3:求参数的取值范围例3若分段函数f(x)=a(x-1)+1,x<-1,a-x,xȡ-1{(a>0,且aʂ1)是R上的单调函数,则实数a的取值范围是()㊂A.0,13() B.13,1()C.0,13(]D.13,1[)解:当a>1时,f(x)在(-ɕ,-1)上是增函数,在[-1,+ɕ)上是减函数,则函数f(x)在R上不是单调函数,可知a>1不合题意;当0<a<1时,f(x)在(-ɕ,-1)上是增函数,在[-1,+ɕ)上是增函数㊂因为f(x)在R上是单调函数,所以a(-1-1)+1ɤa-(-1),解得aȡ13㊂又0< a<1,所以13ɤa<1㊂应选D㊂评注:对数函数的底数中含有参数,解题时要注意分类讨论,且分类要全面,做到不重不漏㊂题型4:利用图像比较大小例4已知实数a,b满足等式2a=3b,给出下列五个关系式:①0<b<a,②a<b< 0,③0<a<b,④b<a<0,⑤a=b㊂所有可能成立的关系式的序号为㊂解:在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x,g(x)=3x的图像,如图1所示㊂图1由图可知,当直线A B位于y=1下方5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年11月Copyright©博看网. All Rights Reserved.时,交点A,B的函数值相等(2a=3b),但a< b<0,②正确㊂当直线C D位于y=1上方时,交点C,D的函数值相等(2a=3b),但0< b<a,①正确㊂当a=b=0时,2a=3b=1,⑤正确㊂答案为①②⑤㊂评注:比较指数式的大小的两种方法:当底数相同时,运用指数函数的单调性求解;当底数不同时,利用一个中间量做比较进行求解,或借助于同一坐标系中的图像求解㊂题型5:指数函数图像的平移变换例5为了得到函数y=e x-3+1的图像,只需把函数y=e x的图像上所有的点()㊂A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度解:函数y=e x的图像向右平移3个单位长度到得函数y=e x-3的图像,再向上平移1个单位长度得到函数y=e x-3+1的图像㊂应选A㊂评注:把y=f(x)的图像向左平移a (a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)的图像;把y=f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x-a)的图像;把y=f(x)的图像向上平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x)+a的图像;把y= f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x)-a的图像㊂题型6:求函数的单调区间例6函数f(x)=13()-x2+2x+1的单调减区间为㊂解:设u=-x2+2x+1㊂因为函数y= 13()u在R上为减函数,所以f(x)= 13()-x2+2x+1的减区间即为函数u=-x2+ 2x+1的增区间㊂又因为u=-x2+2x+1的增区间为(-ɕ,1],所以函数f(x)的减区间为(-ɕ,1]㊂评注:求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域㊁单调区间㊁最值等问题时,都要借助 同增异减 的法则进行判断㊂1.若函数y=a x+b-1(a>0,且aʂ1)的图像经过第二㊁三㊁四象限,则一定有()㊂A.0<a<1,且b>0B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0D.a>1,且b<0提示:由题意得0<a<1,f(0)<0,{由此代入得0<a<1,1+b-1<0,{所以0<a<1,b<0㊂{应选C㊂2.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+ 1),且当xɪ[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=110()x在xɪ[0,4]上解的个数是㊂提示:由f(x-1)=f(x+1),把x用x+1替代得f(x)=f(x+2),可知函数f(x)的周期T=2㊂当xɪ[0,1]时,f(x)=x,由f(x)是偶函数且周期为2,可作出函数f(x)的图像以及函数y=110()x的图像,如图2所示㊂图2由图可知,关于x的方程f(x)=110()x 在xɪ[0,4]上解的个数是4㊂编者注:本文依托于河南省教育科学 十三五 规划课题 新课程理念下中学生批判性思维能力培养策略研究 ,编号:2020Z J30㊂作者单位:河南大学附属中学(责任编辑郭正华)6数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年11月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
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x
的草图 .
y 0.2
x
y
y 0.4 x
y 3x
y 2x
1
2.比较下列两个数的大小 O x
3
(1) 5 ,3 ; (3) 5
1.1
3.1
3.1
(2) 0.2 ,0.5 ;
-3
3.1
3.1
,3
1.1
(4) 0.2 ,0.3
二、指数函数变换： 例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它 x 们与指数函数 y 2 的图象的关系. (1) y 2 x 1与y 2 x 2 (2) y 2 x1与y 2 x 2 解：⑴作出图像，显示出函数数据表 x
一、a对指数函数影响： 在同一个坐标系中画出函数 y 2 与y 3 的图像，比较两个函数增长的快慢：（几何画板展示）
实践一
x
x
任意两个指数函数y a 与y b 当a b 1时，同一取值 x下： x x (1)当x 0时，总有 a b 1; x x (2)当x 0时，总有a b 1;
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
同一x下，比较y a 与y b 的大小方法：
x x
x
x正半轴（即 x 0），同一 x下，a越大，y a 的值越大； x负半轴（即 x 0），同一 x下，a越大，y a 的值越小 .
x
学生训练
1.在同一坐标系中画出 y 2 ，y 3 , y 0.2 与y 0.4
推广到广泛函数变换： y=f(x) 函数 y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x) y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x) y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
x
2
2
x 1
2 x2
-3 -2 0.125 0.25 0.25 0.5 0.5 1
-1 0.5 1 2
0 1 2 4
1 2 4 8
2 4 8 16
3 8 16 32
比较函数 y
2
x
、y
2
x 1
与
y2
x2
的关系：
y2 y2
x x
向左平行移动1个单位长度 向左平行移动2个单位长度
y2
y2
x
与
y2
x m
的关系
y2 y2
x 向右平行移动m个单位长度 x 向左平行移动|m|个单位长度
y2 y2
x m x m
a决定开口方向及大小； h 0, x往左移h单位，h 0, x往右移 h 单位； k 0, y往上移k单位，k 0, y往下移 k 单位.
推广:比较函数 y f ( x) 与 y f ( x m) 的关系
x 1 x2
y2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
y＝2x
y＝2x＋1
● ●
y＝ 2x +2
4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
x
例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它 x 们与指数函数 y 2 的图象的关系. x 1 x2 x 1 x 2 (1) y 2 与y 2 (2) y 2 与y 2
x
x
(3)当x 0时，总有a x b x 1;
特别当x>0时，指数函数的底数越大，函数值增长越快
如x 0下,3 2 .
x x
即a>1时，a越大，图像越“陡”.
任意两个指数函数y a x与y b x 当0 a b 1时，同一取值 x下：
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 画出 y 0.2 , y 0.3 与y 0.5 图像， 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
x 2
的关系：
y2
y2
x
x
向右平行移动1个单位长度 向右平行移动2个单位长度 y 8 7 6 5 4 3 2 1
y2
x 1
y2
x 2
y＝2x
● ●
y＝2x-1
● ●
● ●
●
y＝ 2x －2
x
●
●
●
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
小结:比较函数 当m>0时, 当m<0时,
解:⑵作出图像，显示出函数数据表 x
x
2 x 1 2 x 2
2
-3 0.125 0.625 0.3125
-2 0.25 0.125 0.625
-1 0.5 0.25 0.125
0 1 0.5 0.25
1 2 1 0.5
2 4 2 1
3 8 4 2
比较函数 y
2 、y 2
x
x 1
与
y2
默写
y a (a 0且a 1) 的图象和性质
x
a>1
图 象 性 质
0<a<1
y a (a 0且a 1) 的图象和性质
x
a>1
图 1 o
y
0<a<1 y 1 x o x
象 性
(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）
质 （4）在 R上是增函数
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在R上是减函数
y a 中, 指数x与底数a满足以下规律：
(1)当x 0时，总有 1 b a ;
x x
(2)当x 0时，总有a x b x 1; (3)当x 0时，总有 0 a x b x 1;
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
ya 综上总结，
x
中, 指数x与底数a满足以下规律：
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
y f ( x m)
当m<0时, y f ( x) 向右平行移动|m|个单位长度 y f ( x m)
基本函数图象+变换 y=f(x) 函数 y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x) y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x) y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.