高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第十章 圆锥曲线与方程 §10.6 圆锥曲线的综合问题

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过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|· |PQ|的最大值.
解析
本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基
本思想方法和运算求解能力.
1 1 4 =x- (1)设直线AP的斜率为k,k= , 1 2 x 2 1 3 因为- <x< ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). 2 2
在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)· (a1-a2)cos 60°=4c2,
2 整理得 =4c2, a12 +3 a2
2 a12 3a2 1 3 所以 + =4,即 2 + 2 =4. 2 2 c e1 e2 c
设a= ,
e1
1
m
m
1 1
e2 max
4 3 .故选A. = 3
评析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质;考查了利用不等式和函数求最值的基本
方法.本题对运算能力的要求较高.
3.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A x . , ,抛物线上的点P(x,y) , ,B 2 2 2 4 2 4
高考数学
(浙江专用)
第十章 圆锥曲线与方程
§10.6 圆锥曲线的综合问题
五年高考
考点 圆锥曲线的综合问题
x2 2 1.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆 10 +y =1上的点,则P,Q两点间的最大距离是
(
)
B. 46 + 2 D C.7+ 2 D.6 2
A.5 2 答案
x2
1 1 kx y k 0, 2 4 (2)解法一:联立直线AP与BQ的方程 x ky 9 k 3 0, 4 2 2 k 4k 3 解得点Q的横坐标是xQ= . 2(k 2 1)
1 2 因为|PA|= 1 k 2 x = 1 k (k+1), 2
3 3 ,b= 1, , e2 3
4 4 3 1 1 1 1 4 3 ,故选A. 1 3 × 1 = × ∴ + =a· b≤|a|· |b|= = ,故 + 的最大值是 1 2 4 2
e1
e2
e1
e2
3
3
3
e1
e2
3
解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的
2
2
2
2
2
2

2

4
4
2
16
2
16
3 2 3 1 3 ∴|AP|· |PQ|=-x4+ x +x+ x . 2
16 2
2
3 2 3 1 3 设f(x)=-x4+ x +x+ x , 2
10 cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 设Q(
( 10 cos θ 0)2 (sin θ 6)2 则|MQ|=
10cos2θ sin2θ 12sin θ 36 =
9sin2θ 12sin θ 46 =
2 2 = 9 sin θ 50 ≤5 2 当sin θ 时取等号 , 3 3
a1 a2 = 1 = 1 + 长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则
e1
e2
c
e1
mn mn 2 2 4 1 1 m2 m 3 4m 2 n n 2 2 = .∴ = = n 2 n ,易知 - +1的最小值为 .故 2 = 2 2 c m n mn 1 c 4 m m e1 e2 c
2
故|PQ|max=5 2 + 2 =6 2 .
2.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2= , 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( A.
4 3 3
3
)
B.
2 3 3
C.3
D.2
答案
A
x2 y 2 x2 y 2 解法一:设椭圆方程为 2 + 2 =1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为 2 - 2 =1(a2>0, a1 b1 a2 b2
(k 1)(k 1) , |PQ|= 1 k 2 (xQ-x)=-
2
所以|PA|· |PQ|=-(k-1)(k+1)3,
k 2 1
令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f '(k)=-(4k-2)(k+1)2,
所以f(k)在区间 时,|PA|· |PQ|取得最大值 . 1, 上单调递增, ,1 上单调递减,因此当k= 2 2 2 16


1
1
1
27
解法二:如图,连接BP,|AP|· |PQ|=|AP|· |PB|· cos∠BPQ= (AB -AP )=AP · -AP . AP · AB
3 1 易知P(x,x2) x , 2 2
1 1 1 4 1 2 1 5 1 2 1 2 4 1 2 AP · AB =2x+1+2x2- 则 =2x2+2x+ , + = x + x + + x x + = x + x +x+ . AP = x x
b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左、右焦 点,则易知 解得
| PF1 | | PF2 | 2a1 , | PF1 | | PF2 | 2a2 ,
| PF1 | a1 a2 , | PF2 | a1 a2 .