湖南省长沙铁路第一中学2024届高三下学期期中考试数学试题

湖南省长沙铁路第一中学2024届高三下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}92,3A x x B x x =->=∣
∣ ，则A B = （）
A ．[)3,7
B ．()
3,7C ．[)
3,+∞D ．()
7,+∞2．若|86i |
2i
z -=
-，则z 在复平面内对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限3．定义在R 上的函数()f x 是偶函数的一个必要不充分条件为（）
A ．(0)0
f =B ．(2)(2)
f f -=C ．()()
f x f x -=D ．()()
f x f x =4．已知点()1,2A 在抛物线()2
:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（
）
A
B ．2
C ．3
D ．
5．在OMN 中，ON MN MO -+=
（
）
A ．0
B ．2MO
C ．2ON
D ．2OM
6．某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）
A ．90种
B ．30种
C ．14种
D ．11种
7．已知函数()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．给出下列结论：
①()f x 的最小正周期为π；②()f x 在ππ,312⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增；
③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移π
3
个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）
A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③
8．已知函数()sin cos 2x x
f x =，现有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 是周期为π的
周期函数；③()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减；④()f x 的最小值为2.其中所有正确结论的编号
是（）
A ．①③
B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7.
B ．若()
2
~1,X N σ，(2)0.2P X >=，则(01)0.3P X <<=.
C ．已知0()1P M <<，0()1P N <<，若(|)()1P M N P M +=，则M 、N 相互独立.
D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.712χ=，依据0.05α=的独立性检验（0.05 3.841χ=），可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05.
10．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面圆心，母线SA 与SB 互相垂直，SAB △的面积为2，SA 与圆锥底面所成的角为30︒，则下列说法正确的是（
）
A ．圆锥的高为1
B ．圆锥的体积为3π
C
D ．二面角S AB O --的大小为45︒
11．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（
）
A ．22142x y -=与22142x y +
=B ．22
142
x y -=与221
24y x -=C ．22142x y +=与22
1
24
x y +=D ．240y x +=与220
x y +=12．如图，圆台O 2O 2中，母线AB 与下底面所成的角为60°，BC 为上底面直径，O 2A =6O 1B =6，则（
）
A ．圆台的母线长为10
B ．圆台的侧面积为70π
C ．由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离是
D ．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4
三、填空题13．曲线1x
y x =
+在点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线方程为．
14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
78910
P x 0.10.3y
已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为.
15．将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是
.（用数字作答）
16．对任意R x ∈，不等式2
232x x a a -+-≥+恒成立，则实数a 的取值范围为
四、解答题
17．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5BD =，60CBD ∠=︒.
(1)若1
sin 4
BCD ∠=
，求CD 的长；(2)若2AD =，求cos ABD ∠.
18．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ；等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项和为n T ，已知314b a ＝，436S b +＝，317T a ＝．(1)求d 和q ；
(2)若11a ＝，q ＞0，1n n n n n
a b n c a b n +-⎧⎨⎩，为奇数，＝，为偶数，求{}n c 的前2n 项和．
19．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且焦距与长半轴相等.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)不过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A ，M 两个不同的点，连接2AF 交椭圆C 于点B ．
（i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；
（ii ）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于D ，G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.20．设()3211833
f x x x x =
---．(1)求函数()f x 的单调递减区间；
(2)若方程()(R)f x a a =∈有3个不同的实根，求a 的取值范围．
21．新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，
统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”.
30名女生成绩频数分布表：
成绩[)60,70[)
70,80[)80,90[]
90,100频数
10
10
6
4
附：()()()()2
2
()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++()
20
P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.0050.001
k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
(1)根据以上数据，完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；
男生
女生
合计
防疫标兵非防疫标兵
合计
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取4人，其中“防疫标兵”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．
22．如图，已知BC 为圆柱底面圆的直径，A 为下圆周上的动点，,AD CE 为圆柱母线．
(1)证明：平面BDE ⊥平面ABD ；
(2)若点D 到平面BCE AC =，四棱锥B ACDE -
BDE 与平面BCE 夹角的余弦值．。