新乡县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

新乡县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 方程
x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
2． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C ．
D ．
3． 已知函数f （x ）＝（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝{
a x －1，x ≤1
log a 1
x ＋1
，x ＞1
)
（
）
A ．－
B ．－141
2C ．－ D ．－345
4
4． 已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）2
()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ．
B ．
C ．
D ．
1
4
1
2
5． 已知函数f （x ）＝若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
{log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（
）
A ．（0，4）
B ．[0，4）
C ．（0，5]
D ．[0，5]
7． 已知的终边过点，则等于（ ）()2,37tan 4πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭A ． B ．
C ．-5
D ．5
1
5
-
1
5
8． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（
）
A ．公差为a 的等差数列
B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
9． 已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C
的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
10．集合的真子集共有（ ）
{}1,2,3A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
11．在空间中，下列命题正确的是（
）
A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β12．已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
13．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
14．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是
．
16．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为
．
17有两个不等实根，则的取值范围是 ．
()23k x =-+18．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一
个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．
三、解答题
19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2
，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
20．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．
21．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
22．（本小题满分12分）
中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各
大学邀请的学生如下表所示：
大学甲乙丙丁
人数812812
从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座.
（1）求各大学抽取的人数；
（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的
概率.
23．如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，AC=BC=BD=2AE=，M 是AB 的中点．
（1）求证：CM ⊥EM ；
（2）求MC 与平面EAC 所成的角．
24．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数，．
()()2
21ln f x ax a x x =+--R a ∈⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；()y f x =()()
1,1f ()2,11a ⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围；()f x ()2,3a ⑶设，若对，，使得成立，求整数的最小值．()1
sin 8
g x x =
()10,x ∀∈+∞[]20,πx ∃∈()()122f x g x +≥a
新乡县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．　
2． 【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），
故选C ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2的方程化为标准形式，是解题的关键．　
3． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2.若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 2＝－3，∴＝，∴b ＝7.
1b ＋11b ＋118
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－，故选C.
34
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'
222()x x a f x x
++=2
()2ln 2f x a x x x
=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2
()222h x x x a =++)
,0(+∞恒成立，，故选A. 1
1
0,4
a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．5． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9.即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C.
6．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
7．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
8．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
9．【答案】D
【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，
双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c，c）B（﹣c，﹣c）
∵AB为直径的圆恰过点F2
∴F1是这个圆的圆心
∴AF1=F1F2=2c
∴c=2c，解得b=2a
∴离心率为==
故选D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．
10．【答案】C
【解析】
考点：真子集的概念.
11．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），
故选：A．
二、填空题
13．【答案】　（，0）　．
【解析】解：y′=﹣，
∴斜率k=y′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．　
14．【答案】　{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}　．
【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}
={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}
故答案为：{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
15．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
16．【答案】9
8【
解
析
】
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较
复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．)(1)(A P A P -=17．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝
⎦【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数的图象是一个半圆，
y =
()23y k x =-+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303
224
k -=
=+
，解得，所以实数的取值范围是.111]
()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤
⎥⎝⎦考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
18．【答案】 ．
【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，
所以三棱柱的体积：××1×1×2=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，
∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵
，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，
，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．　
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，
∴，
，
设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，
∴，取x=1，则，于是，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．　
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（4，2），∴log a 4=2，a=2，则g （x ）=log 2x ．…
∵函数y=f （x ）的图象与g （X ）的图象关于x 轴对称，∴
．…
（Ⅱ）∵f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），∴
，
即
，解得1＜x ＜3，
所以x 的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．　
22．【答案】（1）甲，乙，丙，丁；（2）.25
P 【解析】
试题分析：（1）从这名学生中按照分层抽样的方式抽取名学生，则各大学人数分别为甲，乙，丙，丁；4010（2）利用列举出从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的方法共有种，这来自同一所大学的取4015法共有种，再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.
试题解析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲2，乙3，丙2，丁3.
（2）设乙中3人为，丁中3人为，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为
123,,a a a 123,,b b b
，，，，，，，，，，12{,}a a 13{,}a a 11{,}a b 12{,}a b 13{,}a b 32{,}a a 12{,}b a 22{,}b a 32{,}b a 31{,}a b ，，，，，共15种，
32{,}a b 33{,}a b 12{,}b b 13{,}b b 23{,}b b 这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为.62155
P ==考点：1、分层抽样方法的应用；2、古典概型概率公式.23．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∵M 为AB 的中点，∴AM=BM=CM ，CM ⊥AB ，∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AC ，
设AM=BM=CM=1，则有AC=
，AE=AC=
，在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt △AEM 中，根据勾股定理得：EM==
，
∴EM 2+MC 2=EC 2，∴CM ⊥EM ；
（2）解：过M 作MN ⊥AC ，可得∠MCA 为MC 与平面EAC 所成的角，则MC 与平面EAC 所成的角为45°．
24．【答案】⑴⑵⑶2a =11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点f x （）y f x =（）
处的切线方程，代入点
，计算可得答案；11f （，（））211（，）（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
23，）（3）由题意得， 分析可得必有 ，对求导，2min max f x g x +≥（）（），()()215
218
f x ax a x lnx +--≥＝f x （）对分类讨论即可得答案．a 试题解析：
⑵，
()
()()211'ax x f x x
-+= 若函数在区间上单调递增，则在恒成立，
∴()f x ()2,3210y ax =-≥()2,3，得；
410{
610a a -≥∴-≥14
a ≥若函数在区间上单调递减，则在恒成立，
()f x ()2,3210y ax =-≤()2,3，得，
410{ 610a a -≤∴-≤16
a ≤综上，实数的取值范围为；
a 11,,64
⎛⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
⑶由题意得，，
()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即，
()min 158f x ∴≥()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥由，()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==当时，，则不合题意；
0a ≤()10f < 当时，由，得或（舍去），0a >()'0f x =1
2x a
=
1x =-
当时，，单调递减，1
02x a
<<()'0f x <()f x 当时，，单调递增．1
2x a
>
()'0f x >()f x ，即，()min 115
28f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭
117ln 428a a --≥整理得，，
()117
ln 2228a a -⋅≥设，，单调递增，
()1ln 2h x x x =-()2
11
02h x x x ∴=+>'()h x ∴，为偶数，
a Z ∈ 2a ∴又，，
()172ln248h =-<()17
4ln488
h =->，故整数的最小值为。

24a ∴≥a 2。