数学课堂“变”的魅力

数学课堂“变”的魅力
发表时间：2011-11-14T15:56:06.390Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2011年第21期供稿作者：高海宁
[导读] 随着素质教育的深化，教育更强调培养学生应变能力、创新能力，更注重学习向自主型、能力型、智力型、开放型转化。

摘要：变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

关键词：变式教学；数学教学；魅力
作者简介：高海宁，任教于广东省佛山市惠景中学，中学数学高级教师。

随着素质教育的深化，教育更强调培养学生应变能力、创新能力，更注重学习向自主型、能力型、智力型、开放型转化。

而全面减轻学生过重的课业负担，让学生从题海战术中走出来，更是当前教育界急需解决的一个重大课题。

作为教师，理应成为减负的坚定执行者，如何实施“减负增效”这一看似矛盾实则可行的措施，其实有很多的做法值得教师去研究、去探讨，而强化数学变式训练、优化课堂教学设计是我们达到“减负增效”，提高教学质量最有效的方法之一。

数学变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质特征，变更问题的条件或结论，转换问题的形式或内容，创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。

教师在引导学生的过程中不断地创设各种环境和变化各种条件，一步步深入引导学生深入探究问题，学生解决数学问题的能力一步步提高。

也就是说，学生在教师的帮助下得到了较大的发展。

学生不爱学数学的原因是多方面的：数学比较枯燥，比较抽象，有时比较繁难。

怎样让学生爱学数学呢？笔者主要采用寓“变”于教之中的方法，用“变”的魅力来吸引学生，促使学生爱学数学。

一、变“图形”，理解概念，触类旁通
数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多概念来源与现实世界的物理背景。

因此，概念引入教学的关键是允许学生具有具体直观的概念，使他们能够建立起抽象概念和感性经验之间的联系。

案例1：几何概念的标准和非标准的图形变式
标准图形虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制思维的灵活性，甚至不恰当地缩小概念的外延。

解决这个问题的一种有效方法是充分利用非标准形式，通过变式概念的非本质属性，突出其本质属性。

案例2：用于概念辨析的非概念图形变式
概念的内涵和外延是对立统一的。

使用“非概念变式”可以使学生划清概念与其周边概念之间的界限，明确概念的外延。

学生对数学概念的学习，需要经历辨别、比较、分化、抽象概括等过程。

当学生完成概念意义的建构和形式化定义的思维构造后，对概念意义进行反思和辨析是概念意义进一步分化和综合贯穿的必要环节。

此时，通过变式性的提问，可以让学生深刻理解数学概念的内涵和外延，促进概念的进一步同步。

而当学生对数学内涵理解不深刻或有错误时，通过变式可以使其得到解决。

二、变“解法”，拓宽思路，发展能力。

在解题教学的思维训练中，变式是一种很有效的方法。

通过变式训练，可以从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况做出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力。

解题的变式分为解题方法的变式与题型的变式。

解题方法的变式有时称为“一题多解”。

一道数学题，因思考的角度不同得到多种不同的解题思路，寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索的思维能力。

案例3：解方程：
此题在九年级总复习《一元二次方程》中出现的一道题，笔者让两个学生到黑板上板演，两位学生的解法如下：
学生1：运用求根公式。

学生2：运用配方法。

教师：同学们已经能运用所学知识解一元二次方程，非常好，你们都是用这两个方法的吗？此时有少部分学生说还有另一种做法。

学生3：运用十字相乘法。

同学们感觉学生3的解法简单、快捷，此时他们心满意足地接受了学生3的解法，然后就等待笔者出下一道题目；而笔者却提出：“你们还有其他方法解这个方程吗？”学生感到疑惑、茫然，在学生充分思考后，笔者给与了适当的点拨：“一元二次方程与哪个函数有关？”学生开始恍然大悟了。

学生4：方程的解可以看成二次函数与轴交点的横坐标。

学生5：方程的解可以看成二次函数与直线交点的横坐标。

学生6：方程的解可以看成二次函数与直线交点的横坐标。

学生7：方程的解可以看成二次函数与直线交点的横坐标。

学生8：方程的解可以看成二次函数与直线交点的横坐标。

上述五位学生的回答，让其他同学大开眼界，同时在复习一元二次方程解法的同时，把函数与方程的联系串成了链。

为了使学生继续多角度地解题，笔者再次提出：“你能用几何图形解一元二次方程吗？”此时的课堂炸开了锅，同学们的情绪高昂，方程还能用几何图形解？笔者乘胜追击，让学生回顾九年级上册阅读材料《一元二次方程的几何解法》中三国时期的数学家赵爽的解题方法和阿拉伯数学家阿尔•花拉子的解题方法。

解法9：由得到，构如图(1)所示，图中大正方形的面积是，同时大正方形的面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即。

据此易得。

解法10：由，构如图(2)所示，一方面，正方形的面积为，另一方面，它又等于。

据此同样可得。

教师：想一想，图(1)与图(2)有什么差别与联系？图(2)的方法与配方法又有什么联系？这样做，只得到了方程的一个根，为什么？
学生通过以上问题的解答，区别了解法中的异同，完善了自身思考的缺陷，同时还与学生2的解法相联系，使学生明确用几何图形解答方程时要注意的细节。

一道简单的解一元二次方程的题目，经过教师的启发和适时的点拨，学生从数、形等形式解答了本道题，使学生所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

“解需有法，解无定法”，学会“灵活应用”。

变“解法”，能摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，学生在每一次的“意料之外”和“令人震惊”之中，又一次体验到了数学的神奇、数学的美！
三、变“问题”，借题发挥，引申推广
教师在课程中常常让学生做大量试题，熟悉各种题型的解法，学生的精力多用于反复演练，无暇顾及在解题中的探究和解题后的反思。

但对同一知识点的考查往往都能命制出很多条件、结论互异的问题，数学问题的多边形往往使熟悉各种题型的学生感到无所适从。

数学题是永远做不完的。

如果善于变题，在变题中掌握一类题的解法，则会以少胜多，还培养了学生的探索精神和创造才能。

案例4：如图(1)，在△ABC外边作正△ABD和正△ACE。

求证：BE=CD。

此题在九年级总复习《几何证明》中出现的一道题，学生不难通过证明△ABE≌△ACD得到BE=CD。

接着笔者改动题目的条件，变式如下：
变式题组一：
1.如图(2)，在△ABC中的AB、AC边外作正方形ABDE、ACFG。

求证：BG=CE。

2.若把上述正方形改为正五边形、正六边形……正n边形，能否得到类似的结论？
3.若把原题中的“外边”变为“内形”，能否得到类似的结论？
当出现变式1时，学生感到有趣，纷纷动笔证明，很快就用类似的方法证得结论；当出现变式2时，学生通过观察分析，用同样的方法又证得结论；当出现变式3时，学生的思维逐渐活跃，并达到高潮：他们起初惊奇、疑惑，略加验证后便豁然开朗，学生感受到了从“变”的现象中发现“不变”的本质的解题方法。

一道数学题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不过解决了一个问题。

数学解题教学应突出探索活动，探索活动不能
只停留在对原习题解法上的探索，而应适当地、有机地对原习题进行深层的探索，挖掘出更深刻的结论，这就是数学教学中的变式艺术。

变式题组二： 4.如图(3)，△ABC和△BDE都是等边三角形，AB＜BD。

若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转的过程中，AE与CD的大小关系是。

5.如图(4)，在题4中，若添加一个条件：A、B、D在一条直线上，则△BMN是什么三角形？并判断MN与AD的位置关系。

学生通过类比快速解答了变式4和变式5。

“变”的魅力深深地吸引着学生，他们在不知不觉中解决了这道有一定难度的问题，“爱好数学”的萌芽在他们的头脑中渐渐扎下了根。

教学例题大多有其广泛的应用。

一题多解，实现“由点到线”的变化；一题多变，实现“由线扩大到面”的变化；而“借题发挥”，一题多用，则进一步实现“由面到体”的变化。

这样，例题教学便可多层次、广视角、全方位地进行研究与拓展，充分发挥其潜能。

变式题组三： 6.如图(5)，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE。

已知∠BAC= ，EF⊥AB，垂足为F，连接DF。

(1)AC与EF的大小关系是；(2)四边形ADFE是四边形。

7.如图(6)，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形，(1)当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形。

(2)当AB = AC 时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
当变式6、7出现时，学生认为是就是前面几个题变化得到的，为此，解题方法应有类似，从而让学生感到：难题不难，难题是有简单的问题变(或组合)成的，数学不难学。

变，小至题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论可变；大至教法可变，考试方法可变，考试方法可变，甚至教材内容可变。

变，充满着神奇；变，孕育着创造。

变的魅力吸引着好奇心、好胜心较强的学生，促进学生去思考、去探索，逐步引导他们爱学数学、学好数学。

著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。

”创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。

数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质。

要注意主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间。

参考文献：
[1]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海：上海教育出版社，2006.
[2]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].上海：华东师范大学出版社，2008.
[3]温建红.数学课堂教学中的变式性提问与引申性提问[J].中学数学教学参考，2010(1).作者单位：广东省佛山市惠景中学邮政编码：528000。