上海市奉城高级中学2019届高三上学期10月月考数学试题

上海市奉城高级中学2019届高三上学期10月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合2|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭
，集合{|04}B y y =≤<，则A B =________. 2．已知3cos(),(,2)5
πααππ+=∈，则tan α=________________ 3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为________.
4．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭
，则3x y -=________. 5．若实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
则3z x y =+的最大值等于________．
6．已知7()a x x -展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为________.
7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.
8．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()22(x f x x b b =++为常数），则(1)f -=________．
9．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15cos ,25sin x y θθ
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．
10．设0a >，若对于任意的0x >，都有112x a x
-≤，则a 的取值范围是________． 11．各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N n ∈，
()11,2n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量．若lim n n S →∞
存在，则实数k 的取值范围是________．
12．已知1()1x f x x
-=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*N n ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +的值为_________．
二、单选题
13．已知,a b ∈R ，则33log log a b >是“1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 14．已知复数z 满足
1+1z z i =- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．-1 C ．1 D ．i -
15．当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()1k x =+的根的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
16．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）．
（1）曲线C 一定经过原点；
（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；
（3）MPN ∆的面积不大于8；
（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
三、解答题
17．如图，等腰Rt AOB ，2OA OB ==，点C 是OB 的中点，AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转一周.
（1）求ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；
（2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为
23π，求异面直线AC 与BD 所成角的大小. 18．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
． （1）求函数()y f x =的最大值和最小正周期；
（2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若1cos 3B =，134C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，求sin A ． 19．已知双曲线22
:143
x y C -=，其右顶点为P ()1求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
()2设直线l 过点P ，其法向量为()1,1n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值
20．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入()g n 是生产时间n 个月的二次函数2
()g n n kn =+（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入(8)g 的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入． 21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =-，2a 为整数，且对任意*N n ∈都有560,0a a ≤≥.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设143b =，1,,(2),n n n n a n b b n +⎧=⎨-+-⎩为奇数为偶数
（*N n ∈），求{}n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列{}n c 满足5*2211
(1)()(N )2n a n n n n c b b n λ++=++-∈.是
否存在实数λ，使得数列{}n c 是单调递增数列.若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．[2,4).
【分析】
先求出集合A ，由此利用交集的定义能求出A B . 【详解】 解：由201
x x -≥+，解得2x ≥或1x <-， 即(,1)[2,)A =-∞-+∞，
集合{|04}B y y =≤<[0,4)=，
则[2,4)A B =，
故答案为：[2,4)，
【点睛】
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用. 2．43
【分析】
由诱导公式可得cosα的值，及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出tanα的值即可．
【详解】
3cos(),(,2)5
πααππ+=∈
∴cosα＝－35，sinα＝45
=-， ∴sin 4tan αcos 3
αα==, 故答案为：43
3．8π.
【分析】
先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r ，进而利用侧面积的计算公式计算即可.
【详解】
解：由题意，底面的半径2r ，
∴该圆椎的侧面积248S ππ=⨯⨯=，
故答案为：8π.
【点睛】
本题考查圆锥的相关计算问题，熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键，属于基础题.
4．5
【分析】
根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得35x y -=.
【详解】
解：由二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭
， 则二元一次方程组为：2520x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 两式相加得：35x y -=，
35x y ∴-=，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题.
5．12
【详解】
由约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
， 作出可行域如图，
联立方程组290y x
x y =⎧⎨+-=⎩，
解得：A （3，3），
化目标函数z=x +3y 为y=﹣13x +13
z ， 由图可知，当直线y=﹣
13x +13
z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，对应z 最大； 此时z=3+3×
3=12． 故答案为12． 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．2
【分析】
试题分析：∵7()a
x x -展开式中第r 项为 772177()()r r r r r r r a T C x C a x x
--+=-=-，则由已知，得7()a
x x
-中 3x 的系数为84，即当72r 3-=，即 2r ，∴227()84a C -=，解得， 2a =.
考点：二项式定理.
7．35
【详解】
从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.
2个球颜色不同，共有11326C C =种选法. 所以所求概率为63105
p =
=.
8．-3
【分析】
根据函数是奇函数，求得参数b ，再结合已知函数解析式，求得0x <的解析式，代值计算即可.
【详解】 ()f x 是定义在R 上的奇函数，
当0x 时，()22(x f x x b b =++为常数），
(0)10f b ∴=+=，
解得1b =-，
()221x f x x ∴=+-．
当0x <时，()22()1x f x x --=+--，
()221x f x x -∴=-++，(1)2213f ∴-=--+=-．
故答案为：3-
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及函数解析式，属综合基础题.
9
【解析】
由题意，曲线C
：1,2x y θθ
⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数θ：
可得曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5．
直线,62x t y t
=⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去参数t ，可得直线的普通方程为：2x +y ﹣6=0．
由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径
．
那么：圆心到直线的距离
可得|PQ|的最小值为：d﹣
故答案为
5
10
．
4
⎫+∞⎪⎪
⎣⎭【解析】
对于任意的x＞0，都有11
2x
a x
-≤，得到
min
11
2x
a x
⎛⎫
≤+
⎪
⎝⎭
，因为
1
2x
x
+≥
，所以
1
a
≤
a≥
故答案为
+∞）．
点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0
f x>就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min
()0
f x>，若()0
f x<恒成立，转化为
max
()0
f x<;
11．()()
,10,
-∞-+∞
【解析】
由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，
∵对任意*
N
n∈，()
11
,2
n n n n
m a a a
++
=-都是直线y kx
=的法向量，
∴k=1
1
2
n n
n
a a
a
+
+
-
-=﹣1
2
+
1
2
•
1
q
，
∴k∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．
12
12
【解析】 由题意，112
a =
，()2n n a f a +=，且0n a >， ∴a 3=13，a 5=12，a 7=13，a 9=12，…，∴a 2017=12， ∵()2n n a f a +=，∴a n+4=f （a n+2），∴a n+4=111111n n n n a a a a --
+-++=a n ，即数列的周期为4 a 20=a 18=t ，则t=
1t 1t -+，∴t 2+2t ﹣1=0，∵t ＞0，∴
1， ∴a 2016
﹣1，
∴a 2016+a 2017
﹣1+
12
12，
12
． 13．A
【分析】
先利用对数函数以及指数函数的单调性得到,a b 的关系，再利用命题的充分不必要条件判断即可.
【详解】
∵33log log a b >，
∴0a b >>， ∵1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴a b >，
∵0a b >>是a b >的充分不必要条件， ∴33log log a b >是“1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”的充分不必要条件 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了数函数和指数函数的性质以及充分不必要条件的判断.属于较易题. 14．C 【解析】
分析：根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后根据代数形式再判断复数的虚部． 详解：由1+1z
z i
=-得(1)1i z i +=-+， ∴1(1)(1)
1(1)(1)
i i i z i i i i -+-+-=
==++-， ∴复数z 的虚部为1． 故选C ．
点睛：本题考查复数的计算和复数的基本概念，解题时注意在复数(,)z a bi a b R =+∈中，虚部是b ，而不是bi ． 15．C 【解析】 作出
y=
y=k （x +1）的函数图象，如图所示：
显然当k ＞0时，两图象在（﹣∞，0）上必有一交点， 设y=k （x +1）与
x 0，y 0），
则)000
1k y y k x ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得k=12，x 0=1，y 0=1．
∴当1
0k 2
<<
时，直线y=k （x +1）与
∴直线y=k （x +1）与有三个交点．
故选C ．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．B 【解析】
设P （x ，y ）()
2
216x -=，
（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C 一定经过原点，不正确；
（2）以﹣x 代替x ，﹣y 代替y ，方程成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，不正确；
（3）x=0，y=±MPN 的最大面积=
1
482
⨯⨯=<，故正确；
（4）令y=0，可得x=±，曲线C 在一个面积为=正确． 故选B ．
点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标(),x y ，利用题目的已知条件建立关于(),x y 的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.
17．（1）4
3
π；(2π；（2）2π
【分析】
（1）利用体积、表面积公式，即可求ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S . （2）如图建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的数量积即可求异面直线所成的角． 【详解】 试题解析：
（1）()21422133
V ππ=
⨯⨯-=; ((1
2222
S ππ=⨯⨯=
（2）如图，建立空间直角坐标系，
()2,0,0A ，()0,0,1C ，()0,0,2B
由三角比定义，得222cos ,2sin ,033D ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭，即()
D -，
则()2,0,1AC =-，()
2BD =--
220AC BD ⋅=-=，所以AC BD ⊥
所以异面直线AC 与BD 所成角为
2
π
18．（1）函数()y f x =的最大值为12
+，最小正周期π；（2）1sin cos 3A B ==．
【解析】
试题分析: （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为
y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值， （2）根据1
cos 3B =，134C f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求解得出C ，即可得sinA 的值．
试题解析
（1）因为()2
cos 2sin 3f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
1cos2cos2cos
sin2sin
3
3
2
x
x x π
π
-=-+
12x =
， 所以，函数()y f x =
的最大值为
12
+，最小正周期π． （2
）由121322
34C C f ⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
，得2sin 32C =， 解得，2
C π
=
或C π=（舍去）
因此，1sin cos 3
A B ==
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等. 19．(1)()2
2
1227x y -+=
(2)2d =
2
d = 【分析】
（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程； （2）设出与直线l 平行的直线，代入双曲线方程，求得m 的值，即可求解． 【详解】
（1）由题意，双曲线22
:143
x y C -
=，可得右顶点为(2,0)P ，
又由曲线的渐近线方程为y =±
20y ±=， 则点P
到渐近线的距离为d =
=
即圆的半径为r =
()22
1227x y -+=．
（2）由题意，直线l 法向量为()1,1n =-，可得直线l 的斜率为1， 设与直线l 平行的直线方程为y x m =+，
联立方程组22143
y x m x y =+⎧⎪
⎨-
=⎪⎩，整理得2284120x mx m +++=，
令2
2
644(412)0m m ∆=-+=，解得1m =±， 当1m =时，直线1y x =+与2y x =-
的距离为12d =
=
； 当1m =-时，直线1y x =-与2y x =-
的距离为12
d =
=， 所以d
的值2d =
或2
d =． 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题． 20．（1）(8)(5)3109852g g =+⨯=；（2）经过9个月投资开始见效． 【解析】
试题分析: （1）根据g （3）得到k ，再计算g （5）和g （5）﹣g （4），而g （8）=g （5）+3[g （5）﹣g （4）]，从而得到结果；
（2）求出投资前后前n 个月的总收入，列不等式解出n 的范围即可． 试题解析
（1）据题意()2
333309g k =+=，解得100k =，
第5个月的净收入为()5g ()4109g -=万元， 所以，()()853109852g g =+⨯=万元
（2）()()()()()210055554.5n n n g n g n g g n ⎧+≤⎪
=⎨⎡⎤+-->⎪⎣⎦⎩，（）（）
即()21005109205n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩
，（）
，（）
要想投资开始见效，必须且只需
()()150010070322n n g n n n ⎡⎤
--+>-+⨯⎢⎥⎣⎦
，
即()2
684000.g n n n +-->
当1,2,3,4,5n =时，22
100684000,n n n n ++--> 即()16200n n +>不成立；
当5n >时，2
10920684000,n n n -+-->即()41420n n +>，
验算得，9n ≥时，()41420n n +> 所以，经过9个月投资开始见效．
21．（1）211n a n =-；（2）1
2,32213.
3
n n n n T n n +⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数，，为偶数；（3）348,55λ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭.
【分析】
（1）根据条件50a ≤，60a ≥，列出不等式组得出d ，即可得出通项公式；
（2）n 为偶数时，12n
n n b b ++=．利用此性质再根据n 的奇偶性计算n T ；
（3）10n n c c +-≥对任意*n N ∈都成立，分离参数得出λ关于n 的不等式，根据数列的单调性得出λ的最值即可得出λ的取值范围． 【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得5600
a a ≤⎧⎨≥⎩，99
,54d ∴≤≤
2,2a Z d ∈∴=
211n a n ∴=-
（2）当n 为偶数时，()122n
n n n b b ++=-=
① 当n 为奇数时()3n ≥，()()()123451n n n T b b b b b b b -=+++++
++
2411222n b -=+++
+
1
21414423143
n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-． 当1n =时也符合上式
② 当n 为偶数时， 1122
21333
n n
n n n n T T b a n --=+=+=+-
1
2,3
2213.3n n n n T n n +⎧⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩
为奇数，，为偶数
（3）()3
1414n n
n n c λ-⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
由题意得，11348004n
n n n c c λ+⎛⎫-=⋅--> ⎪⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当n 为奇数时，23480
n
λ>-
⋅， 当1n =时，2max
334805n ⎛⎫
-⋅=- ⎪⎝⎭，35
λ 当n 为偶数时，23480
n
λ<
⋅， 当2n =时，2min 3484805
n ⎛⎫⋅= ⎪
⎝⎭，48
5λ< 综上：348,55λ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
【点睛】
易错点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前n 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析1,2n n =≥，在处理涉及()1n
-的数列问题，一般要考虑分n 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．。