2014高考调研理科数学课本讲解-10-7-离散型随机变量及分布列

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2．两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X10 Ppq 其中 0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量 X 服从参数 为 p 的 两点分布 ，称 p＝P(ξ＝1)为成功概率．
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【解析】 (1)X 可能取值 1,2,3. P(X＝1)＝AA2233＝13， P(X＝2)＝AA2233＝13， P(X＝3)＝AA2233＝13. 所以 X 分布列为
X123
P
1 3
1 3
1 3
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①求袋中原有白球的个数； ②求随机变量 ξ 的概率分布； ③求甲取到白球的概率．
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【思路】 ①求袋中原有白球的个数，需列出方程求解． ②写出 ξ 的可能取值，求出相应概率，求出 ξ 的分布列． ③利用所求分布列，甲取到白球的概率为 P(A)＝P(ξ＝1) ＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)．
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例 1 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所 表示的意义．
(1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其 中所含白球的个数 X；
(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数的最大值 为 Y.
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高考调研 【解析】 (1)X 可取 0,1,2.
X012
P
1 7
2 7
3 7
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答案 解析
C
n
由分布列的性质知 P(ξx)≥0. P(ξx)＝1，逐一验证，
x＝1
选 C.
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3．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝21k，k＝1,2，…，
或 P(ξ≥35)＝1－P(ξ≤25)＝1－(115＋125)＝45.
(3)因为110<ξ<170只有 ξ＝15，25，35满足，
故
17 P(10<ξ<10)
＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝25)＋P(ξ＝35)
＝115＋125＋135＝25.
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ξ
0
1
2
P ________ ________ ________
答案
1 10
3 5
3 10
解析 ∵P(ξ＝0)＝CC2225＝110，
P(ξ＝1)＝CC13C25 12＝35，P(ξ＝2)＝CC2325＝130.
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1．离散型随机变量的分布列 (1)如果随机实验的每一个结果都可以用一个确定的数字来 表示，在这个对应关系下数字随实验结果的变化而变化，像这 种随实验结果变化而变化的变量称为 随机 变量．所有取值可 以一一列出的随机变量称为 离散型随机变量 ．
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答案
5 6
解析 ∵P(ξ＝n)＝nna＋1，
∴a2＋a6＋1a2＋2a0＝1，∴a＝54.
P(12＜ξ＜52)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝a2＋a6＝23a＝56.
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5．从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设
其中有 ξ 个红球，则随机变量 ξ 的概率分布为：
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请注意！
离散型随机变量是高考的重点内容，它是随机事件的概率的深 化，它的本质是某些随机试验的数量化．高考中主要以选择题、 填空题的形式出现，难度偏易.
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2．下列 4 个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一
个是
()
A.
X0 1 2
P 0.3 0.4 0.5
B.
X0 1 2
P 0.3 －0.1 0.8
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高考调研 C. D.
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X1 2 34 P 0.2 0.5 0.3 0
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例 2 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝5k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(ξ≥35)； (3)求 P(110<ξ<170)． 【思路】 (1)利用分布列各概率和为 1 求 a； (2)利用互斥(或对应)事件的概率公式求(2)、(3)的概率．
机变量为
()
A．所取球的个数
B．其中所含白球的个数
C．所取白球和红球的总数
D．袋中球的总数
答案 B
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解析 根据离散型随机变量的定义，可知 B 中的试验结果 ξ 可能取得的值，可以按一定次序一一列出，而 A、C、D 中的 试验结果是一常量，不符合随机变量的定义．故选 B.
ξ0 1 2 3 4
P
1 5
1 10
1 10
3 10
3 10
求：①2ξ＋1 的分布列；②|ξ－1|的分布列．
【思路】 利用 η 与 ξ 的函数关系 η＝f(ξ)列出分布列．
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【解析】 ①2ξ＋1 的分布列为
2ξ＋1 1 3 5 7 9
P
11 1 3 3 5 10 10 10 10
思考题 2 (1)若离散型随机变量 X 的分布列为
X0
1
P 9c2－c 3－8c
试求出常数 c 的值．
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质，可知
90c≤2－9cc2＋－3c－ ≤81c，＝1， 0≤3－8c≤1，
解得 c＝13.
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(2)设离散型随机变量 ξ 的分布列为
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(2)X 可能取值为 1,2,3,4,5.
P(X＝k)＝(23)k－1×13，k＝1,2,3,4，
P(X＝5)＝(23)4.
故 X 分布列为
X12 3 4 5
P
1 3
2 9
4 27
8 81
16 81
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(3)因为 X～B(5，13)，所以 X 的分布列为 P(X＝k)＝Ck5(13)k(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
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思考题 3 (1)袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率是17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球， 甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有 一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可 能的，用 ξ 表示取球终止时所需要的取球次数．
②|ξ－1|的分布列为
|ξ－1| 0 1 2 3
P
1333 10 10 10 10
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例 3 袋子中有 1 个白球和 2 个红球． (1)每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次 数 X 的分布列； (2)每次取 1 个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次 数不超过 5 次，求取球次数 X 的分布列； (3)每次取 1 个球，有放回，共取 5 次，求取到白球次数 X 的分布列．
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(3)如果随机变量 ξ 的分布列已知，那么随机变量 η＝f(ξ)(比 如 η＝aξ＋b，其中 a，b 为常数)的分布列也可求出．
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1．一个袋中有 5 个白球和 3 个红球，从中任取 3 个，则随
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X＝0 表示所取的；
X＝2 表示所取的三个球是 2 个白球，1 个黑球．
(2)X 的可能取值有 2,3，…，12，Y 的可能取值为 1,2,3，…，
6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则
X＝2 表示(1,1)；
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列．
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4．重点辨析 (1)离散型随机变量 ξ 的概率分布，即 ξ 的分布列就是随机 变量 ξ 与这一变量所对应概率 P 的二维表，它反映了 ξ 取值的 分布情况．有时为了叙述方便，也用那些能写出对应关系的等 式来代替这一表格，实质是一样的． (2)离散型随机变量的分布指出了随机变量的取值范围及取 每一个值时的概率．离散型随机变量在某一范围内取值的概率 等于它取这个范围内各个值的概率之和．要注意这一性质在解 题中的应用．
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【解析】 由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并 且 ξ 取整数值(不足 1 cm 按 1 cm 计)，因此 ξ 是一个离散型随机 变量．而 η＝8ξ0－ξ≤16106×0，3＋80ξ>160，
所以 η 也是一个离散型随机变量．
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(2)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xn，ξ 取 每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(ξ＝xi)＝pi，则称表
ξ x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量 ξ 的概率分布，具有性质： ①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝ 1 . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率 和 ．
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【解析】 由已知分布列为：
ξ
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得 a＝115.
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(2)P(ξ≥35)＝P(ξ＝35)＋P(ξ＝45)＋P(ξ＝1)＝135＋145＋155＝45，
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思考题 1 某校为学生定做校服，规定凡身高不超过 160 cm 的学生交校服费 80 元．凡身高超过 160 cm 的学生，身高每 超出 1 cm 多交 3 元钱(不足 1 cm 时按 1 cm 计)．若学生应交的 校服费为 η，学生身高用 ξ 表示，则 η 和 ξ 是否为离散型随机变 量？
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第 7 课时 离散型随机变量及分布列
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2013•考纲下载
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性． 2.理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用.
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X＝3 表示(1,2)，(2,1)；
X＝4 表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…
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X＝12 表示(6,6)． Y＝1 表示(1,1)； Y＝2 表示(1,2)，(2,1)，(2,2)； Y＝3 表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)； … Y＝6 表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．
3．超几何分布 在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 x
CkMCnN－－kM 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ CnN (k
＝0,1,2，…，m)其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，
N∈N*.称分布列：
X0
1 …m
P
C0M·CnN－－0M CnN
则 P(2<X≤4)等于
()
3
1
A.16
B.4
1
5
C.16
D.16
答案 A 解析 P(2<X≤4)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＝213＋214＝136.
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4．随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ＝n)＝nna＋1(n＝
1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P12<ξ<52的值为________．