浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合{|310}A x x =≤<，27{|}B x x =<<，则A B = （）
A ．{|23}x x <<
B ．{}|710x x ≤<
C ．{|37}x x ≤<
D ．{|210}x x <<2．直线10x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（）
A ．10x y +-=
B ．10x y ++=
C ．10x y --=
D ．10
x y -+=3．在空间直角坐标系中，向量()1,2,3m =- ，()1,3,4n = ，则n 在m 上的投影向量为（）
A ．2m
B ．12m -
C ．2m -
D ．12
m r 4．若α，β为两个不同的平面，m 为一条直线，则下列结论正确的是（
）A ．若//,//m m αβ，则//αβ
B ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m β
C ．若//,//m m αβ，则α与β相交
D ．若m ⊥α，//m β，则α⊥β5．已知函数()2221x f x =-
+，则函数()f x 的图象的对称中心的坐标为（）A ．()0,1B ．()0,0C ．()1,0D ．()
1,0-6．已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l y -=，3:0l mx y +=将平面分为六个部分，则满足条件的m 的值共有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
7．已知抛物线21:2C y px =过点()1,2，圆222:20.C x y x +-=如图，过圆心2C 的直线l 与抛
物线1C 和圆2C 分别交于P ，Q ，M ，N ，则4PM QN +的最小值为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
8．已知棱长为1的正方体内接于球O ，在球O 与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（）
A ．1
2B ．4C ．1
3D ．32-
二、多选题
9．
从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~650h kW ⋅之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（）
A ．0.0022
a =B ．本组样本的众数为250C ．本组样本的第45百分位数是300D ．用电量落在区间[)150,550内的户数为8210．已知直线:210l kx y k ++-=，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，点P 为直线l 上一点，点Q 为圆C 上一点，则下列选项正确的是（）
A ．直线l 恒过定点()
2,1-B ．若圆C 关于直线l 对称，则=1
C ．若直线l 与圆C 相切，则4
k =±D ．当=1时，取y 轴上一点()0,3E
，则EP PQ +1
11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其一条渐近线为y x =，直线l 过点2F 且与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，M ，N 分别为12AF F △和12BF F △的内心，则下列选项正确的是（）
A ．直线l 斜率的取值范围为[]1,1-
B ．点M 与点N 的横坐标都为a
C ．2MNF 为直角三角形
D ．2MNF 面积的最小值为(23a -三、填空题
12．若A ，B 为两个相互独立的事件，()0.3P A =，()0.6P B =，则()P AB =.
13．若函数()()cos 2(02π)f x x ϕϕ=+<<的图象向右平移ϕ个单位后在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ϕ=.
14．已知正四面体A BCD -的边长为2，点M ，N 为棱BC ，AD 的中点，点E ，F 分别为线段AM ，CN 上的动点，且满足AE CF =，则线段EF 长度的最小值为.
四、解答题
15．一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球，其中有3个黑球(标号为1、2和3)，2个白色球(标号为4和5).若一次性从盒子中取出2个小球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.
16．已知圆心在直线30x y -+=上的圆C 经过两点()0,2M 和()1,3.
N (1)求圆C 的方程;
(2)设点(),0(0)Q a a >，若圆C 上存在点P 满足PQ PO =，求实数a 的取值范围.17．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，222AD BC CD ===，//AD BC ， 1.AP =点E 为线段PD 的中点.
(1)证明：//CE 平面PAB ；
(2)若F 为线段PB 上一点，且PF PB λ= ，λ为何值时，直线DF 与平面PCD 所成角的正弦值
18．已知直线l 是过椭圆22:14
x C y +=上一点0,0的切线.
(1)已知椭圆C 的切线l 过()4,0，求切线l 的方程;
(2)求两焦点1F ，2F 到直线l 的距离之积;
(3)若圆心在原点的圆与直线l 也相切，且与椭圆C 相交于点Q ，若P ，Q 都在第一象限，求OPQ △面积的最大值.
19．在平面直角坐标系xOy 中，定义：()1212,d A B x x y y =-+-为()11,A x y ，()22,B x y 两点之间的“折线距离”.
(1)已知()0,0O ，动点(),M x y 满足(),1d O M =，求动点M 所围成的图形的面积;
(2)已知Q 是直线0Ax By C ++=上的动点，对于任意点()00,P x y ，求证：(),d P Q 的最小值为{}00;
max ,Ax By C
A B ++
(3)已知E 是函数y =上的动点，F 为函数62y x =-上的动点，求(),d E F 的最小值.。