第六章 实数单元达标提高题学能测试试题

第六章 实数单元达标提高题学能测试试题
一、选择题
1．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②
②-①得10
661S S -=-，即10
561S =-，所以1061
5
S -=.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出
23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是
A ．201811
a a --
B ．201911a a --
C ．20181a a
-
D ．20191a - 2．已知:
表示不超过的最大整数，例:
，令关于的函数
(是正整数)，例：
=1，则下列结论错误．．
的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．或1
3．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( )
A ．n +1
B ．21n +
C 1n +
D 21n 4．下列选项中的计算，不正确的是( ) A 42=± B 382-=-
C ．93±=±
D 164=
5．280x y -+=，则x y +的值为( )
A ．10
B ．-10
C ．-6
D ．不能确定
6．对于两数a 、b ，定义运算：a*b=a+b —ab ，则在下列等式中，①a*2=2*a ；②（-2）*a=a*（-2）；③（2*a ）*3=2*（a*3）；④0*a=a ，正确的为（ ） ①a*2=2*a ②（-2）*a=a*（-2） ③（2*a ）*3=2*（a*3） ④0*a=a A ．① ③
B ．① ② ③
C ．① ② ③ ④
D ．① ② ④
7．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40
B ．﹣32
C ．18
D ．10
8．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；333的立方根；④无理数是带根号的数；⑤22．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 9．下列运算中，正确的是（ ）
A 93=±
B 382=
C |4|2-=-
D 2(8)8-=-
10．7和6- ）
A ．76-
B ．67-
C ．76+
D ．(76)-+
二、填空题
11．已知a n ＝
()
2
1
1n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝
2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)． 12．若已知()2
1230a b c -+++-=，则a b c -+=_____． 13．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…； （2）f （
1
2）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15
）＝5，… 利用以上规律计算：1
(2019)(
)2019
f f ____． 14．估计
51-与0.5的大小关系是：
51
-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 15．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()
()a a b b a b ≥⎧⎨⎩
若若＜，并且定义新运算程序仍然是
先做括号内的，那么（5⊕2）⊕3=___． 16．
1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．
17．若x ＜0，则323x x +等于____________．
18．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________． 19．定义：对于任意数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数．例如：
[][][]3.93,55,4π==-=-，若[]6a =-，则[]2a 的值为______．
20．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22
---对应的是_____________
三、解答题
21．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是___________；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为
5：4，且面积为2360cm ？
22．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,
,,Q W E N M 这26个字母依次对应
1,2,3,
,25,26这26个自然数（见下表）．
Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出一个变换公式：
(126,3)3
2
17(126,31)31
8
(126,32)3J J J x
x x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪
+⎪=+≤≤⎨⎪
+⎪=+≤≤⎪⎩
是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193⇒
，即R 变为L ：11+1
11+8=123
⇒，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210⇒⨯--=，即X 变为P ：
133(138)114⇒⨯--=，即D 变为F ．
（1）按上述方法将明文NET 译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1. (1)计算5⊕4的值； (2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；
(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
24．阅读下面的文字，解答问题： 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，2212的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：∵22＜（7）2＜32 ，即2＜＜3， 7的整数部分为
27－2）. 请解答：
（110的整数部分是__________，小数部分是__________
（2）5a 37的整数部分为b ，求a ＋b 5的值；
25．对于结论：当a+b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（238y -325y -x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根． 26．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
()()2111a a a -+=-，
()()23111a a a a -++=-， ()()324111a a a a a -+++=-，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ． （3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，求出aM 的值是多少，然后求出aM-M 的值，即可求出M 的值，据此求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2019的值是多少即可． 【详解】
∵M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①， ∴aM=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2019②， ②-①，可得aM-M=a 2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M=
20191
1 a
a
-
-
.
故选：B.
【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】
A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
3．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．
【详解】
n+，
解：这个自然数是2n，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据平方根与立方根的意义判断即可．
【详解】
解：2
=±错误，本选项符合题意；
=2
=-，本选项不符合题意；
2
C. 3
=±，本选项不符合题意；
D. 4
=，本选项不符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的非负性求出x，y，然后再求x+y即可；
【详解】
解：由题意得：x-2=0，y+8=0
∴x=2，y=-8
∴x+y=2+（-8）=-6
故答案为C.
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握若干个非负数之和为0，则每个非负数都为0是解答本题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：根据题意得：①a*2=a+2-2a，2*a=2+a-2a，成立；
②（-2）*a=-2+a+2a，a*（-2）=a-2+2a，成立；
③（2*a）*3=（2-a）*3=2-a+3-3（2-a）=2-a+3-6+3a=2a-1，2*（a*3）=2*（a+3-3a）
=2+a+3-3a-2（a+3-3a）=2a-1，成立；
④0*a=0+a-0=a，成立．
故选：C．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．
【详解】
解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误；②实数包括无理数和有理数，故②正确；
3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
9．B
解析：B
【分析】
根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
，故该选项运算错误，
，故该选项运算正确，
2
C.|4|2-=，故该选项运算错误，
D.2(8)8-=，故该选项运算错误， 故选：B ． 【点睛】
本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．
10．C
解析：C 【分析】
在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离． 【详解】 如图，
7和67在右边，6在左边，
7和67-（6）76． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．
二、填空题 11．． 【解析】 【详解】
根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．
解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “
解析：
12
++n n ． 【解析】 【详解】
根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211
+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=
314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =1
2++n n ．
解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=
1
2
++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．
12．6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】 解：因为， 所以， 解得， 故，
故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】
解：因为()2
120a b -+++=， 所以10,20,30a b c -=+=-=， 解得1,2,3a b c ==-=， 故1(2)36a b c -+=--+=， 故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键．
13．-1 【分析】
根据新定义中的运算方法求解即可． 【详解】
∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018．
∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()
解析：-1
【分析】
根据新定义中的运算方法求解即可． 【详解】
∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018． ∵f(
1
2)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…， ∴1
(
)2019
f 2019， ∴1
(2019)
(
)2019
f f 2018-2019=-1． 故答案为：-1． 【点睛】
本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．
14．> 【解析】
∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.
解析：> 【解析】
∵
1
0.52-=-=
20-> , ∴0> , ∴0.5> ,故答案为>.
15．【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】 (⊕2)⊕3=⊕3=3， 故答案为3． 【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关
解析：【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】
2)⊕3=3， 故答案为3． 【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有
理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16．【分析】
设，代入原式化简即可得出结果.
【详解】
原式
故答案为：.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020
【分析】 设1120182019
m =
+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式()111120202020m m m m ⎛
⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221202*********
m m m m m m =-+
--++ 12020= 故答案为：
12020
. 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =
+将式子进行合理变形是解题的关键. 17．0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x ＜0，
∴，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是
解析：0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x ＜0，
0x x =-+=，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号． 18．9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： ，
解得：，
则这个正数是．
故答案为：9．
【
解析：9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=，
解得：2a =，
则这个正数是2
(21)9+=．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 19．-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小
解析：-11或-12
【分析】
根据题意可知65a -≤<-，12210a -≤<-，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：65a -≤<-
∴12210a -≤<-
∴[]2a 的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出a 的取值范围是解此题的关键．
20．【分析】
先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数，即可得到答案.
【详解】
解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，
∴A 为负数，
从数轴可以看出，A 点在和之间，
解析：
【分析】
先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数
1
2
-. 【详解】
解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，
∴A 为负数，
从数轴可以看出，A 点在2-和1-之间，
2<=-，故不是答案；
刚好在2-和1-之间，故是答案；
112
->-，故不是答案；
是正数，故不是答案；
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.
三、解答题
21．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ⋅=，求出
x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形，
∴大正方形的面积为4002cm ，
20cm =
故答案为：20cm ；
（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，
54360x x ⋅=，
解得：x =
520x =>，
答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.
22．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．
【分析】
(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文.
(2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.
【详解】
解：（1）将明文NET 转换成密文：
2522517263
N M +→→+=→ 3313E Q →→
=→ 5158103
T P +→→+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;
（2）将密文D,W,N转换成明文：
()
→→⨯--=→
133138114
D F
→→⨯=→
W Y
2326
→→⨯--=→
N C
253(2517)222
即密文D,W,N的明文为F,Y,C．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．
23．(1)3；(2)－24；(3)成立．
【解析】
【分析】
（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【详解】
(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1
＝20－10－8＋1
＝2＋1
＝3.
(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3
＝(－12＋4－12＋1)⊕3
＝－19⊕3
＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1
＝－24.
(3)成立．
∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，
∴a⊕b＝b⊕a，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
【点睛】
此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
24．（1）33；（2）4
【解析】
分析：求根据题目中所提供的方法求无理数的整数部分和小数部分.
详解：
（1
的整数部分是3，
3；
（2）∵
∴
a2，
∵
∴
6
b=，
∴
a b
+264
+=．
点睛：求无理数的整数部分和小数部分，需要先给这个无理数平方，观察这个数在哪两个整数平方数之间.需要记忆1-20平方数,1² = 1， 2² = 4 ，3² = 9， 4² = 16， 5² = 25， 6² = 36 ，7² = 49 ，8² = 64 ，9² = 81 ，10² = 100，11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14²= 196 ，15² = 225， 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400. 25．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2
【分析】
（1
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【详解】
解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2
＝0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】
本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
26．（1）a2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）
2015
51
4
-
．
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．
（2）先变形，再根据规律得出答案即可．
（3）先变形，再根据规律得出答案即可．
【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）＝a2015﹣1，
故答案为：a2015﹣1；
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）＝22015﹣1，
故答案为：22015﹣1；
（3）52014+52013+52012+…+52+5+1
＝1
4
×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1）
＝
2015
51
4
．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．。