6-7高中数学核动力

【思路点拨】 (1)由Sn求出通项an，又因为数列{an}为
等比数列，即可求出r的值；(2)由数学归纳法证明．
高
课 前
【尝试解答】 (1)因为对任意的 n∈N*，点(n，Sn)，均
考 热
自 主
在函数 y＝bx＋r(b>0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象上，所
点 聚
学 案
以得 Sn＝bn＋r，当 n＝1 时，a1＝S1＝b＋r，当 n≥2 时，an
考 热
自
点
主 学
【归纳提升】 用数学归纳法证明恒等式应注意：
聚 焦
案
1．弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项；
2．明确初始值n0的取值为多少；
3．由n＝k到n＝k＋1的证明，弄清左右两边增加或变化 课
课
后
堂 的项，且要明确变形的目标；
巩
互
固
动 讲
4．充分利用n＝k时的式子，即一定利用归纳假设.
考 热 点 聚
学 案
①当 n＝1 时，左边＝32，右边＝ 2，因为23> 2，所以不 焦
等式成立．
课 堂
②假设当 n＝k 时不等式成立，即b1b＋1 1·b2b＋2 1…bkb＋k 1＝
课 后 巩
互 动 讲 案
32·54·76…·2k2＋k 1> k＋1成立．
固 练 案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
课 堂
＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)
互
课 后 巩 固
动 讲 案
＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
练 案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
∴n＝k＋1时等式也成立．
高
课 前
∴由(1)(2)可知，当n∈N*时等式都成立．
数．
课
课
后
堂
巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
【尝试解答】 当 n＝k 时，不等式为 1＋21＋31＋…＋
课 前
1 2k－1<k.
高 考 热
自
点
主 学
则 n＝k＋1 时，左边应为：
聚 焦
案
1＋21＋31＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1
【思路点拨】 验证n＝1，假设n＝k时成立，再证明n
＝k＋1时也成立，最后下结论．
课
课
【尝试解答】 设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋ 后
堂
巩
互 动
(n－1)·2＋n·1.
固 练
讲
案
案
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式
成立；
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
，
则
bn＋1 bn
＝
2n＋1 2n
，
所
以
后 巩 固 练
讲 案
b1b＋1 1·b2b＋2 1…bnb＋n 1＝32·54·76…2n2＋n 1.
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
下面用数学归纳法证明不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1…bnb＋n 1
高
课 前 自 主
＝32·54·76…2n2＋n 1> n＋1成立(k－1)＋3·(k－2)
课 ＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)，
高 考
前
热
自 主
则当 n＝k＋1 时，
点 聚
学 案
f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k 焦
＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1
高 考
前
热
自 主
(1)当 n＝1 时易知猜想正确．
点 聚
学
焦
案
(2)假设当 n＝k(k∈N＋)时猜想正确，即 ak＝3k－1 2，
课 堂 互
那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝kk－－1akak＝kk－－13·k3－1k－12 2
课 后 巩 固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
k－1
课 前 自
＝3k23－k－2k2－1＝3k2－k－2k1－1
高 考 热 点
主 学
3k－2
聚 焦
案
＝3k＋k1－1k－1＝3k＋1 1＝3k＋11－2.
即当 n＝k＋1 时，猜想也正确．
课
课
由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确．
堂
后 巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
考 热
自
点
主 学
提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步
聚 焦
案
是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归
纳递推．两者缺一不可.
课
课
后
堂
巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
高
课 前
用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋
考 热
自
点
主 学 案
固 练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
数列{an}中，a1＝1，a2＝14，且 an＋1＝nn－－1anan(n≥2)，
高
课 前
求 a3，a4，猜想 an 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
考 热
自
点
主 学
【思路点拨】 由递推公式可得a3，a4再猜想并证明an.
聚 焦
课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 案
菜单
第六章 不等式与推理证明
高 考 热 点 聚 焦
课 后 巩 固 练 案
高三总复习·数学（BSD版)
课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 案
菜单
第六章 不等式与推理证明
高 考 热 点 聚 焦
课 后 巩 固 练 案
高三总复习·数学（BSD版)
课 前 自 主 学 案
【答案】
1 n＋1
课
课
后
堂
巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
1．数学归纳法的适用对象
高
课 前
数学归纳法是用来证明关于 正整数 命题的一种方法，
考 热
自
主 学
若n0是起始值，则n0是使命题成立的
最小正整数
．
点 聚 焦
案
2．数学归纳法的步骤
用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：
【答案】 C
课
课
后
堂
巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
对于 n∈N*，用数学归纳法证明：
课 前 自
1·n ＋ 2·(n － 1) ＋ 3·(n － 2) ＋ … ＋ (n － 1)·2 ＋ n·1 ＝ 16 n(n ＋
高 考 热
点
主 学
1)(n＋2)．
聚 焦
案
1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证 n＝1 时，左端计算所得
聚 焦
的项为( )
A．1
B．1＋a
课
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
课 后
堂
巩
互
固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
高
课
考
前
热
自
点
主 学
【思路点拨】 令n＝1即可．
聚 焦
案
【尝试解答】 n＝1时an＋1＝a2，故应为(1＋a＋a2)．
自 主
图象上．
点 聚
学
案
(1)求 r 的值；
焦
(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
证明：对任意的 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1 课
课
后
堂 互
> n＋1成立．
巩 固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
4．(2019·济宁模拟)用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整
考 热
自
主 除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变
点 聚
学
焦
案 形为________．
【解析】 ∵由n＝k成立推n＝k＋1时成立，必须用上
归纳假设，
课
课 堂
∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
焦
＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为
{an}为等比数列，所以 r＝－1，公比为 b，an＝(b－1)bn－1.
(2)当 b＝2 时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，bn＝2(log2an＋1) 课
课 堂 互 动
＝
2(log22n
－
1
＋
1)
＝
2n
课 堂 互 动 讲 案
菜单
第六章 不等式与推理证明
高 考 热 点 聚 焦
课 后 巩 固 练 案
高三总复习·数学（BSD版)
课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 案
菜单
第六章 不等式与推理证明
高 考 热 点 聚 焦
课 后 巩 固 练 案
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
高
课 前
则增加的项数为 2k＋1－1－2k＋1＝2k.
课
课
后
堂 互
【答案】 2k
巩 固
动
练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，
课
点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b>0 且 b≠1，b，r 均为常数)的
高 考
前
热
堂
后 巩
互 动
一致的，因此数列中有不少问题常用数学归纳法解决．
固 练
讲
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
高
课
考
前
●考情全揭密●
热
自
点
主 学
从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数
聚 焦
案
有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为
解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时
【归纳提升】 1.解“归纳—猜想—证明”题的关键环
节：
高
课 前
(1)准确计算出前若干具体项 ，这是归纳、猜想的基 考 热
自 主
础．
点 聚
学
焦
案
(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论．
(3)用数学归纳法证明之．
2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用
课
课 的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是
＝ k＋1＋1＋4k＋1 1> k＋1＋1.
课
课
后
堂 互
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
巩 固
动
练
讲
由①、②可得不等式恒成立．
案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
【归纳提升】 1.用数学归纳法证明与正整数n有关的
高
课 前
不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要
考 热
自 主
求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特
点 聚
学
焦
案 殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量
的取值范围．
2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设
课 n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用
课 后
堂
巩
互 放缩法、基本不等式、分析法等.
动
第六章 不等式与推理证明
则当 n＝k＋1 时，左边＝b1b＋1 1·b2b＋2 1…·bkb＋k 1·bkb＋k1＋＋1 1＝ 高
课
考
前 自 主
3 2
5 ·4
7 ·6
…·2k2＋k 1
2k＋3 ·2k＋2
>
k＋1
2k＋3 ·2k＋2
＝
2k＋32 4k＋1
＝
热 点 聚
学
焦
案
4k＋12＋4k＋1＋1
4k＋1
案
【尝试解答】 因为 a1＝1，a2＝14，且 an＋1＝nn－－1anan
(n≥2)，
课
1
课 后
堂 互 动 讲 案
所以 a3＝2－a2a2＝2－4 41＝71，同理可求得 a4＝110，
巩 固 练 案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
归纳猜想，an＝3n1－2.
课
下面用数学归纳法证明猜想正确．
(1)当n＝ n0(n0∈N*) 时，验证命题成立；
课
课 堂
(2)假设n＝ k(k≥n0，k∈N*) 时命题成立，推证当n＝
后 巩
互
固
动 讲
k＋1 时命题也成立，从而推出对所有的
练 案
案
n≥n0，n∈N* 命题成立
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
高
课 前
数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？
练 案
案
菜单
高三总复习·数学（BSD版)
第六章 不等式与推理证明
课 前
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
“1
＋
1 2
＋
1 3
＋
…
＋
1 2n－1
高 考
热
自
主 <n(n>1)”，由 n＝k(k>1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左
点 聚
学
焦
案 边应增加的项的项数是________．
【思路点拨】 左边分母的规律为1,2,3,4等连续的正整
考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中高档．
课
课 堂
预测2019年高考可能会以数列、有关的等式或不等式的
后 巩
互
固
动 证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的