【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练27《解三角形及应用举例》附答案解析

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练
27.系统题型--解三角形及应用举例
[A 级保分题——准做快做达标]
1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝22
3，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为()
A．2或3B．2C．3D．63．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为()
A.2
B.
9
8C．1 D.
7
8
4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于()
A．1 B.2C.3D．2
5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ，BD ＝
6
2
AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为()
A.158
B.
154C.18 D.14
6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos
C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b
c 的值是()
A.2－1
B.2＋1
C.3＋1D．2
7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝3
2，则△ABC 的周长为()
A．27＋5 B.7＋5C．27＋3 D.7＋38．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则∠B ，∠C 的大小关系是________．
9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和
BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.
10．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π
3
，
△ABC 的面积为153
4
，则cos 2A ＝________.
11．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π
4
，且sin(A
＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．
(1)求证：a ，b,2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．
12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B.
(1)求角C ；
(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值．
[B 级难度题——适情自主选做]
1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是()
A.0，π6
B.π6，π
C.0，π3
D.π3
，π
2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos
A ＝b sin
B ，且∠CAB ＝π
6
.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD
面积取最大值时，sin D ＝________.
3．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解析
27.系统题型--解三角形及应用举例
[A 级保分题——准做快做达标]
1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2
A ，又
sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π
2
.故选B.
2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝22
3，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为()
A．2或3B．2C．3D．6
解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1
3
，由余弦定理得cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2
－92bc ＝1
3
，①因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×22
3＝22，所以bc ＝6，②
将②代入①得b 2＋c 2－912＝1
3
，则b 2＋c 2＝13，③
由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.
3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为()
A.2
B.
9
8C．1 D.
7
8
解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴
cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π
2
，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin
A ＋1－2sin 2A ＝－2
sin A －1
42＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为9
8
.4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于()
A．1 B.2C.3D．2
解析：选A 法一：因为tan∠BAC ＝－3，所以sin∠BAC ＝310，cos∠BAC ＝－1
10.由余弦定理，
得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos∠BAC ＝5＋2－2×5×2×－
110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin∠BAC ＝12×2×5×310＝3
2，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×3
23
＝1，故选A.法二：因为在△ABC 中，tan∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选 A.
5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB
＝AD ，BD ＝6
2AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为()
A.158
B.
154C.18 D.14
解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 2
2BD ×AD ＝
6a 22×2a ×6a
＝64，所以cos∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ×CD ＝－64
，整理得CD 2＋3aCD －10a 2
＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 2
2×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈0，π2，故sin C ＝15
8
.故选A.
6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos
C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b
c 的值是()
A.2－1
B.2＋1
C.3＋1D．2
解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －
2
cos B ＋sin B
＝0，根据两角和的正弦公式可得
2sin
C ＋π4sin B ＋π4＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A ＝π
2
.∴由正弦定理可得a ＋b c ＝sin π2＋sin
π
4
sin
π4＝1＋222
2
＝2＋1.故选B.7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝3
2，则△ABC 的周长为()
A．27＋5 B.7＋5C．27＋3 D.7＋3
解析：选D 由sin C －cos C ＝1－cos C 2⇒2sin C 2cos C 2－2cos 2C
2－1＝1－cos C 2⇒cos C
2
2cos
C 2－2sin C 2－1＝0，∵cos C 2≠0，∴sin C 2－cos C 2＝－12，两边平方得sin C ＝34，由sin C 2－cos C 2＝－12可得sin C 2<cos C 2，∴0<C 2<π4，即0<C <π2，由sin C ＝34得cos C ＝74.又S ＝12ab sin C ＝1
2(a ＋b )sin C ＝32
，∴a ＋b ＝ab ＝4，∴a ＝b ＝2，再根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－27，解得c ＝7－1，故△ABC 的周长为7＋3，故选D.
8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则∠B ，∠C 的大小关系是________．
解析：由∠BAD ＋∠C ＝90°，得∠CAD ＋∠B ＝90°，由正弦定理得AD BD ＝sin B sin∠BAD ＝sin B cos C ，AD
CD
＝
sin C sin∠CAD ＝sin C cos B ，又D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ，所以sin B cos C ＝sin C
cos B ，化简得sin B cos B ＝sin C cos
C ，即sin 2B ＝sin 2C ，又△ABC 为锐角三角形，所以∠B ＝∠C .
答案：∠B ＝∠C
9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.
解析：设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，在△ABD 内，BD ＝1
2cos θ
；在△CBD 内，BD ＝
8cos θ.故1
2cos θ
＝8cos θ，所以cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－7
8.在△ACD 中，
由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2
－2AD ·CD cos 2θ＝24，AC ＝2 6.
答案：226
10．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π
3
，
△ABC 的面积为153
4
，则cos 2A ＝________.
解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝153
4
，解得
a ＝3.由
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝b sin B ⇒sin A ＝a
b
sin
B ＝37sin 2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝1－2×33
142＝7198
.答案：
7198
11．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π
4
，且sin(A
＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．
(1)求证：a ，b,2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．
解：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cos C .在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ，
∵C ＝3π
4
，∴b ＝2a ，则b 2＝a ·2a ，
∴a ，b,2a 成等比数列．
(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝2
4
ab ＝1，则ab ＝22，
由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝2，
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－42×－
22＝10，∴c ＝10.
12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2
A ＝sin A sin B.
(1)求角C ；
(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值．
解：(1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2
C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，
由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
2
.
∵0<C <π，∴C ＝2π
3
.
(2)法一：由|CD ―→|＝12
|CA ―→＋CB ―→|＝2，可得CA ―→2＋CB ―→2＋2CA ―→·CB ―→
＝16，
即a 2＋b 2
－ab ＝16，
又由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4.
∴S ＝12ab sin∠ACB ＝3
4
ab ＝ 3.
法二：延长CD 到M ，使CD ＝DM ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，∴BC ＝AM ＝a ，∠CBD ＝∠MAD ，
∴∠CAM ＝π
3
.
由余弦定理得
a 2＋
b 2＋ab ＝24，
a 2＋
b 2－ab ＝16，∴ab ＝4，S ＝12ab sin∠ACB ＝12×4×3
2
＝ 3.
[B 级难度题——适情自主选做]
1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是()
A.0，π6
B.π6，π
C.0，π3
D.π3
，π
解析：选C 由正弦定理及sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－
a 2
≥bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以0<A ≤π3
.故A 的取值范围是
0，
π3.故选C.
2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别
为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π
6
.若点D 是△ABC 外一点，
DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积取最大值时，sin D ＝________.
解析：因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，
所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π
2
.
又因为∠CAB ＝π
6，
所以BC ＝12AC ，AB ＝3
2
AC ，
由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 2
2×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，
四边形面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋3
8
(13－12cos D )＝
1383＋3sin D －332cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，tan φ＝－3
2
，所以，当φ＋D ＝π2时四边形面积最大，此时tan D ＝tan π2－φ＝1tan φ＝－23
3
，可得sin D
＝277
.
答案：
277
3．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，
从而可得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，
所以sin B ≠0，于是cos A ＝3
2，
又A 为三角形的内角，所以A ＝π
6
.
(2)由余弦定理可得，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A 得4＝b 2
＋c 2
－2bc ·3
2
≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)．
所以S ＝1
2
bc sin A ≤2＋ 3.
故当a ＝2时，△ABC 面积的最大值为2＋ 3.。