枣强县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

枣强县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 在等比数列{a n }中，已知a 1=9，q=
﹣，a n
=，则n=（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2． 已知函数f （x ）
=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不
等式组所确定的平面区域在x 2+y 2
=4内的面积为（ ）
A
．
B
．
C ．π
D ．2π
3． 函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
4．
如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=
±x B ．y=±3x C ．y=
±x D ．y=
±x
5． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α
=，则tan α=（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
6． 两个随机变量x ，y 的取值表为
若x ，y 具有线性相关关系，且y ^
＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A ．x 与y 是正相关
B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6
C ．随机误差e 的均值为0
D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65 7． 在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8．已知，则f{f[f（﹣2）]}的值为（）
A．0 B．2 C．4 D．8
9．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）
A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．
10．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2] D．（﹣∞，2]
11．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）
A．64 B．32 C．64
3
D．
32
3
12．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
二、填空题
13．已知变量x，y，满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为．
14．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2）=f（0）．
正确命题的个数是．
15．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是．
16．已知
1
sin cos
3
αα
+=，(0,)
απ
∈，则
sin cos
7
sin
12
αα
π
-
的值为．
17．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．
18．若函数f（x）
=﹣m在x=1处取得极值，则实数m的值是．
三、解答题
19．如图，椭圆C
：
+=1（a＞b＞0）的离心率
e=，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0
，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
20．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T ：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．
（Ⅰ）若点A
横坐标为，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q
总在椭圆+y2=
（）2上．
21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
22．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ．
（1）求几何体σ的表面积；
（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．
23．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，
0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
24．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
枣强县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由等比数列的性质可知，
∴
∴n=5
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础试题
2．【答案】B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
则f（x）=x3﹣x2+ax，
函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3，
即f′（0）=﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
故a=﹣3，b=2，
所以不等式组为
则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k OB=﹣，k OA=，
∴tan∠BOA==1，
∴∠BOA=，
∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，
故选：B
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3
∴当x=2时，函数取最小值﹣3
当x=5时，函数取最大值6
∴函数y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置关系，仔细作答
4．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：将sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，
∵0＜α＜π，∴＜α＜π，
∴sinα﹣cosα＞0，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，
联立①②解得：sinα=，cosα=﹣，
则tanα=﹣．
故选：D．
6．【答案】
【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y^＝bx＋2.6得b＝0.95，即y^＝0.95x＋^＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样2.6，当y
本点（3，4.8）的残差e^＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.
7．【答案】A
【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．
复数对应点的坐标（），在第四象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．
8．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=0
∴f（f（﹣2））=f（0）
∵0=0
∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2
∵2＞0
∴f（2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
9．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
10．【答案】C
【解析】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．
11．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
12．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．【答案】3个．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x），∴f（x）=f（﹣x）；
∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），f（﹣x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），周期为2，对称轴为x=1
所以①②⑤正确，
故答案为：3个
15．【答案】．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，
而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
16．
【解析】
7sin
sin sin cos cos sin 124343
43πππππππ⎛⎫
=+=
+ ⎪⎝
⎭
=
,
sin
cos 7
3
sin 12
ααπ-∴==
,
故答案为
3
.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
17．【答案】
．
【解析】
解：过CD 作平面PCD ，使AB
⊥平面PCD ，交AB 与P ，
设点P 到CD 的距离为
h ，
则有
V=×2×h ×
×2，
当球的直径通过AB 与CD 的中点时，h 最大为2，
则四面体ABCD 的体积的最大值为．
故答案为：
．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
18．【答案】
﹣
2
【解析】解：函数f （x ）=﹣m 的导数为f ′（x ）=mx 2
+2x ，
由函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，
即有f ′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f ′（x ）=﹣2x 2
+2x=﹣2（x ﹣1）x ，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又．
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=
=．
令t=，则t≥，k2
=
所以S△PMN=，
令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，
则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，
所以△PMN面积的最大值为．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．
从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则k OP=，
又O为△PMN的中心，则，可知．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2x Q=﹣x0，y1+y2=2y Q=﹣y0，
又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得k MN=，
从而k MN=．
所以k OP•k MN=•（）=≠﹣1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．
综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1
所以椭圆C的方程是…
（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：
由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…
将（•）代入得：m2=，…
经检验满足△＞0．…
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
22．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S
=××2×sin135°=1，
△ABD
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
23．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，．
∴该椭圆的标准方程为．
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．
联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则．
令f′（k）=0，解得．列表如下：
又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．
而当x→+∞时，f（x）→0，→1．
综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c，∴c=0，
∴f（x）==x+；
（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，
当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．。