2022届内蒙古巴彦淖尔市高二下数学期末达标检测试题含解析

2022届内蒙古巴彦淖尔市高二下数学期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin(2)12
f x x π
=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减区
间是（ ） A ．7[
,
]1212
ππ
B ．5[,]1212
ππ-
C ．2[,
]33ππ
-
D ．5[,
]66ππ
-
【答案】A 【解析】
()()
22?sin 22?cos 2212123y f x f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝
'⎭⎭，
令
322
3
2x π
π
π≤+
≤
，得：71212x ππ≤≤，
∴单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 故选Ａ
2．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由于()()()()()6
6
2
6
01
26666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的
值1．
详解：由于()()()()()6
6
2
6
0126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知
()
()()()()()()6
23456
01234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得
22615.a C ==
故选B.
点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6r
r a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．
3．()13
1x -的展开式中，系数最小的项为（ ） A ．第6项 B ．第7项
C ．第8项
D ．第9项
【答案】C
由题设可知展开式中的通项公式为11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，其系数为13(1)r r
C -，当r 为奇数时展开式中项的系数13(1)r r
C -最小，则7r =，即第8项的系数最小，应选答案C 。

4．5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20
C ．20
D ．40
【答案】D 【解析】
令x=1得a=1.故原式=
511()(2)x x x x +-．511
()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应
的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，
选3个提出
1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x
，选3个提出x. 故常数项=22332233
5353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40
5．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】
因为()3
2
39f x x ax x =++-，所以()2
323f x x ax =++'，
又函数()3
2
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，
所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
6．2
3
2
(2)()x n x x
--的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x 项的系数为（ ） A ．2 B ．8
C ．5-
D ．-17
【解析】 【分析】
令1x =得各项系数和，可求得n ，再由二项式定理求得3x 的系数，注意多项式乘法法则的应用． 【详解】
令1x =，可得3
(2)(12)3n --=，5n =，
在23
2(25)()x x x
--的展开式中3x 的系数为：232(2)(5)117C ⨯⨯-+-⨯=-．
故选D ． 【点睛】
本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令1x =可得展开式中所有项的系数和，再令1x =-可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．
7．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种 B ．36种 C ．30种 D ．24种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分步乘法计数原理，第一步先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，第二步将3组员工安排到3个不同的岗位。

【详解】
解：由题意可得，完成这件事分两步，
第一步，先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，共有211
421
2
215C C C A -=种， 第二步，将3组员工安排到3个不同的岗位，共有3
36A =种，
∴根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有5630⨯=种， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查计数原理，考查组合数的应用，考查不同元素的分配问题，通常用除法原理，属于中档题． 8．定义在[,)t +∞上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，存在
()1212,x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.若
2，则下列四个命题：①x 是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；②若()ln g x x m
=+
是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”，则1m =；③1
()2g x x
=-
是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；④当m 1≥时，存在t m ≥，使得()21g x mx =-是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及(1)(1)1f g ==，再假设是 “追逐函数”，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案. 【详解】
对于①，可得()2
f x x =，()21x
g x =-在[
)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()21x
g x =-是()
f x 在[
)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==
成立，即
21211222log 1x x k x x k -==⇒==+ ，此时当k=100时，不存在12x x <，故①错误；
对于②，若()ln g x x m =+是()f x 在[
)1,+∞上的“追逐函数”，此时(1)(1)1f g ==，解得
1m =，当1m =时，()2
f x x =，()ln 1
g x x =+在[)1,+∞是递增函数，若是“追逐函数”
则211212ln 1k x x k x x e -=+=⇒=
122k k e k e --<⇒<， 设函数22
22(),()120x x h x x e
h x e ---'=-=<
即22x x e -<，则存在12x x <，所以②正确； 对于③()2
f x x =，()12
g x x =-
在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()1
2g x x
=-是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==
成立，即
2112211
22x k x x x k
=-
=⇒==- ，当k=4时，就不存在12x x <，故③错误； 对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
()2f x x =，()21g x x =-在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()21g x x =-是()f x 在[)
1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，
即2
1
2121212k x x k x x +=-=⇒==
2
1(1)24
k k k ++<⇒<
取2(1)1
()(1),()1042x x h x x x h x ++-'=->=<
即2
(1)4
x x +<，故存在存在12x x <，所以④正确；
故选B 【点睛】
本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题.
9．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-‘’，当2x <时，()f x 单调递减，如果124x x +>且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值（ ） A ．等于0 B ．是不等于0的任何实数 C ．恒大于0 D ．恒小于0
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由124x x +>且12(2)(2)0x x --<，不妨设12x <，22x >，则1224x x >>-， 因为当2x <时，()f x 单调递减， 所以()()124f x f x <- ，
又函数()y f x =满足()()4f x f x -=-，所以()()224f x f x -=-， 所以()()12f x f x <-，即12()()0f x f x +<. 故选：D.
10．若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于（ ） A ．0 B ．1
C ．2-
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a 的不等式得答案.
解:由3222y x ax ax =-+,得2
342y x ax a '=-+,
曲线3
2
:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,
∴对任意实数23420x x ax a -+>，恒成立,
2(4)4320a a ∴=--⨯⨯<.
解得:3
02
a <<
. ∴整数a 的值为1.
故答案为B 【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查了数学转化思想方法,是中档题.
11．对任意复数(,)z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A ．2z z a -= B ．2
z z z ⋅=
C ．
1z z
= D ．2
0z
【答案】B 【解析】
分析：由题可知z a bi =-，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案. 详解：已知z a bi =+ 则z a bi =-
选项A ，()()22z z a bi a bi bi a -=+--=≠，错误. 选项B ，()()2
22z z a bi a bi a b z ⋅=+-=+=，正确.
选项C ，()()()2
2222
21a bi z a bi a b abi z a bi a bi a bi a b
----===≠++-+，错误. 选项D ，()2
2222z a bi a b abi =+=-+，20z ≥不恒成立，错误. 故选B.
点睛： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.
12．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．
53
π B ．5π C ．
253
π
D ．25π
【答案】C 【解析】
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】
由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为
223
33r =⨯=
， 设正三棱柱的高为h ，由
1
2332
h ⨯⨯=，得3h =， ∴外接球的半径为2223325(
)()3212
R =+=，
∴外接球的表面积为：2
252544123
S R π
ππ==⨯=． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题
13．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 【答案】5 【解析】
试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b 22a b +a bi - 14．在()6
1x +的展开式中，含3x 项的系数为______． 【答案】20
【分析】
利用二项展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，再代入通项可得出3x 项的系数. 【详解】
二项式()6
1x +展开式的通项为6661k k k k k
C x C x -⋅⋅=⋅，
令3k =，因此，在()6
1x +的展开式中，含3x 项的系数为3
620C =，故答案为：20.
【点睛】
本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题. 15．正方体中异面直线
与
所成角的大小为______.
【答案】
【解析】 【分析】
由正方体的性质可以知道：
,根据异面直线所成角的定义,可以知道
就是异面直线
与
所成角,根据正方体的性质可以求出的大小.
【详解】 如图所示：连接
,因为
,所以
就是异面直线与所成角,而
是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以
,因此异面直线
与
所成角的大小为
.
故答案为
【点睛】
本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.
16．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，其外接圆的直径为d ，且满足
，则
c
=______________.
【答案】4
【解析】 【分析】
先利用余弦定理化简已知得1cos 4C =，所以sin C =，再利用正弦定理求解. 【详解】
由cos cos 4cos 0b A a B c C +-=及余弦定理，
得22222
4cos 22b c a a c b b a c C bx a +-+-⋅+⋅-0=，
得22224cos 022b c a a c b
c C c c
+-+-+-=，
得4cos 0c c C -=，即()14cos 0c C -=，
所以1cos 4C =
，所以sin 4
C =
由正弦定理，得
sin c
d C
=，
则
sin 4
c C
d ==
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()()2
ln 2f x x a x a a R =-+∈
（1）若函数()f x 在102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
上递减，求实数a 的值. （2））讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；
（3）若方程ln 0x x m --=有两个不等实数根12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明121x x <.
【答案】（1）a =2）见解析（3）(1,)m ∈+∞，见解析 【解析】 【分析】
（1）根据单调区间判断出1
2
x =是极值点，由此根据极值点对应的导数值为0求解出a 的值，并注意验证是否满足；
（2）先求解出()f x '，然后结合所给区间对a 进行分类讨论，分别求解出()f x 的单调性；
（3）构造函数()ln (0),()h x x x x g x m =->=，分析()h x 的取值情况，由此求解出m 的取值范围；将证明121x x <通过条件转化为证明2221
2ln 0x x x -->，由此构造新函数1()2ln (1)p x x x x x
=-->进行分析证明. 【详解】
（1）由于函数函数()f x 在102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
上递减， 由单调性知12
x =是函数的极大值点，无极小值点，所以1
()02f '=，
∵21
()f x a x
'=
-，
故220a a -=⇒=12()x f x x
-'=满足1
2x =是极大值点，
所以a =
（2）∵()2
ln 2f x x a x a =-+，
∴()()211a x
f x x x
-'=>，
①当0a =时，()()1
0,f x f x x
>'=
在()1,+∞上单调递增. ②当21a ≥，即1a ≤-或1a ≥时，()0f x '<， ∴()f x 在()1,+∞上单调递减. ③当11a -<<且0a ≠时，
由()0f x '= 得2
1x a =. 令()0f x '>得211x a <<；令()0f x '<得21
x a
>.
∴()f x 在211,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上，当0a =时，()f x 在()1,+∞上递增； 当1a ≤-或1a ≥时，()f x 在()1,+∞上递减；
当11a -<<且0a ≠时，()f x 在211,
a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上递增，在21,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递减. （3）令()ln (0),()h x x x x g x m =->=，11()1x h x x x
-'=-= 当(0,1)x ∈时，11
()10x h x x x -'=-
=<，()ln (0)h x x x x =->单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，11()10x h x x x
'
-=-=
>，()ln (0)h x x x x =->单调递增； 故()h x 在1x =处取得最小值为(1)1h =
又当0,();,()x h x x h x →→+∞→+∞→+∞，由图象知：(1,)m ∈+∞
不妨设12x x <，则有122
1
01,01x x x <<<<
<， 121122
111()()x x x h x h x x <⇔⇔><
121222
2222222
11
()(),()()()()111
(ln )(
ln )2ln h x h x m h x h h x h x x x x x x x x x ==∴-=-=---=--
令221121
()2ln (1),()1(1)0p x x x x p x x x x x
'=-
->=+-=-> ()p x ∴在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0p x p >=
即2221
2ln 0x x x -
->，1122
1()(),1h x h x x x ∴>∴< 【点睛】
本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知0x 是()f x 的极值点，利用()00f x '=求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.
18．已知曲线1C 在平面直角坐标系中的参数方程为3
314
x y t ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=--⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线22:2cos 4sin 20C ρρθρθ--=.
（1）将1C 的方程化为普通方程，并求出2C 的平面直角坐标方程； （2）求曲线1C 和2C 两交点之间的距离.
【答案】 (1)3440x y ++=，()()2
2
1225x y -+-=.(2)6. 【解析】 试题分析：
(1)结合题意整理所给的方程可得1C 的方程化为普通方程，并求出2C 的平面直角坐标方程分别为：
3440x y ++=，()()22
1225x y -+-=.
(2)结合点到直线的距离公式和图形的几何特征可得曲线1C 和2C 两交点之间的距离是6. 试题解析：
（1）消参后得1C 为3440x y ++=，
由2
2cos 4sin 20ρρθρθ--=得2
2
2420x y x y +--=， ∴2C 的平面直角坐标方程为()()2
2
1225x y -+-=.
（2）∵圆心()1,2到直线的距离38435
d ++=
=，∴8AB ==.
19．已知函数1()ln 1()f x x a a x ⎛⎫
=--
∈ ⎪⎝⎭
R （1）若当1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
（2）设33()()( 2.71828)x x xf x F x e e --==，求证：当1a =时，33
21
()e F x e
+< . 【答案】 (1) (,1]-∞ ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）解法一：求得函数导数并通分，对a 分成1,1a a ≤>两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数a 的取值范围.解法二：将原不等式()0f x >分离常数a ，得到ln 1x x a x <
-，构造函数ln ()1
x x
g x x =-，利用导数结合洛必达法则，求得()g x 的取值范围，由此求得a 的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结
论，证得当1x ≥时3321()e F x e +<成立.再利用导数证得当01x <<时，33
21
()e F x e
+<也成立，由此证
得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为33
2122ln x
e x x x e e
+--<，构造函数()22ln (0)x x x x x ϕ=-->，利用导数证得3321()e x e ϕ+≤，进而证得33
2122ln x
e x x x e e +--<，也即证得33
21
()e F x e
+<. 【详解】
解：（1）【解法一】由1()ln 1()f x x a a x ⎛
⎫
=--
∈ ⎪⎝⎭
R 得： 221()(0)a x a
f x x x x x
-'=
-=> ①当1a ≤时，由1x >知，()0f x '>
()y f x =在区间(1,)+∞上为增函数， ∴当1x >时，()(1)0f x f >=恒成立，
所以当1a ≤时，满足题意；
②当1a >时，()y f x =在区间(1,)a 上是减函数，在区间(,)a +∞上是增函数. 这时当1x >时，()()ln (1)f x f a a a ≥=--， 令()ln (1)(1)g a a a a =-->，则11()10(1)a
g a a a a
'
-=
-=<> 即()g a 在(1,)+∞上为减函数，所以()(1)0g a g <= 即()f x 在(1,)+∞上的最小值()0f a <，
此时，当1x >时，()0f x >不可能恒成立，即有1a >不满足题意. 综上可知，当1x >，使()0f x >恒成立时，
a 的取值范围是(,1]-∞.
【解法二】
当1x >时，()0f x >等价于ln 1
x x a x <- 令ln ()1
x x
g x x =
-，则只须使min ()a g x ≤ 22
(1ln )(1)ln 1ln ()(1)(1)(1)
x x x x x x
g x x x x '+----=
=>-- 设11
()1ln ,()1x h x x x h x x x
'
-=--=-
=
1,()0,()x h x h x '>∴>在(1,)+∞上为增函数，()(1)0h x h ∴>=
所以()0,()'>g x g x 在(1,)+∞上为增函数，
当1x >时，1()lim ()x g x g x +
→> 由洛必达法则知1
1
11(ln )lim ()lim lim lim(1ln )1(1ln 1)x x x x x x g x x x x x x ++
++
→→→→'
===+-=-' 即当1x >时，()1g x >，所以有1a ≤
即当1x >，使()0f x >恒成立时，则a 的取值范围是(,1]-∞ （2）解法一：由（1）知，当1a =时， 当1x ≥时，()0,()0,()0f x xf x xf x ≥≥-≤ 又330x -≤
33()0x xf x ∴--≤
33
33()21
()0x x xf x e F x e e
--+=≤<成立 故只须在证明，当01x <<时，3
()2F x e -<+即可 当1a =时，33()22ln ()x x
x xf x x x x
F x e e ----=
=
又当01x <<时，22ln 0,1x
x x x e -->>
22ln ()22ln x
e x x x
F x x x x --∴=
<--
所以，只须证明33
21
22ln e x x x e +--≤即可；
设()22ln (01),()2(1ln )ln 3(01)x x x x x x x x x ϕϕ'
=--<<=--+=--<< 由()0x ϕ'
=得：3x e -=
∴当-30x e <<，时()0x ϕ'>
当31e x -<<时，()0x ϕ'
<
即()x ϕ在区间3
(0,)e -上为增函数，在区间3
(,1)e -上为减函数，
∴当01x <<时，()
33
3
3
3
3
21
()22ln 22ln e x x x x e
e e e e ϕϕ----+=--≤=--= 33
21
()e F x e
+<成立
综上可知，当1a =时，33
21
()e F x e
+<成立. （2）解法二：由（1）知当1a =时，33
33()22ln 21
()x x x xf x x x x e F x e e e ----+==< 等价于33
2122ln x
e x x x e e
+--< 设()22ln (0),()2(1ln )ln 3(0)x x x x x x x x x ϕϕ'
=-->=--+=--> 由()0x ϕ'
=得：3x e -=
∴当30x e -<<时，()0x ϕ'>；当3x e ->时，()0x ϕ'<
即()x ϕ在区间(
)3
0,e
-上为增函数，在区间()
3
,e
-+∞上为减函数，
∴当0x >时，
()
33
3
3
3
3
21
()22ln 22ln e x x x x e e e e e
ϕϕ----+=--≤=--= 因为0x >时，e 1x >.所以3333
2121x
e e e e e
++<• 所以33
2122ln x
e x x x e e +--<成立.
综上可知，当1a =时，33
21
()e F x e
+<成立. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.
20．盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球. （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取3个球，求至少抽到1个红球的概率；
（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取3个球，记每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）98
125
；（2）42元. 【解析】 【分析】
（1）分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，概率相加得到答案.
（2）随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答
案. 【详解】
(1)记至少抽到1个红球的事件为A ,
法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为
2
5
， 所以1
2
2
2
3
3
3332323298
()()()()()()555
55
125
P A C C C =++=
， 答：至少抽到1个红球的概率为98
125
.
法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），
每次取到红球的概率均为
25（每次取到白球的概率均为3
5）， 所以33
3398()1()5125
P A C =-=
答：至少抽到1个红球的概率为98
125
.
(2) 由题意,随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60
03463101(30)6C C P C ξ===，12463101(40)2C C P C ξ===，21463103
(50)10C C P C ξ===，
30463101
(60)30
C C P C ξ===，
所以随机变量ξ的分布表为：
ξ
30 40 50
60
P
16
12
310
130
所以随机变量ξ的数学期望为3040506042621030
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力. 21．已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．
【解析】 【分析】
【详解】
（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫
+
- ⎪⎝
⎭
1
4cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭
22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为6
4
x π
π
-
≤≤
，所以226
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
． 于是，当262x π
π
+=
，即6x π
=
时，()f x 取得最大值2；
当ππ26
6
x
，即6x π
=-时，()f x 取得最小值1-．
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.
22．已知函数()11
22
f x x x m =
--的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0,02
m
m x ><<
，求222x x +-的最小值.
【答案】（1）4±；（2）4. 【解析】
【试题分析】(1)利用绝对值不等式,消去x ,可求得实数m 的值.(2)由(1)得4m =.利用配凑法,结合基本不等式可求得最小值. 【试题解析】 （1）由
11112222x x m x x m m ⎛⎫
--≤--= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
11022x x m ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
且当1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =，即4m =±； （2）由（1）及0m >可知4m =，∴02x <<，
则()22111
111222222422222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=+=+=++-=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
，（当且仅当2x x -=，即1x =时，取“=”）
∴
222
x x +-的最小值为4.。