1.4全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词
想一想？？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2 ）与4 ）之间有什么关系？ 1) x 3 2)2 x 1 是整数 3)对所有的 x R, x 3 4)对任意一个x Z , 2 x 1是整数
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全 称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做 存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有“有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
例1 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x2 +2x+3=0成立； 2）存在两个相交平面垂直同一条直线； 3）有些整数只有两个正因数.

要判断一个特称命题为真，只要在给定的集 合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判 断一个特称命题为假，必须断下列命题的真假：
常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
简记为:x M,p(x)
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立.
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： 1）所有的素数都是奇数；
2）x R, x 2 1 1;
3）对每一个无理数x，x 也是无理数.
2

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
练习：判断下列命题的真假：
(1) x R, x 2 2 0;
(1) (2)
x0 Z , x 1; x0 Q, x 3.
2 0 2 0
例、判断下列命题是全称命题，还是特称命 题？
• • • • • • （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数； （3）方程2x2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数； （5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A∩B是集合A的子集；
(2)
x N , x 1;
4
1.4.2 存 在 量 词
想一想？？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2 ）与4 ）之间 有什么关系？ 1)2 x 1 3； 2) x能被2和3整除； 3)存在一个 x R, 使 2 x 1 3； 4)至少有一个x Z , x能被 2和3整除。